1、一、边际分析边际分析 第六节 导数在经济上的应用导数在经济上的应用 第三三章 二、弹性分析弹性分析 3.6.1 常用的经济函数常用的经济函数 3.6.1 常用的经济函数常用的经济函数()Q Qp需求函数:就是商品需求量与价格之间的函数关系。1.需求函数需求函数 常见的需求函数有以下几种类型 (1)线性需求函数 (0,0);Q ab p a b dQdQa bp op(2)二次需求函数 2Q a b p c p (0,0,0);a b c dQop2dQ a b p c p (3)指数需求函数 bpdQaedQop(0,0).b pQ a ea b 一般来说，需求函数是价格的单调减少函数.()S
2、 S p供给函数:就是商品供给量与价格之间的函数关系。需求函数的反函数 称为价格函数。()P Pq2.供给函数供给函数 常见的供给函数有以下几种类型 (1)线性供给函数 sQc d p sQop(2)二次供给函数略 sQop(,0)asQ k p ak(3)幂供给函数 (4)指数供给函数 sQop(,0)b psQ a e ab一般来说，供给函数是 价格的单调增加函数.()Q Qp需求函数()S S p供给函数 pQ均衡价格 均衡量 价格 p Q o供过于求 供不于求 3.均衡点均衡点 例例3.6.1.某商品的 需求函数 2510p供给函数 2 0 05,Qp 求均衡点。(,)(7,1 6 5
3、)pQ 解：由均衡条件 QS得：2 0 0 5,p2 5 1 0,Sp4.本钱函数本钱函数 FC(q)和变动本钱(variable cost,VC(q).固定本钱包括设备 的固定费用和其他管理费用；变动本钱是随销售量或有形 本钱函数：一个企业的本钱包括固定本钱(fixed cost 产量的变化而变化。总本钱=固定本钱+可变本钱，即()()().CqFCq VCq 平均本钱函数()()C qC qq例例3.6.2 如果某产品的本钱如果某产品的本钱C是产量是产量q的线性函数，而的线性函数，而 2 0 0 0q当时，9 0 0 0C；当 4 4 0 0q时，1 2 6 0 0C，求出当 5600q时
4、的成本是多少？解：设,C a q b 那么 9 0 0 0 2 0 0 0,1 2 6 0 0 4 4 0 0,a ba b解之得：1.50,6000,ab所以 1.5 6 0 0 0,C q 5600q将 代入上式，得()1 4 1 0 0C q（元）实际上，6000是固定成本，1.5 q是可变成本。5.5.收益函数与利润函数收益函数与利润函数 收益函数：生产者出售一定数量产品所得的全部收入，函数：生产者出售一定数量产品所得的全部收入，()R q q p即收益=价格售出量，即 利润函数：利润是一个企业所追求的主要目标之一。利润利润L(q)是产量是产量或销售量或销售量的函数，利润的函数，利润=
5、收益收益-本钱，本钱，()()().L qR qC q()0Lq当时，生产者盈利；()0Lq当时，生产者亏损；()0Lq当时，生产者盈亏平衡；()0L q使的点，称为盈亏平衡点又称保本点 例例3.6.4 某工厂生产的某产品，年产量为q台，每台售价 为100元，当年产量超过800台，超过的局部只能以9折的价 格出售，这样可以多出售200台。再多生产，将无法出售。试写出本年的收益函数。解解：()Rq,100q),(800q90100800，若800q0,20090100800.1000q若，若1000q800),(800q9080000,980000例例3.6.5 设某产品的价格函数是 6 0(1
6、 0 0 0 0),1 0 0 0qpq 其中p为价格元，q为产品销售量。又设产品的固定 本钱为6000元，变动本钱为20元/件。求本钱函数、收益 解解：()2 06 0 0 0;C q q 成本函数为 收益函数()R q qp26 0(1 0 0 0 0);1 0 0 0qqq利润函数()()()L qR qC q 2601000qq(2 0 6 0 0 0)q 24 0 6 0 0 01 0 0 0qq函数和利润函数。1.最大利润问题最大利润问题：3.6.2.最大值与最小值在经济问题中的应用举例最大值与最小值在经济问题中的应用举例 例例3.6.6.某产品的总收益函数为某产品的总收益函数为
