1、导数在经济中的应用导数在经济中的应用 1 常用的经济函数常用的经济函数 1需求函数需求函数 设设P表示商品价格表示商品价格，Qd表示对该商品的需求表示对该商品的需求量量，那么有那么有 Qd=f(P),称为该商品的需求函数；称为该商品的需求函数；需求函数是单调减少的需求函数是单调减少的。2供给函数供给函数 设设P表示商品价格，表示商品价格，Qs表示该对商品的供给量，表示该对商品的供给量，那么称那么称Qs=f(P)为该商品的供给函数。供给函为该商品的供给函数。供给函数是单调增加的。数是单调增加的。例例1 1：设某商品的需求函数：设某商品的需求函数Qd=f(P)Qd=f(P)a a-bP bP；供给
2、函数供给函数Qs=f(P)=Qs=f(P)=-c+dP.c+dP.acPbd市场上供需平衡时的价格称为市场上供需平衡时的价格称为均衡价格均衡价格。那么均衡价格为：那么均衡价格为：供需平衡时有：供需平衡时有：Qd a-bP Qs=-c+dP.4总收益总收益收入收入函数函数 设设Q表示商品的销售量表示商品的销售量，P表示商品价格表示商品价格，那那么销售该商品的总收益为么销售该商品的总收益为RQPR(Q)，称为总称为总收益收益收入收入函数函数。3总本钱函数总本钱函数 设设Q表示产品的产量表示产品的产量，C表示总本钱表示总本钱，那么称那么称 C=C(Q)为总本钱函数为总本钱函数，Q0时时，称称C(0)
3、为固定为固定 本钱本钱，称称 为平均本钱函数为平均本钱函数。总本钱函总本钱函 数是单调增加的数是单调增加的，但平均本钱函数一般不单调但平均本钱函数一般不单调。C(Q)C=Q 假设逆需求函数为假设逆需求函数为P=f(Q)，那么总收益函数，那么总收益函数为：为：RQP Q f(Q)。5利润函数利润函数 设设Q表示产品的产量，表示产品的产量，L表示利润，那么称表示利润，那么称L=L(Q)为利润函数。为利润函数。假设总本钱函数为假设总本钱函数为C(Q)C(Q)，总收益函数，总收益函数R(Q)R(Q)，那么利润函数那么利润函数L(Q)L(Q)R(Q)R(Q)C(Q)C(Q)。解：解：1固定本钱固定本钱C
4、(0)500，平均本钱函数：平均本钱函数：C(Q)2 Q+5 0 05 0 0C=2+QQQ2总收益函数为：总收益函数为：RQP Q f(Q)Q(10-0.01Q)=10Q-0.01Q2。3利润函数为利润函数为:L(Q)R(Q)C(Q)8Q-0.01Q2-500 例例2：某商品需求量：某商品需求量Q与价格与价格P之间的函数的关系为之间的函数的关系为Q1000100P，总本钱函数为总本钱函数为C(Q)2Q500。求：求：1固定本钱和平均本钱函数固定本钱和平均本钱函数。2总收总收益函数益函数。3利润函数利润函数。边际与边际分析边际与边际分析 规律的方法叫作规律的方法叫作边际分析法边际分析法。1、边
5、际本钱、边际本钱 设成本函数为设成本函数为 )(xC，当产量由当产量由 x变为变为 xx 时，时，成本函数的增量为成本函数的增量为 )()(xCxxCC，这时成本这时成本 函数的平均变化率函数的平均变化率 xxCxxCxC)()(为平均意义下，为平均意义下，边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济 济变量的济变量的变化率变化率。利用导数来研究经济变量边际变化利用导数来研究经济变量边际变化 当产量由当产量由 x增加一个单位时所增加的成本，当增加一个单位时所增加的成本，当 0 x时，假设上式极限存在，即时，假设上式极限存在，即 )(xC可导，那么有可
6、导，那么有.)()(limlim)(00 xxCxxCxCxCxx我们称我们称 )(xC为边际本钱函数，其经济学的解释为：为边际本钱函数，其经济学的解释为：)(xC近似等于当产量为近似等于当产量为 x时，若再增加一个单位产量所需增加时，若再增加一个单位产量所需增加 的本钱。这是因为的本钱。这是因为 ).()()()1(xCxCxCxC2、边际收益、边际收益 设产品销量为设产品销量为 x时的收益为时的收益为 )(xRR称为收益函数称为收益函数，)(xR可导时，可导时，收益函数的变化率收益函数的变化率 xxRxxRxRxRxx)()(limlim)(00称为销量为称为销量为 x时该产品的时该产品的
