1、2013 高 等 数 学 苏州大学出版社苏州大学出版社 2022 2013 C1.函数与向量函数与向量 C2.极限与连续极限与连续 C4.中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用 C5.定积分与不定积分定积分与不定积分 C3.导数与微分导数与微分 主要内容主要内容 C8.微分方程微分方程 C6.二重积分与曲线积分二重积分与曲线积分 C7.无穷级数无穷级数 C9.概率论根底概率论根底 2013 第三章 导数与微分 第三节第三节 高阶导数、高阶偏导数高阶导数、高阶偏导数 第一节第一节 导数、偏导数及其运算导数、偏导数及其运算 第二节第二节 微分与全微分微分与全微分 第四节第四节 参数方程与隐函数方
2、程微分法参数方程与隐函数方程微分法 习题课习题课 2013 3.1 导数、偏导数及其运算导数、偏导数及其运算 一、导数的定义一、导数的定义 二、函数的求导运算法那么二、函数的求导运算法那么 三、偏导数的概念与计算三、偏导数的概念与计算 2013 一、一、导数的定义导数的定义 引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为)(tfs0t则 到 的平均速度为 0tt v)()(0tftf 0tt而在 时刻的瞬时速度为 0t lim0ttv)()(0tftf 0tt221t gsso)(0tf)(tft自由落体运动 xyo)(xfyC引例引例2.曲线的切线斜率曲线的切线
3、斜率 曲线)(:xfyC NT0 xM在 M 点处的切线 x割线 M N 的极限位置 M T(当 时)切线 MT 的斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf 0 xx2013 变化率问题引出导数的定变化率问题引出导数的定义义 定义定义1.设函数)(xfy在点 0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy记作:;0 xxy;)(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即 0 xxy)(0 xfxyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000那么称函数 假设 的某邻域内有定义,
4、在点 0 x处可导可导,在点 0 x的导数导数.2013 运动质点的位置函数)(tfsso0t)(0tf)(tft在 时刻的瞬时速度 0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲线)(:xfyC 在 M 点处的切线斜率 xyo)(xfyCNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx)(0tf)(0 xf说明说明:在经济学中,边际本钱率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.2013 0limxx 00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx假设上述极限不存在,在点 不可导.0 x假设,lim0 xyx也称)(xf在 0 x假设函数在开区间
5、 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf0)(xxxfxxfd)(d0就说函数 就称函数在 I 内可导.的导数为无穷大.2013 例例1.用定义推导以下求导公式用定义推导以下求导公式:0)()1(C(C 为常数)解解:C xCCx0lim0即 0)(C)N()()2(1 nnxxnn解解:hxhxnn )(0lim h(lim0 h1nx2 nxh32 nxh)1 nh1 nxnxxfxxf)()(0limx)(nx说明：说明：对一般幂函数 xy(为常数)1)(xx以后将证明 2013 例如，例如，)(x,21x
6、 x1,12x )1(xx4743x现在先应用一般公式可以得到 aaaxxln)()3(haaxhx 解解:)(xa0limhhaahxh)1(lim0 heaahhx1limln0 hahahxlnlim0 aaxln 特殊地,xxee )(2013 hxhxhsin)sin(lim0 xx cos)(sin)4(解解:令,sin)(xxf 那么)(xfhxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即 xx cos)(sin 类似可证得 xxsin)(cos hxx1)(ln)5(解解:hxhxhln)ln(lim0)(l
7、n x)1(lnxh0limhh1x1xelnx1x12013 例例2.证明函数 xxf)(在 x=0 不可导.证证:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在,.0 不可导在即xx例例3.设)(0 xf存在,求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解解:原式 0limhhhxf2)(0)(0 xf)(210 xf)(210 xf)(0 xf)(2 )(0hhxf)(0 xf2013 1.导数的几何意义导数的几何意义 xyo)(xfyCT0 xM曲线)(xfy在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xfxyo0 x),(00yx切线方程切线方程:)(
8、000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xf思考思考:曲线 3xy哪一点有垂直切线 哪一点处 的切线与直线 131 xy平行 写出其切线方程.0 x提示提示:在原点(0,0)有垂直切线 在点(1,1),(1,1)处,023 yx2013 证证:设)(xfy在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在,因此必有,)(xfxy其中 0lim0 x故 xxxfy)(0 x0所以函数)(xfy在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xyxyoxy 在 x=0 处连续,但不可导.即 2.一元函数的可导性与连续性的关系一元函数的