7、215()1 0,R qq q总本钱函数为 解：解：利润函数为()()()L qR qC q 21585 0q q 5 0 2Cq,求产量为多少时总利润最大.()L q258q25()L q()0Lq令，20q得这是L(q)唯一的驻点 25(2 0)0,L 0y 所以当 q=20 时总利润最大.最大利润：21582 0 2 0 5 0 30(20)L小结小结：一般地，当()0L q时，即()()Rq Cq时，总利润最大。例例3.6.7.某商店以每台某商店以每台350元的价格每周可能售出元的价格每周可能售出CD唱机唱机 200台，市场调查指出，当价格降低10元时，一周的销售量 可增加20台。求出
8、价格函数和销售额函数,商店要到达最大 销售额，应该把价格降低多少元 例例3.6.7.某商店以每台某商店以每台350元的价格每周可能售出元的价格每周可能售出CD唱机唱机 200台，市场调查指出，当价格降低10元时，一周的销售量 解：解：设调价后每周能售出x台，可增加20台。求出价格函数和销售额函数,商店要到达最大 200,x而每多销售一台，那么价格降低 11020元，说明假设价格降低 所以(4 5 0)P124 5 04 5 0 225销售额，应该把价格降低多少元 那么每周增加的销售量为 故价格函数为：1 0()3 5 0(2 0 0)2 0P xx 有唯一的极大值，即为最大值。1450,2x销
9、售额函数为：()()R x x P x21450,2xx求其最大值：()0Rx令，()R x2450,x4 5 0(x 得台),()10,Rx 3 5 0 2 2 5 1 2 5()元，销售额可到达最大。2.最小本钱问题：最小本钱问题：例例3.6.8.某产品的本钱函数为：某产品的本钱函数为：2()1 0 04qC Cq求 当产量为多少时，平均本钱最小。解解:平均本钱：()()C qC qq1004qq2100 1(),4C qq3200()Cqq()0,C q令2 0q得只取正值 0y 0y(2 0)0,C 20.q 时平均成本最小1.边际函数：边际函数：设函数设函数()()y f x x f
10、 xxxdyy()yf x0limxyx称为称为f(x)在在 x 处的变化率。处的变化率。()f x称为称为f(x)在在 平均变化率。平均变化率。(,)xxx()df x x()f x所以，边际函数近似等于所以，边际函数近似等于().fx当当 自变量自变量 从从 x 处改变一个单位时，处改变一个单位时，y 相应的改变量称相应的改变量称 为边为边际函数。此时，际函数。此时，实际上，经常省略实际上，经常省略“近似近似。3.6.3 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用 一一.边际分析边际分析 方案生产 q 件产品后再多生产 1 件产品,本钱的实际改变是:(1)()C qC q0()()()l
11、 i mqC q q C qC qq (1)()1CqCq(1)()C q C q 即:产品数量为 q 时，边际本钱 增减一件产品时本钱的实际改变 边际本钱:(或少)()(1)C q C q(1)()()1C qC qCq ()(1)C qC q 2 边际本钱函数边际本钱函数 例例3.6.9.某产品的总本钱某产品的总本钱 C(单位单位:元元)和产量和产量 q 的关系式的关系式为为()1 0 0 05 3 0C qqq 求生产100件和225件产品时的边际本钱.解解:()C q1 0 0 05 3 0qq 513 02q1 55q1 5(1 0 0)51 0 0C 6.5(/)元 件1 5(2