7、边际收入边际收入，它的经济学解释为：，它的经济学解释为：)(xR近似等于当销量为近似等于当销量为 x时，再销售一个单位产品所增加时，再销售一个单位产品所增加 或减少或减少的总收益。的总收益。当当 3、边际利润、边际利润 设某产品销量为设某产品销量为 x时的总利润为时的总利润为 )(xLL，当，当 )(xL可导时，利润函数的变化率可导时，利润函数的变化率 xxLxxLxLxLxx)()(limlim)(00称为销量为称为销量为 x时的边际利润。时的边际利润。)(xL近似等于销量为近似等于销量为 它的经济学解释为：它的经济学解释为：或减少或减少的利润的利润.x时，再多销售一个单位产品所增加时，再多
8、销售一个单位产品所增加 由于总利润为总收入与总本钱之差，即由于总利润为总收入与总本钱之差，即 ),()()(xCxRxL从而从而 ),()()(xCxRxL可知边际利润是边际收益与边际本钱之差。可知边际利润是边际收益与边际本钱之差。设商品的需求量为设商品的需求量为 Q，价格为价格为 p，需求函数，需求函数 ).(pQQ4、边际需求、边际需求)(pQdpdQ称为称为边际需求函数边际需求函数。经济意义为：当价格为经济意义为：当价格为p时，价格上涨时，价格上涨或下降或下降1个单个单 位，需求量将减少位，需求量将减少或增加或增加)(pQ个单位。个单位。)(pQQ的反函数的反函数)(1QQP称为称为价格
9、函数价格函数。例例1 设某厂生产某产品的固定成本为设某厂生产某产品的固定成本为2000（元），生产（元），生产 x个产品的可变成本为个产品的可变成本为 xx 1001.02（元），如果产品的（元），如果产品的 销售价为销售价为30元，试求边际本钱、边际利润以及边际利润元，试求边际本钱、边际利润以及边际利润为零时的产量。为零时的产量。解解 总本钱函数为总本钱函数为,20001001.0)(2xxxC故边际本钱函数故边际本钱函数.1002.0)(xxC又由总收益函数又由总收益函数 xpxxR30)(知，总利润函数为知，总利润函数为,20002001.0)()()(2xxxCxRxL故边际利润函数为
10、故边际利润函数为).1000(02.02002.0)(xxxL显然，当月产量为显然，当月产量为1000单位时，边际利润为零。单位时，边际利润为零。例例2设某产品需求量设某产品需求量 px101000，其中，其中 p为价格，为价格，求边际收益函数以及求边际收益函数以及 600,500,200,100 x时的边际收益。时的边际收益。解由总收益函数为解由总收益函数为 pxxR)(，又根据需求函数知又根据需求函数知 ),101100(xp从而总收益函数为从而总收益函数为,100101)101100()(2xxxxxR故边际收益函数为故边际收益函数为).500(5110051)(xxxR令令;0,0)(
11、xxR由此可知，当销量小于由此可知，当销量小于500时，再增加销售可使总收入增时，再增加销售可使总收入增加，但销量超过加，但销量超过500时，收益会减少。时，收益会减少。,0500,0500R，xR，x时当时又当.20)600(,0)500(,60)200(,80)100(RRRR).500(5110051)(xxxR由由 得得 弹性与弹性分析弹性与弹性分析 定义定义 设函数设函数 )(xfy在点在点 )0(00 xx的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，弹性概念是经济学中的另一个重要概念弹性概念是经济学中的另一个重要概念.相对改变量相对改变量(或增量或增量)。在经济学问题中，光有绝对数的概