9、可导性与连续性的关系 处可导在点xxf)(定理定理1.处连续在点 xxf)(2013 在点 0 x的某个右右 邻域内 3.单侧导数单侧导数)(xfy假设极限 xxfxxfxyxx)()(limlim0000那么称此极限值为)(xf在 处的右右 导数导数,0 x记作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0(x)0(x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x=0 处有,1)0(f1)0(fxyoxy 定义定义2.设函数 有定义,存在,2013 定理定理2.函数 在点 0 x)(xfy,)()(00存在与xfxf且)(0 xf.)(0 xf)(0 xf存在)(
10、0 xf)(0 xf简写为 在点 处右右 导数存在 0 x定理定理3.函数)(xf)(xf在点 0 x必 右右 连续.(左左)(左左)假设函数)(xf)(af)(bf与 都存在,那么称)(xf显然:)(xf在闭区间 a,b 上可导,)(baCxf 在开区间 内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba可导的充分必要条件 是 且 2013 二、函数的求导运算法那二、函数的求导运算法那么么 1.函数的四那么运算求导法函数的四那么运算求导法那么那么 具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu 及的和、差、积、商(除分母 为 0的点外)都在点 x 可导,且)()()()()1(xvxuxv
11、xu)()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面省略证明,给出相应的推论和例题.)0)(xv2013 和差法那么可推广到任意有限项的情形.wvuwvu)(,例如)()1uC)()2wvuuC wvuwvuwvu)log()3xaaxlnlnax ln1(C为常数)积法那么可有推论:2vvCvC(C为常数)商法那么可有推论:2013 例例4.求解以下导数问题求解以下导数问题:解解:,3lnsin32)1(2xxy.1xyy 及求 y0cos34 xxxx cos341 xy1cos34 ,)2(xxeyx 解解:y)(
12、43 xex)()(4343 xexexxy 求 414343 xexexx)43(41 xexx2013 )(cscxxsin1x2sin)(sin xx2sin(3).求证,sec)(tan2xx证证:.cotcsc)(cscxxx xxxcossin)(tan x2cosxxcos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxx cotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx2013 )(xf2、反函数的求导法那么、反函数的求导法那么 y 的某邻域内单调可导,证证:在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知
13、 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0)(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)(lim0yyxyxdd 1)(1yf11)(1yf112013 1例例5.求反三角函数及指数函数的导数.解解:1)设,arcsinxy那么,sin yx,)2,2(y)(arcsin x)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用 0cos y,那么 2013 在点 x 可导,3、复合函数求导法那么、复合函数求导
14、法那么)(xgu)(ufy在点)(xgu可导 复合函数 fy)(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,例如,)(,)(,)(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法那么可推广到多个中间变量的情推广：此法那么可推广到多个中间变量的情形形.2013 例例6.求以下导数求以下导数:;)()2(;)()1(xxx解解:(1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3).设,)cos(lnxey求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)si
15、n(xexe)tan(xxee(4).设,)1(ln2xxy.y求解解:y112xx 11212xx2112x2013)1,0,0()5(babaaxxbbaybax两边取对数 yln利用复合函数求导法那么,两边对 x 求导 yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbax ln lnlnxbalnlnaxb 解解:即 2013 指数求导法指数求导法 两边求对数)()(xvxuy)ln(ln uveyuv对于幂指函数)ln(lnuuvuveuv )ln(uuvuvuv 对数求导法对数求导法)(ln)(lnxuxvy)(ln)()()(xuxvxvexuyuvuuvyy 两边求导
16、)ln(uuvuvuyv 可以使用以下两种方法:即 其实对数求导法适合更一般的情形,如类似前例(5)复杂积商函数情形.2013 初等函数的求导问题初等函数的求导问题 由常数和根本初等函数的导数公式(P76),有限次四那么运算的求导法那么 与复合函数求导法那么 可得结论:且导数仍为初等函数 初等函数在定义区间内可导,2013 三、三、偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法),(yxfz在点),(),(lim000yfyfx存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为;),(00yxxz),(00yx的某邻域内;),(00yxxfxx00 x那么称此极限为函数 极限 设函数 x;),(00yxfx;),(00yxxz.),(001yxfxyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:2013 0),(dd0yyyxfy同样可定义对 y 的偏导数 lim0y),(00yxfy假设函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x,xzxfxz那么该偏导数称为偏导函数,也简称为 偏导数偏导数,),(,),(1yxfyx