1、第 六 章第 六 章 不等式不等式 6.5 含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式 考考 点点 搜搜 索索 应用均值不等式求最值应用均值不等式求最值 应用不等式求范围应用不等式求范围 不等式与函数不等式与函数 不等式与平面几何、立体几何不等式与平面几何、立体几何 不等式与解析几何不等式与解析几何 不等式在实际问题中的应用不等式在实际问题中的应用 恒成立不等式的常用解决方法恒成立不等式的常用解决方法 高高 考考 猜猜 想想 运用不等式的性质和方法解决一些运用不等式的性质和方法解决一些涉及不等关系涉及不等关系(特别是函数中的有关问题，特别是函数中的有关问题，如单调性等如单调性等)以及实际问题等，是不
2、等式以及实际问题等，是不等式知识应用的重要体现，是高考的热点，知识应用的重要体现，是高考的热点，各种题型都有，各种难度都有可能，因各种题型都有，各种难度都有可能，因此应予以特别的关注此应予以特别的关注.一、不等式的主要应用一、不等式的主要应用 不等式在中学数学中有着广泛的应用，其不等式在中学数学中有着广泛的应用，其中主要表现在：中主要表现在：(1)求函数的定义域、值域；求函数的定义域、值域；(2)求函数的最值；求函数的最值；(3)讨论函数的单调性；讨论函数的单调性；(4)研究研究方程的实根分布；方程的实根分布；(5)求参数的取值范围；求参数的取值范围；(6)解解决与不等式有关的应用性问题等决与
3、不等式有关的应用性问题等.其中含参数的其中含参数的讨论和不等式在实际问题中的应用是高考命题讨论和不等式在实际问题中的应用是高考命题的热点，也是学习中的难点的热点，也是学习中的难点.二、建立不等式的主要途径二、建立不等式的主要途径 (1)利用问题的几何意义；利用问题的几何意义；(2)利用判别式；利用判别式；(3)利用函数的有界性；利用函数的有界性；(4)利用函数的单调性利用函数的单调性.设设 那么那么M、N的大小关系是的大小关系是()A.MN B.M=N C.MN D.不能确定不能确定 解：解：由由 (注意注意a1，a3),所以所以MN.A 21211(23),l o g()(),-21 6M
4、aa NxxRa 1123,(-2)2 2 2 4-2-2aM aaaa 2112211log()log4.1616Nx 把长为把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是的最小值是()解解:设一段长为设一段长为x cm,那么另一段长为那么另一段长为(12-x)cm,那么那么 D 22223.3 .4 2.32 .23 Ac mB c mCc mDc m222233 12-3()()(-1272)4343183(-6)362 3.18xxSxxx 假设关于假设关于x的方程的方程4x
5、+a 2x+a+1=0有实数有实数解，那么实数解，那么实数a的取值范围是的取值范围是_.解：令解：令t=2x(t0)，那么原方程化为，那么原方程化为t2+at+a+1=0，变形得变形得 212-(1)-211-(22-2)2-22.tattt 1.(1)求函数求函数 (x-1)的最小值的最小值;(2)x0，y0且且3x+4y=12，求，求lgx+lgy的最的最大值及相应的大值及相应的x、y的值的值.解：解：(1)因为因为x-1，所以，所以x+10.所以所以 题型题型1 不等式在纯数学问题中的应用不等式在纯数学问题中的应用 27101xxyx227 1 0(1)5(1)41144(1)5 2(1
6、)5 9,11xxxxyxxxxxx 当且仅当当且仅当x+1=即即x=1时时,等号成立等号成立.所以当所以当x=1时时,函数函数 (x-1)的的最小值为最小值为9.(2)因为因为x0，y0，且，且3x+4y=12，所以所以 所以所以lgx+lgy=lgxylg3，当且仅当当且仅当3x=4y=6，即，即x=2，y=时等号成立时等号成立.所以当所以当x=2，y=时，时，lgx+lgy取最大值取最大值lg3.4,1x27101xxyx3232211 34(3)(4)()3.12122xyxyxy 点评：不等式、方程、函数等知识的结点评：不等式、方程、函数等知识的结合是代数知识综合的一个主要方面，利用
7、不合是代数知识综合的一个主要方面，利用不等式研究函数、数列等有关问题，表达了不等式研究函数、数列等有关问题，表达了不等式的工具性等式的工具性.如此题就是充分利用均值不等如此题就是充分利用均值不等式的性质，得出函数式的最值式的性质，得出函数式的最值.函数函数f(x)=(x0).(1)判断判断f(x)在在(0，+)上的单调性上的单调性,并证明并证明;(2)解关于解关于x的不等式的不等式f(x)0;(3)假设假设f(x)+2x0在在(0，+)上恒成立，求上恒成立，求a的取值范围的取值范围.解：解：(1)因为因为f(x)=-0，所以所以f(x)在在(0，+)上为减函数上为减函数.(2)由由f(x)0,