12、念是不够的。在经济学问题中，光有绝对数的概念是不够的。例如：甲商品价格为例如：甲商品价格为5元，涨价元，涨价1 元；乙商品价格为元；乙商品价格为200元，元，涨价涨价1 元。价格的绝对改变量相同，哪个商品涨价幅度更大？元。价格的绝对改变量相同，哪个商品涨价幅度更大？我们用与原价之比来答复，甲商品涨价幅度为我们用与原价之比来答复，甲商品涨价幅度为20%，乙商品，乙商品 涨价幅度为涨价幅度为0.5%.对函数对函数 yyxxxfy与),(分别称为自变量与因变量的分别称为自变量与因变量的 且且 ,0)(0 xf如果极限如果极限 00000000/)(/)()(lim/)(/limxxxfxfxxfxx
13、xfyxx存在，则称此极限值为函数存在，则称此极限值为函数 )(xfy在在 0 x处点弹性，处点弹性，记为记为 0 xxExEy，而称比值而称比值 000000/)(/)()(/)(/xxxfxfxxfxxxfy)(xfy在在 0 x到到 xx0之间的平均弹性。之间的平均弹性。为函数为函数 可知可知),()(0000 xfxfxExEyxx当当 x很小时，得很小时，得 ,/)(/000 xxxfyExEyxx若函数若函数 )(xfy在在 ),(ba可导，且对可导，且对 0)(),(xfbax则称则称 ，平均函数边际函数xydxdyxfxfxExEy)()(为函数为函数 )(xfy在区间在区间
14、),(ba内的内的点弹性函数点弹性函数，简称，简称弹性函数弹性函数。弹性在经济上又可理解为边际函数与平均函数之比。弹性在经济上又可理解为边际函数与平均函数之比。)(xf近似地改变近似地改变%.)(0 xxExEy0 xxExEy表示在点表示在点 0 xx 处当处当 x产生产生1%的改变时，的改变时，在经济上在经济上 应用中常略去近似二字。应用中常略去近似二字。;0,ExEycy（1）;1,ExEyaxy（2）常用的弹性公式常用的弹性公式（4）;,bExEyaxyb（5）.,xExEyaeyx;,b ax ax Ex Ey ax+b y （3）)()(xfxfxExEy设商品的需求量为设商品的需
15、求量为 Q，价格为价格为 p，需求函数，需求函数 )(pQQ可导，那么称可导，那么称 )()(pQpQpEpEQ为该商品的需求的价格弹性，简称为需求弹性，常记为为该商品的需求的价格弹性，简称为需求弹性，常记为 ).(p表示某商品表示某商品 程度程度.当价格上涨时，需求减少，因而当价格上涨时，需求减少，因而 )(pQ是递减函数，是递减函数，经济学中常见的弹性函数经济学中常见的弹性函数 需求的价格弹性需求的价格弹性 当价格变化一定的百分比以后引起需求量的反映当价格变化一定的百分比以后引起需求量的反映,0)(pQ一般为负值。一般为负值。从而从而)(p有有 1当当 1)(p时，称为单位弹性，此时商品需
16、求量的变动时，称为单位弹性，此时商品需求量的变动 与价格变动按相同百分比进行；与价格变动按相同百分比进行；1)(p即即 1)(p商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，说明需求商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，说明需求 说明商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，说明商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，即价格变动对需求影响不大。即价格变动对需求影响不大。需求的价格弹性在经济学中的意义需求的价格弹性在经济学中的意义：2当当 时，称为高弹性，此时时，称为高弹性，此时 量对价格的变动较敏感；量对价格的变动较敏感；0)(1p时，此时时，此时 1)(p（3）当）当，称为低弹性，称为低弹性，例例3 设每天从甲地到乙地的飞机票的需求量为设每天从甲地到乙地的飞机票的需求量为.9000,900500)(pppQ为机票价格，问价格在什么范围内，需求为高弹为机票价格，问价格在什么范围内，需求为高弹 p其中其中 性和低弹性的？性和低弹性的？解解 由于由于 ,900250)(ppQ故故 ,)900(2900250900500)(pppppp故当故当 ,1)900(2)(ppp)()(p