1、1 第三节第三节 定积分的换元法定积分的换元法 和分部积分法和分部积分法 定积分的换元法定积分的换元法 定积分的定积分的分部积分分部积分法法 definite integral by parts definite integral by substitution 第五章第五章 定积分定积分 2 baxxfd)(定积分换元公式定积分换元公式 上上在在,)(t f)(t tt d)(定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法一、定积分的换元法(1)(2)具有连续导数具有连续导数,且其值域且其值域,baRdefinite integral by substitution
2、 定理定理1 假设函数假设函数,)(baCxf 函数函数 满足条件满足条件:)(t x ;)(,)(b a tttfd)()()()(aFbF)()(FF 4 注注 积分限要作相应的改变，积分限要作相应的改变，故积出来的原函数不必回代故积出来的原函数不必回代;tttfxxfbad)()(d)(1),时时当当 换元公式仍成立换元公式仍成立;(2)应用定积分换元公式应用定积分换元公式,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 5 例例 203dsin xx 202dsinsin xxxxxcosd)cos1(202 xt costt d)1(2 01331tt,0 x32xt cos1
3、 t,2 x0 t01“凑凑”微分时微分时,不明显地写出不明显地写出 积分限不需变积分限不需变.新变量新变量 t，注注 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 202cosd)cos1(xx203cos31cos xx 32 6 例例 解解 43)ln1(lndeexxxx原式原式 43)ln1(ln)(lndeexxx 432)ln(1lnd2eexx 43)lnarcsin(2eex.6 )ln(dx定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 xxlndln1217 例例 )0(d022 axxaa解解 原式原式 ttadcos202 ,sintax 令令2,0,0
4、 taxtx 20d22cos1 tta241a 这是半径为这是半径为a的四分之一的圆的面积的四分之一的圆的面积.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 .dcosdttax 9 几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分 例例 证明证明上可积上可积在区间在区间设设,)(aaxf由由被积函数和积分区间被积函数和积分区间来确定变换来确定变换.aaxxfxfxxfd)()(d)(0a定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 0d)(axxf axxf0d)(0d)(attftx 令令.dd txxexxd1cos44 22xexexxxd1c
5、os1cos40 40dcos xx证明证明 10 定积分定积分-面积的代数和。面积的代数和。奇、偶函数奇、偶函数在在对称区间对称区间上的定积分性质：上的定积分性质：定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 aaaxxfxfxxf0d)()(d)(,)()1(为偶函数为偶函数xf aaaxxfxxf0d)(2d)(,)()2(为奇函数为奇函数xf aaxxf0d)(xxxxxd12sin552423xx d412 00 xxxdsin4 112d4xx例例 2012 例例 312d)2(,0,0,1)(xxfxexxxfx求求设设解解 法一法一,2 tx 令令txdde137 tt
6、 d)1(012 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 31d)2(xxf 11d)(ttftetd10 14 证证(1)tx 2 例例 证明证明上连续上连续在在若若,1,0)(xf 2020;d)(cosd)(sin)1(xxfxxf设设 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 02 20d)(cos ttf 20d)(cos xxftxdd 20d)(sin xxf ttfd)2sin(17 43 解解 exxxd)tan1(sin24 xx dsin4204 原式原式 e e2 2 周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等周期函数在任何长为一周期的区间
7、上的定积分都相等.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 2e ee2xxxeed)tan1(sin24 计算计算周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式.d)(d)(,)(0为任何常数为任何常数的周期的周期是连续函数是连续函数如果如果axxfxxfxfTTaaT 18 xxttt xx020dsin1lim求极限求极限解解 被积函数中含有变量被积函数中含有变量 x,积分上限函数的导数公式积分上限函数的导数公式.,utx 令令 xtttx0dsinuuudsin xxxxx22sinlim220 1 00分析分析 02x定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 202
8、0dsin1limxxuuux原式原式20 定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 二、定积分的二、定积分的分部积分分部积分法法 设设)(),(xvxu上上在区间在区间,ba有有连续的导数连续的导数,vuddefinite integral by parts 定理定理2 uv uvdabbaab21 例例 30d1arcsinxxx解解 xxx 1arcsin334 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 uvd原式原式=30 30 xxxxd)1(2 xxd)111(30 xd)arctan(xx 30 301xx22 例
9、例 102d)2()1ln(xxx 10)1ln(x2ln 10)2ln()1ln(312lnxx2ln31 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 u dx 21xx 2)1ln(10 xxxd112110 xd10 xx 21113123 例例 解解 21,dsin)(xtttxf设设.d)(10 xxxf求求 10d)(xxxf2dx102)(21xfx 102)(d21xfx)1(21f ttsin没有初等原函数没有初等原函数,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 分析分析 使用使用分部积分法分部积分法.u 10)(xf21.0)1(f22sin)(xxx
10、f .sin22xx x2 102dsin221xxx 1022dsin21xx102cos21x).11(cos21 24 思考题思考题 解答解答 10d)2(xxfx 10)2(d21xfx 10)2(21xfx 10)2(4125xf )0()2(4125ff.2 10d)2(21xxf )2(21f 10)2(d)2(41xxf定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 .d)2(,5)2(,3)2(10 xxfxff求求,1)0(,1,0)(fxf且且上连续上连续在在设设25 定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 bababauvuvvudd定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 三、小结三、小结 定积分的换元公式定积分的换元公式 xxfbad)(tttfd)()(奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式 周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式