8、得得 即即 当当a0时时,不等式的解集为不等式的解集为x|0 x2a;拓展练习拓展练习拓展练习拓展练习12-ax22x12-0,ax-20.xaa x当当a0时，原不等式化为时，原不等式化为 其解集为其解集为x|x0.(3)假设假设f(x)+2x0在在(0，+)上恒成立，上恒成立，即即 所以所以 因为因为 +2x4，所以所以 4，解得，解得a0或或a .故故a的取值范围是的取值范围是(-，0)，+).-20,xax12-20,xax 122.xax2x1a1414 2.围建一个面积为围建一个面积为 360 m2的矩形场地的矩形场地,要求要求 矩形场地的一面利用旧矩形场地的一面利用旧 墙墙(利用
9、的旧墙需维修利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建其他三面围墙要新建.在旧墙对面的新墙上要留在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为一个宽度为2 m的进出口，如下图的进出口，如下图.旧墙的维修费旧墙的维修费用为用为45元元/m，新墙的造价为，新墙的造价为180元元/m.设利用的旧设利用的旧墙长度为墙长度为x(单位：单位：m)，修建此矩形场地围墙的总，修建此矩形场地围墙的总费用为费用为y(单位：元单位：元).题型题型2 不等式在实际问题中的应用不等式在实际问题中的应用 (1)将将y表示为表示为x的函数；的函数；(2)试确定试确定x，使修建此矩形场地围墙的总，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总
10、费用费用最小，并求出最小总费用.解：解：(1)如图，设矩形如图，设矩形 的另一边长为的另一边长为a m.那么那么y=45x+180(x-2)+180 2a=225x+360a-360,由由xa=360，得，得a=,所以所以 3 6 0 x2360225-360(0).yxxx (2)因为因为x0,所以所以 所以所以 当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立.即当即当x=24 m时，修建此矩形场地围墙的时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是总费用最小，最小总费用是10440元元.点评：求解不等式的应用题，一般先建点评：求解不等式的应用题，一般先建立相应的函数关系，然后转化为利用不等式
11、去立相应的函数关系，然后转化为利用不等式去求函数的最值，或比较几个式子的值求函数的最值，或比较几个式子的值.注意合注意合理选取变元，构造数学模型，建立函数关系式理选取变元，构造数学模型，建立函数关系式.223602252 225 36010800.xx2360225-360 10440.yxx2360225xx 某省每年损失耕地某省每年损失耕地20万亩，每万亩，每亩耕地的价格为亩耕地的价格为2.4万元万元.为了减少耕地损失，为了减少耕地损失，政府部门决定按耕地价格的政府部门决定按耕地价格的t%征收耕地占用征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少税，这样每年的耕地损失可减少2.5t万亩万亩.为了
12、为了既减少耕地损失，又保证此项税收一年不少既减少耕地损失，又保证此项税收一年不少于于9000万元，那么万元，那么t的取值范围是的取值范围是.解：据题意，得解：据题意，得 即即 整理，得整理，得t2-8t+150，所以，所以3t5.拓展练习拓展练习拓展练习拓展练习45(2 0-)1 0 2.49 0 0 0,21 0 0tt 5(20-)24900,2tt 汽车在行驶中由于惯性作用，刹车后还要汽车在行驶中由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离距离为“刹车距离.刹车距离是分析事故的一刹车距离是分析事故的一个重要因素个
13、重要因素.在一个限速在一个限速40 km/h以内的弯道上，以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了时刹车，但还是相碰了.参 考 题参 考 题参 考 题参 考 题题型题型 解不等式在应用题中的应用解不等式在应用题中的应用 事发后现场测得甲车的刹车距离略超过事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车，又知甲、乙两种车型的刹车距离型的刹车距离s(m)与车速与车速x(km/h)之间分别有如之间分别有如下关系：下关系：s甲甲=0.1x+0.01x2，s乙乙=0.0
14、5x+0.005x2.问超速行驶应负主要责任的是谁？问超速行驶应负主要责任的是谁？解：由解：由s甲甲=0.1x+0.01x212,得得x30或或x-40;由由s乙乙=0.05x+0.005x210,得得x40或或x-50.由于由于x0,从而可得从而可得x甲甲30 km/h,x乙乙40 km/h.经过比较知乙车超过限速，应负主要责任经过比较知乙车超过限速，应负主要责任.在利用函数观点处理有关问题时，要注意在利用函数观点处理有关问题时，要注意如下结论的运用：设如下结论的运用：设f(x)的定义域为的定义域为m，n(mn)，值域为，值域为A，B(AB).假设假设f(x)a在定义域上恒成立，那么在定义域上恒成立，那么aA;假设假设f(x)a在定在定义域上恒成立，那么义域上恒成立，那么aB.