1、第第5 5讲讲 函数、导数及不等式的综合应用函数、导数及不等式的综合应用 第第5 5讲讲 函数、导数及函数、导数及 不等式的综合应用不等式的综合应用 主干知识整合主干知识整合 第第5 5讲讲 主干知识整合主干知识整合 1利用导数研究函数问题利用导数研究函数问题(1)利用导数求利用导数求函数单调性的步骤函数单调性的步骤：求求 f(x)；求方程求方程 f(x)0 的根的根，设根为设根为 x1，x2，xn；x1，x2，xn将给定的区间将给定的区间分成分成 n1 个子区间个子区间，再在每一个子区间内判断再在每一个子区间内判断 f(x)的符号的符号，由此由此确定每一个子区间的单调性确定每一个子区间的单调
2、性(2)利用导数研究函数的极值时利用导数研究函数的极值时，一般应先考虑函数的定义域一般应先考虑函数的定义域，然后求出函数的导数然后求出函数的导数，得到导数为零的点得到导数为零的点，这些点将整个定义域分这些点将整个定义域分为若干个区间为若干个区间，然后将然后将 x、f(x)、f(x)在每个区间内的变化情况列在每个区间内的变化情况列在一个表格中在一个表格中，通过表格可以清楚地判断出在哪个点处是极值通过表格可以清楚地判断出在哪个点处是极值，是是极大值还是极小值极大值还是极小值 第第5 5讲讲 主干知识整合主干知识整合 2利用导数解决不等式问题利用导数解决不等式问题(1)不等式恒成立：不等式恒成立问题
3、中蕴含着转化、数形结合、分不等式恒成立：不等式恒成立问题中蕴含着转化、数形结合、分类讨论、函数与方程、有限与无限等丰富的数学思想方法，越来越受到类讨论、函数与方程、有限与无限等丰富的数学思想方法，越来越受到高考命题者的青睐，这从近年来的高考试题中不难看出不等式恒成立高考命题者的青睐，这从近年来的高考试题中不难看出不等式恒成立问题的基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题，导问题的基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题，导数正是研究这个问题的有力工具数正是研究这个问题的有力工具(2)比较两个函数的大小：这类问题开始时并不知道两个函数之间的比较两个函数的大小：这类问题开始
4、时并不知道两个函数之间的大小关系，一般思路是用作差比较的方法解决，两个函数作差后还是一大小关系，一般思路是用作差比较的方法解决，两个函数作差后还是一个函数，通过研究这个函数值域与零的大小确定所比较的两个函数的大个函数，通过研究这个函数值域与零的大小确定所比较的两个函数的大小小 第第5 5讲讲 主干知识整合主干知识整合 (3)证明不等式证明不等式：对于只含有一个变量的不等式都对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数可以通过构造函数，然后利用函数的单调性和极值解决然后利用函数的单调性和极值解决 3利用导数研究实际生活问题利用导数研究实际生活问题(1)用导数解决实际问题的一般步骤用导数解决实际问
5、题的一般步骤：建立函数关系式建立函数关系式；利用导利用导数求函数的最值数求函数的最值；根据求解结果对实际问题作出解释根据求解结果对实际问题作出解释 即建模即建模、解模解模、解释实际问题解释实际问题(2)有关函数最大值有关函数最大值、最小值的实际问题最小值的实际问题，一般指的是单峰函数一般指的是单峰函数，也也就是说在实际问题中就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不那么不与端点比较与端点比较，就可以知道这个极值点就是最大就可以知道这个极值点就是最大(小小)值点值点 要点热点探究要点热点探究 第第5 5讲讲 要点热点探究要点热点探究 探究点一
