1、第二章 不等式 2.4.1 根本不等式及其应用根本不等式及其应用 2.3.3 其他不等式的解法其他不等式的解法 一、根本不等式一、根本不等式 I 对于对于任意实数任意实数 ，成立，成立,ab222a ba b 当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立.ab证：证：2222()0ab a bab 当当 时，时，ab2()0a b当当 时，时，2()0a bab所以所以 ,当且仅当当且仅当 时等号时等号 222a ba b ab成立成立.证毕证毕 二、根本不等式二、根本不等式 II 对于对于任意正数任意正数 ，成立，成立,ab2abab当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立.ab证：证：,a
2、b R22(),(),a ab b aba b 根据根本不等式根据根本不等式 I 有有 22()()2aba b 2a bab 即即,当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立.ab所以原不等式成立所以原不等式成立.证毕证毕 二、根本不等式二、根本不等式 II 对于对于任意正数任意正数 ，成立，成立,ab当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立.ab均值不等式均值不等式 2ab数数 叫做叫做 的的算术平均数算术平均数，,aba b数数 叫做叫做 的的几何平均数几何平均数.,ab均值不等式又可以表述为：均值不等式又可以表述为：两个两个正实数正实数的算术平均数的算术平均数不小于不小于它的几何平均数它
3、的几何平均数.2abab例例1.利用根本不等式证明：利用根本不等式证明：(1)(2)0,2ababba21 2xx 证证:(1)22211xx 2 x(2)00,0aba bba 2aba bbab a2证毕证毕 思考思考:(2)的结果请你用文字语言表达的结果请你用文字语言表达.,()()()8a b c R a b b c c aabc 2222 2aba b 例例2.利用根本不等式证明：利用根本不等式证明：(1)(3)(2)2 2 2abca b b ca c证证:(1)2 2222(1)(1)abab 22ab(2)222a ba b 2222()a b c 222b cb c 222c
4、 aa c 2()a b b c a c 2 2 2abca b b c a c ,()()()8a b c R a b b c c aabc 2222 2aba b 例例2.利用根本不等式证明：利用根本不等式证明：(1)(3)(2)2 2 2abca b b ca c证证:(3),abc R2a ba b 2b cbc 2c aca 000()()()ab bcca 8abc证毕证毕 例例3.(1)且且 ，求证：，求证：,a bR14a b 1a b(2)，求证：，求证：12xx 0 x 证证:(1),ab R2a ba b 2()2a bab211()24证法二：证法二：12a ba b 12ab14ab例例3.(1)且且 ，求证：，求证：,a bR14a b 1a b(2)，求证：，求证：12xx 0 x 证证:(2)0 x0 x 11()()2()()xxxx 2即即 1()2xx，因此，因此 12xx 证毕证毕 思考思考:(1)(2)中不等式的等号何时成立？中不等式的等号何时成立？例例4.用用 填空填空 2212 0 1 122 0 1 1xx,(1)0,2a ba bb a222|a ba b(2)(3)