1、34 基本不等式：基本不等式：abab2 学习目标学习目标 1.理解根本不等式的内容及其证明理解根本不等式的内容及其证明 2能应用根本不等式解决求最值、证明不等式能应用根本不等式解决求最值、证明不等式等问题等问题 课堂互动讲练课堂互动讲练 知能优化训练知能优化训练 课前自主学案课前自主学案 34 基基 本不等式：本不等式：abab2 这是这是2002年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。风车，代表中
2、国人民热情好客。思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：你能否在这个思考：你能否在这个图案中找出一些相等图案中找出一些相等关系或不等关系？关系或不等关系？ADCBHFGEa b 22ba 22ba 1、正方形、正方形ABCD的的 面积面积S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的 面积和面积和S=ab2、S与与S有什么有什么 样的不等关系？样的不等关系？探究：探究：S_S 问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？A D B C E F G H b a 22ab重要不等式：重要不等式：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有
3、当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222ababA B C D E(FGH)a b 课前自主学案课前自主学案 温故夯基温故夯基 1两个正数两个正数 a 与与 b 的等差中项为的等差中项为ab2，正的等比，正的等比中项为中项为_ 2由不等式性质可知，对任意由不等式性质可知，对任意 a，bR，(ab)2 _0，因此，因此 a2b2 _2ab.什么时候等什么时候等号成立呢？当且仅当号成立呢？当且仅当_时，取等号时，取等号 ab.ab 知新盖能知新盖能 1根本不等式根本不等式(1)重要不等式：对于任意实数重要不等式：对于任意实数a、b，都有，都有a2b2 _2ab，当且仅当，当且仅当_
4、时，等号成立时，等号成立(2)根本不等式根本不等式 ab?形式：形式：_ abab2；成立的前提条件：成立的前提条件：_；等号成立的条件：当且仅当等号成立的条件：当且仅当_时取等号；时取等号；a0，b0 ab 对任对任意两个正实数意两个正实数 a、b，ab2叫做叫做 a，b 的的 _，ab叫做叫做 a，b 的的_ 算术平均数算术平均数 几何平均数几何平均数 1根本不等式中的根本不等式中的a，b可以是任意为正值的代可以是任意为正值的代数式吗？数式吗？思考感悟思考感悟 提示：提示：可以可以 2应用根本不等式求最值应用根本不等式求最值 如果如果x，y都是正数，那么都是正数，那么(1)假设积假设积xy
5、是定值是定值P，那么当，那么当_时，和时，和xy有最有最_值值(2)假设和假设和xy是定值是定值S，那么当，那么当_时，积时，积xy有最有最_值值 xy 小小 xy 大大 思考感悟思考感悟 2两个正数的积为定值，它们的和一定有最小两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？值吗？提示：提示：不一定应用基本不等式求最值时还要不一定应用基本不等式求最值时还要求求等号能取到如：等号能取到如：x1x，x2，)课堂互动讲练课堂互动讲练 考点突破考点突破 利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式 利用根本不等式证明不等式时，要充分利用根本利用根本不等式证明不等式时，要充分利用根本不等式及其变形，同
6、时注意利用根本不等式成立不等式及其变形，同时注意利用根本不等式成立的条件对要证明的不等式作适当变形，变出根的条件对要证明的不等式作适当变形，变出根本不等式的形式，然后利用根本不等式进行证本不等式的形式，然后利用根本不等式进行证明明 a，b，c 为不全相等的正实数求证为不全相等的正实数求证a2b2c2abbcca.例例1【思路点拨】【思路点拨】构造基本不等式的条件构造基本不等式的条件 运用基本不等式证明运用基本不等式证明 判断等号成立的条件判断等号成立的条件得到结论得到结论【证明证明】a0，b0，c0，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.2(a2b2c2)2(abbcca)，即即a2
7、b2c2abbcca.又又 a，b，c 为不全等的正实数，故等号不成立为不全等的正实数，故等号不成立a2b2c2abbcca.变式训练变式训练 1 已知已知 a、b、c 为不全相等的正数，为不全相等的正数，求证求证 abc ab bc ca.证明：证明：a0，b0，c0，ab2ab0，bc2bc0，ca2 ca0.2(abc)2(ab bc ca)，即即 abc ab bc ca.由于由于 a，b，c 为不全相等的正实数为不全相等的正实数，故等号不成故等号不成立立abc ab bc ca.利用基本不等式求函数的最值利用基本不等式求函数的最值 利用根本不等式求函数的最值，要满足：利用根本不等式求
8、函数的最值，要满足：(1)函数式中各项必须都是正数；函数式中各项必须都是正数；(2)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数函数式中含变数的各项的和或积必须是常数(定值定值)；(3)等号成立条件必须存在等号成立条件必须存在(1)设设 0 x32，求函数，求函数 y4x(32x)的最的最大值；大值；(2)已知已知 x0，y0，且，且1x9y1，求，求 xy 的最小的最小值值 例例2【思路点拨】【思路点拨】构造和或积的定值，利用根本构造和或积的定值，利用根本不等式求解不等式求解【解】【解】(1)0 x32，32x0，y4x(32x)22x(32x)22x 32x 2292.当且仅当当且仅当 2x32
9、x，即即 x34时，等号成立时，等号成立 34(0，32)，函数函数 y4x(32x)(0 x32)的最大值为的最大值为92.(2)x0，y0，1x9y1，xy(1x9y)(xy)yx9xy1061016.当且仅当当且仅当yx9xy，又，又1x9y1，即即 x4，y12 时，上式取等号时，上式取等号 故当故当 x4，y12 时，时，(xy)min16.变式训练变式训练 2(1)已知已知 x3，求，求 f(x)4x3x 的的最大值；最大值；(2)已知已知 x1，求，求 yx2x1的最小值的最小值解：解：(1)x3，x30.f(x)4x3x4x3(x3)3 43x(3x)3243x 3x 3 1，