12、2 5)52 2 5C 6(/)元件 经济含义经济含义:当产量为当产量为 225 件时件时,再增加再增加 1 件产品件产品,总本钱将总本钱将增加增加 6 元左右。元左右。经济含义经济含义:当产量为当产量为100件时件时,再增加再增加1件产品件产品,总本钱将总本钱将 增加增加 6.5元左右。元左右。Rpq 3.边际收益函数边际收益函数 总收益：总收益：边际收益函数：边际收益函数：()Rq在销售了 q 件产品后再多或少销售 1 件产品,收益的实际改变是:(1)()R qR q边际收益:()(1)R q R q(1)()()1R qR qRq ()(1)R qR q 0()()()l i mqR q
13、 q R qRqq (1)()1RqRq(1)()R qR q 含义含义:产品数量为 q 时，边际收益 多(或少)售一件产品时收益的增加(或减少)量 1 0 05,qp 其中 p 为单价,例例3.6.10.设产品的需求量为：求边际收益函数及 q=20,50,70 时的边际收益，并解释 所得结果的经济意义。解：解：产品单价为 15(1 0 0)pq总收益函数为()Rq qp 15(1 0 0)qq边际收益函数：15()(1 0 02)R qq 15(20)(100 2 20)R 1215(5 0)(1 0 0 2 5 0)R 08 215(1 0 0)q q15(7 0)(1 0 0 2 7 0
14、)R q=20时,再多售一件产品总收益将增加12个单位 q=50时,再多售一件产品总收益不会增加 q=70时,再多售一件产品总收益反而减少7个单位 设 q 为商品售出量,()C Cq4.边际利润函数边际利润函数 总本钱函数：利润函数：利润函数：()()R q C q()L q()R Rq总收益函数：L=总收益 总本钱 边际利润：边际利润：()Lq边际利润的含义边际利润的含义:销售量为 q 时，边际利润 再多售一件产品时利润的增加量(少售)(减少量)二二.弹性分析弹性分析 定义定义3.6.1 设函数()()()yf xx f xyf xxxxx()yf x称为称为f(x)在在 x 处的弹性处的弹
15、性相对变化率相对变化率。1.函数弹性的概念函数弹性的概念 边际函数是指函数的绝对改变量与绝对变化率，而函数边际函数是指函数的绝对改变量与绝对变化率，而函数 的弹性是指相对改变量与相对变化率。的弹性是指相对改变量与相对变化率。可导，称为称为f(x)在在 和和 之间的弹性之间的弹性(平均相对变化率平均相对变化率)。xxx0limyyxxx()Ef xEx0limyyxxxE yE x0limxyxxy.xyy记为 2.需求弹性需求弹性 设需求函数为设需求函数为 P为产品的价格,()P 0limddQQPPP0limdPdQPP Q().()fPPf P(),dQf P当 很小时，有 P故需求弹性
16、近似地表示当价格为P时，价格变动1%，需求量将近似地变动%。所以需求弹性反映了需求量对价格变动反映的灵敏度。一般地，因为需求函数为单减函数，故需求弹性为负值。该函数在P点可 导，那么该产品在价格 为P时的需求弹性：.PPQQdd例例3.6.11 设某种商品的需求量设某种商品的需求量Q与价格与价格P的关系为的关系为(1)求需求弹性 ；()()fPPfP(2)当商品的价格为 10元时，再提高1%，求商品需求量的变化情况。解解 (1)需求弹性为,)41(1600)(PPQ)(P)(PPPP)41(1600)41(1600(PPP)41(160041ln)41(1600P2ln2.39.1 P需求弹性为负，说明价格P提高1%时，需求量减少%。(2)当价格为10元时，)10(1039.1 9.13说明当价格为10元时，价格提高1%时，需求量减少13.9%.价格降低1%时，需求量增加13.9%.3.供给弹性：与需求弹性的定义类似。供给弹性：与需求弹性的定义类似。设供给函数为设供给函数为 P为产品的价格,()P 0limssQQPPP0limsPsQPP Q().()PPP(),sQP该函数在P点可