6、探究点一 函数与导数的综合函数与导数的综合 例例 1 2011 江苏卷江苏卷 已知已知 a，b 是实数是实数，函数函数 f(x)x3ax，g(x)x2bx,f(x)和和 g(x)分别是分别是 f(x)和和 g(x)的导函数的导函数，若若 f(x)g(x)0 在区间在区间 I 上恒成立上恒成立，则称则称 f(x)和和 g(x)在区在区间间 I 上单调性一致上单调性一致(1)设设 a0，若若 f(x)和和 g(x)在区间在区间1，)上单调性一上单调性一致致，求求 b 的取值范围的取值范围；(2)设设 a0，故故 3x2a0，进而进而 2xb0，即即 b2x 在区间在区间1，)上恒成立上恒成立，所以
7、所以 b2.因此因此 b 的取值范围是的取值范围是2，)(2)令令 f(x)0，解得解得 xa3.若若 b0，由由 a0 得得 0(a，b)又因为又因为 f(0)g(0)ab0，所以函数所以函数f(x)和和g(x)在在(a，b)上不是单调性一致的上不是单调性一致的 因此因此b0.现设现设b0.当当x(，0)时时，g(x)0.因此当因此当 x ，a3时时，f(x)g(x)0.故由题设得故由题设得 aa3且且 ba3，从从而而13a0，故函数故函数 f(x)和和 g(x)在在 13，0 上单调性一致上单调性一致因此因此|ab|的最大值为的最大值为13.【点评】【点评】本题考查函数与导数的综合应用本
8、题考查函数与导数的综合应用，含有参数的函数与导数含有参数的函数与导数类综合试题类综合试题，主要有两个方面主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数的一是根据给出的某些条件求出这些参数的值值，基本解题思想是方程思想基本解题思想是方程思想；二是确定参数的范围二是确定参数的范围(或取值或取值)使得函数具使得函数具有某些性质有某些性质，基本解题思想是函数与方程思想基本解题思想是函数与方程思想、分类讨论思想分类讨论思想本题中单本题中单调性一致问题本质上反映了函数的单调性与定区间上的求解策略在解综调性一致问题本质上反映了函数的单调性与定区间上的求解策略在解综合性的函数题中的应用合性的函数题中的应用
9、 第第5 5讲讲 要点热点探究要点热点探究 探究点二探究点二 函数与不等式的综合函数与不等式的综合 例例 2 2已知函数已知函数 f(x)满足满足 2f(x2)f(x)，当当 x(0,2)时时 f(x)lnxax a12，当当 x(4，2)时时 f(x)的最大值为的最大值为4.(1)求求 x(0,2)时函数时函数 f(x)的解析式的解析式；(2)是否存在实数是否存在实数 b 使得不等式使得不等式xbf x x x对于对于 x(0,1)(1,2)恒恒成立成立？若存在若存在，求出实数求出实数 b 的取值集合的取值集合，若不存在若不存在，说明说明理由理由 第第5 5讲讲 要点热点探究要点热点探究 【
10、解答】【解答】(1)由已知得由已知得：f(x)2f(x2)4f(x4)，x(0,2)时时 f(x)lnxax a12，设设 x(4，2)，则则 x4(0,2)，f(x4)ln(x4)a(x4)，x(4，2)时时，f(x)4f(x4)4ln(x4)4a(x4)，f(x)4x44a4ax41ax4，a12，41a42，当当 x 4，1a4 时时，f(x)0，f(x)为增函数为增函数，当当 x 1a4，2时时，f(x)0，f(x)为减函数为减函数，f(x)maxf 1a4 4ln 1a4a 1a4，a1.即当即当 x(0,2)时时，f(x)lnxx.第第5 5讲讲 要点热点探究要点热点探究 (2)由
11、由(1)可得可得：x(0,1)(1,2)时时，不等式不等式xbf x x x恒成立恒成立，即即xblnxx恒成立恒成立，当当 x(0,1)时时，xblnx xbx xlnx，令令 g(x)x xlnx，x(0,1)，则则 g(x)1lnx2 x1x2 xlnx22 x，令令 h(x)2 xlnx2，则当则当 x(0,1)时时，h(x)1x1xx1x0，h(x)在在(0,1)上单调递减上单调递减，h(x)h(1)0，g(x)h x 2 x0,g(x)在在(0,1)上单调递增上单调递增，g(x)g(1)1，故此时只需故此时只需 b1 即可即可；第第5 5讲讲 要点热点探究要点热点探究 当当 x(1
