1、第1讲 不等关系与不等式【2013年高考会这样考】结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用【复习指导】不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题 基础梳理 1不等式的定义 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号 连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式 2比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有ab0 ；ab0 ；ab0 .另外，若b0，则有ab1ab；ab1ab；ab1ab.、
2、ab ab ab 3不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bc ；(3)可加性：abac bc，ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n2)；(6)可开方：ab0nanb(nN，n2)ac 一个技巧 作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方 一种方法 待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围 两条常用性质(1)倒数性质：ab，ab01a1b；a0b1a1b；ab0,0cdacbd；0axb或axb0
3、1b1x1a.(2)若ab0，m0，则 真分数的性质：babmam；babmam(bm0)；假分数的性质：abambm；abambm(bm0)双基自测 1(人教 A 版教材习题改编)给出下列命题：abac2bc2；a|b|a2b2；aba3b3；|a|ba2b2.其中正确的命题是()A B C D 解析 当 c0 时，ac2bc2，不正确；a|b|0，a2|b|2b2，正确；a3b3(ab)(a2abb2)(ab)a12b234b20，正确；取 a2，b3，则|a|b，但 a24b29，不正确 答案 B 2限速 40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过 40
4、km/h，写成不等式就是()Av40 km/h Bv40 km/h Cv40 km/h Dv40 km/h 答案 D 3(2012 银川质检)已知 a，b，cR，则“ab”是“ac2bc2”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 ab/ac2bc2，当 c20 时，ac2bc2；反之，ac2bc2ab.答案 B 4已知 ab，cd，且 c，d 不为 0，那么下列不等式成立的是()Aadbc Bacbd Cacbd Dacbd 解析 由不等式性质知：ab，cdacbd.答案 D 5.121与 31 的大小关系为_ 解析 121(31)(21)(31
5、)2 30，121 31.答案 121 31 考向一 比较大小【例 1】已知 a，b，c 是实数，试比较 a2b2c2与 abbcca 的大小 审题视点 采用作差法比较，作差后构造完全平方式即可 解 a2b2c2(abbcca)12(ab)2(bc)2(ca)20，当且仅当 abc 时取等号 a2b2c2abbcca.比较大小的方法常采用作差法与作商法，但题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小 【训练 1】已知 a，bR 且 ab，则下列不等式中一定成立的是()A.ab1 Ba2b2 Clg(ab)0 D.12a12b 解析 令 a2，b1，则 ab，ab2，故ab1 不成立，排除 A；令 a
6、1，b2，则 a21，b24，故 a2b2不成立，排除 B；当 ab在区间(0,1)内时，lg(ab)0，排除 C；f(x)12x在 R 上是减函数，ab，f(a)f(b)答案 D 考向二 不等式的性质【例 2】(2012 包头模拟)若 a0ba，cd0，则下列命题：(1)adbc；(2)adbc0；(3)acbd；(4)a(dc)b(dc)中能成立的个数是()A1 B2 C3 D4 审题视点 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假 解析 a0b，cd0，ad0，bc0，adbc，(1)错误 a0ba，ab0，cd0，cd0，a(c)(b)(d)，acbd0，adbcacbdcd0，(2)正
7、确 cd，cd，ab，a(c)b(d)，acbd，(3)正确 ab，dc0，a(dc)b(dc)，(4)正确，故选 C.答案 C 在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等 【训练 2】已知三个不等式：ab0；bcad；cadb.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3 解析 命题 1：若 ab0，cadb，则 bcad；命题 2：若 ab0，bcad，则cadb；命题 3：若cadb，bcad，则 ab
8、0.答案 D 考向三 不等式性质的应用【例 3】已知函数 f(x)ax2bx，且 1f(1)2,2f(1)4.求 f(2)的取值范围 审题视点 可利用待定系数法寻找目标式 f(2)与已知式 f(1)，f(1)之间的关系，即用 f(1)，f(1)整体表示 f(2)，再利用不等式的性质求 f(2)的范围 解 f(1)ab，f(1)ab.f(2)4a2b.设m(ab)n(ab)4a2b.mn4，mn2，m1，n3.f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1)1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10.由af(x，y)b，cg(x，y)d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y
9、)mf(x，y)ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围 【训练3】若，满足 11，123，试求3的取值范围 解 设3x()y(2)(xy)(x2y).由 xy1，x2y3，解得 x1，y2.1()1,22(2)6，两式相加，得137.考向四 利用不等式的性质证明简单不等式【例4】设abc，求证：1ab1bc1ca0.审题视点 充分运用已知条件及不等式性质进行求证 证明 abc，cb.acab0，1ab1ac0.1ab1ca0.又bc0，1bc0.1ab1bc1ca0.(1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件(2)同向不等式的可加性与可乘
10、性可推广到两个以上的不等式 【训练4】若ab0，cd0，e0，求证：eac2ebd2.证明 cd0，cd0.又ab0，acbd0.(ac)2(bd)20.01ac21bd2.又e0，eac2ebd2.难点突破15数式大小比较问题 数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识，内容丰富多彩命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用 一、作差法【示例】(2011 陕西)设0ab，则下列不等式中正确的是()Aab abab2 Ba abab2b Ca abbab2 D.abaab2b 二、作商法【示例】若0 x1，a0且a1，则|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小关系是()A|loga(1x)|loga(1x)|B|loga(1x)|loga(1x)|C不确定，由a的值决定 D不确定，由x的值决定 三、中间量法【示例】若 a20.6，blog3，clog2sin25，则()Aabc Bbac Ccab Dbca 单击此处进入单击此处进入 活页限时训练活页限时训练