10、当且仅当当且仅当43x3x，即，即 x1 时取等号时取等号 f(x)的最大值为的最大值为1.(2)yx2x1x211x1x11x1 x11x12224，当且仅当当且仅当1x1x1，即即(x1)21 时，等式成立，时，等式成立，x1，当当 x2 时，时，ymin4.解：解：x1，x10.yx27x10 x1 x1 25 x1 4x1(x1)4x152 x1 4x159.【例【例 1】求函数求函数 yx27x10 x1(x1)的最小值的最小值 变式训练变式训练3 3 当且仅当当且仅当 x14x1，即，即 x1 时，等号成时，等号成立立 当当 x1 时，函数时，函数 yx27x10 x1(x1)取取
11、得最小值为得最小值为 9.方法点评：方法点评：形如形如 f(x)ax2bxcmxn(m0，a0)或者或者 g(x)mxnax2bxc(m0，a0)的函数，可以把的函数，可以把mxn 看成一个整体，设看成一个整体，设 mxnt，那么，那么 f(x)与与 g(x)都可以转化为关于都可以转化为关于 t 的函数的函数 解：解：yx9x在在4，)上为增函数，上为增函数，yx9x在在4，)上的最小值为上的最小值为 y494254.函数函数 yx9x在在4，)上的值域为上的值域为 254，.【例【例 2】求函数求函数 yx9x在在4，)上的值域上的值域 变式训练变式训练4 方法点评：形如对号函数或换元后形如
12、对号函方法点评：形如对号函数或换元后形如对号函数的函数在求它们的最值或值域时如果不能使用根数的函数在求它们的最值或值域时如果不能使用根本不等式本不等式(一般是因为符号不成立一般是因为符号不成立)，就要结合性质，就要结合性质利用它们的单调性来求解利用它们的单调性来求解 利用基本不等式解应用题利用基本不等式解应用题 根本不等式在实际中的应用是指利用不等式解决根本不等式在实际中的应用是指利用不等式解决生产、科研和日常生活中的问题，解答不等式的生产、科研和日常生活中的问题，解答不等式的应用题一般可分为四步：应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；阅读并理解材料；(2)建立数学模型；建立数学模型；(
13、3)讨论不等关系；讨论不等关系；(4)作出结作出结论论 某食品厂定期购置面粉，该厂每天需用面某食品厂定期购置面粉，该厂每天需用面粉粉6吨，每吨面粉的价格为吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费元，面粉的保管费及其他费用为平均每天及其他费用为平均每天3元，购置面粉每次需支付元，购置面粉每次需支付运费运费900元求该厂多少天购置一次面粉，才能使元求该厂多少天购置一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最小？平均每天所支付的总费用最小？例例3【思路点拨】【思路点拨】设出变量设出变量列函数关系式列函数关系式 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值作出结论作出结论【解】【解】设该厂每隔设该厂每隔x
14、天购置一次面粉，天购置一次面粉，其购置量为其购置量为6x吨吨 由题意可知，面粉的保管费及其他费用为由题意可知，面粉的保管费及其他费用为 36x6(x1)6(x2)61 9x(x1)设平均每天所支付的总费用为设平均每天所支付的总费用为y1元，元，则则 y11x9x(x1)90061800 9x900 x1080929x900 x1080910989，当且仅当当且仅当 9x900 x，即，即 x10 时，等号成立时，等号成立 该厂每该厂每 10 天购买一次面粉，才能使平均每天支天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少付的总费用最少【名师点评】【名师点评】解实际应用题要注意以下几点：解实际应用
15、题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用根本不等式求得函数的最值利用根本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际使实际问题有意义的自变量的取值范围问题有意义的自变量的取值范围)内求内求 变式训练变式训练 5某单位用某单位用 2160 万元购得一块空地万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层层、每层 2000平方米的楼房平方米的楼
16、房 经测算经测算，如果将楼房建为如果将楼房建为 x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为层，则每平方米的平均建筑费用为 56048x(单单位位：元元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最为了使楼房每平方米的平均综合费用最少少，该楼房应建为多少层？该楼房应建为多少层？(注注：平均综合费用平均综合费用平均建筑费用平均购地费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用平均购地费用购地总费用购地总费用建筑总面积建筑总面积)解：设楼房每平方米的平均综合费用为解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，元，则则 f(x)(56048x)2160100002000 x 56048x10800 x(x10，xN*)所以所以 f(x)56048x10800 x 5602 48108002000，当且仅当当且仅当 48x10800 x，即，即 x15 时取等号时取等号 因此，当因此，当x15时，时，f(x)取取值最小值值最小值f(15)2000，即为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该即为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为楼房应建为 15 层层 1两个不等式两个不等式 a2b22ab 与与ab2