12、,2)时时，xblnx xbx xlnx，令令 g(x)x xlnx，x(1,2)，则则 g(x)1lnx2 x1x2 xlnx22 x，令令 h(x)2 xlnx2，则当则当 x(1,2)时时，h(x)1x1xx1x0，h(x)在在(1,2)上单调递增上单调递增，h(x)h(1)0，g(x)h x 2 x0,g(x)在在(1,2)上单调递增上单调递增，g(x)g(1)1，故此时只需故此时只需 b1 即可即可 综上所述综上所述：b1，因此满足题中条件的因此满足题中条件的 b 的取值集合为的取值集合为1 第第5 5讲讲 要点热点探究要点热点探究 探究点三探究点三 导数在实际生活中的应用导数在实际
13、生活中的应用 例例 3 3 2011 山东卷山东卷 某企业拟建造如图某企业拟建造如图 51 所示的容器所示的容器(不计厚度不计厚度，长度单位长度单位：米米)，其中容器的中间为圆柱形其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形左右两端均为半球形，按按照设计要求容器的容积为照设计要求容器的容积为803立方米立方米，且且 l2r.假设该容器的建造费用仅假设该容器的建造费用仅与其表面积有关与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元千元，半球形半球形部分每平方米建造费用为部分每平方米建造费用为 c(c3)千元千元设该容器的建造费用为设该容器的建造费用为 y 千
14、元千元 (1)写出写出 y 关于关于 r 的函数表达式的函数表达式，并求该函数的定义域并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的求该容器的建造费用最小时的 r.图图 51 第第5 5讲讲 要点热点探究要点热点探究 【分析】【分析】首先通过给出的几何模型首先通过给出的几何模型，建立关于建设费用建立关于建设费用 y 与半球与半球形的半径形的半径 r 的函数关系式的函数关系式，然后再利用导数求解这个函数的最小值然后再利用导数求解这个函数的最小值，得得到对应的该容器建设费用最小时的半径到对应的该容器建设费用最小时的半径 r 的值的值 【解答】【解答】(1)设容器的容积为设容器的容积为 V，由
15、题意知由题意知 Vr2l43r3，又又 V803，故故 lV43r3r2803r243r43 20r2r.由于由于 l2r，因此因此 0r2.所以建造费用所以建造费用 y2rl34r2c2r43 20r2r 34r2c，因此因此 y4(c2)r2160r，0r2.(2)由由(1)得得 y8(c2)r160r28 c2 r2 r320c2，03，所以所以 c20，当当r320c20 时时，r320c2.令令320c2m，则则 m0，所以所以 y8 c2 r2(rm)(r2rmm2)当当 0m92时时，当当 rm 时时，y0；当当 r(0，m)时时，y0.所以所以 rm 是函数是函数 y 的极小值
16、点的极小值点，也是最小值点也是最小值点 第第5 5讲讲 要点热点探究要点热点探究 当当 m2 即即 3c92时时，当当 r(0,2时时，y0，函数单调递函数单调递减减，所以所以 r2 是函数是函数 y 的最小值点的最小值点综上所述综上所述，当当 392时时，建建造费用最小时造费用最小时 r320c2.【点评】【点评】本题以实际问题为背景考查球与圆柱的体积公式本题以实际问题为背景考查球与圆柱的体积公式、表面积表面积公式公式，不等式的解法及利用导数求最值等知识不等式的解法及利用导数求最值等知识，立体几何知识是建立函数立体几何知识是建立函数模型的基础模型的基础，导数知识是解决函数最值的工具导数知识是解决函数最值的工具最值函数的应用题最值函数的应用题，写出写出目标函数利用导数求最值是首选的方法目标函数利用导数求最值是首选的方法，因此要认真审题因此要认真审题，分析各个量的分析各个量的关系关系，列出函数解析式列出函数解析式 yf(x)，然后利用导数求函数然后利用导数求函数 f(x)的最值的最值，最后根最后根据数学问题的答案再来解决实际问题中的优化问题据数学问题的答案再来解决实际问题中的优化问题 第