1、21.0.xxx若，则的最小值为 2.4 1 x y x y xy 已知，且，则的最大值为.R220222xxxxxx因为，所以，解析：当且仅当，即 时取等号2211623.33xyxx已知，则函数 的最小值为 32 22 24.1a ba b aba b 已知，则 的最小值是222220226 26 2222a b tab tttabtttab 记，则，当且仅当，即，解析：时取等号221 15.00.3 3 1A8 B4 C1 D.4ababa b设，若 是与的 等 比 中 项，则的最 小 值 为3 33311 11 1()22 241“”2aba ba bb abaa ba ba ba b
2、abb aa ba b 因 为，所 以，所 以，当 且 仅 当，即时，解 析：成 立 B 利用根本不等式的转化求最值 例1：x0，y0，且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值及此时x、y的值 82 2801828282()101021882822118126.126.xyxyxyxyyxyxxyxyxyxyyxxyxyxyxyxyxy因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立又，所以，故解析：最小，的值是当，时“”2xy x yx yxy本 题 是 一 个 二 元 条 件 最 值 问 题，看 似 平 淡，但 思 想 方 法 深 刻，解 法 灵 活 多 样，本 解 法 是 其 中 之 一 对
3、于 与在 同 一 等 式 中 出 现 的 问 题 往 往 可 以 利 用 基本 不 等 式将 它 们 联 系 起 来 进 行 放 缩，以 此来 求 取 值 范 围 是 非 常反 思 小 结：有 效 的 1911.12()9 A8B6CD214x yxyxyaxyx yxyaR设，且，则的最小值为已知不等式对任意正实数，恒成立，则正实数的最小值为拓 练习：展16 C 222222222222222413 sinsinsinsinsin1sinsin1sin11sin2 sin2sinsin1sin1sin2.s1inyxxxxxxxxxxxxxxx，当，即时，可以取等号，即当时，的最小法：析：值
4、是方解224s i2ns i nyxx例 求：的最小值 注意根本不等式的适用条件 2222222233sin133.sinsin4sin5sin4sin01441.011040,14215.xxxyxxtxtyttytyttytttytt 又 当时，即的 最 小 值 是所 以 函 数的 最 小 值 是令，则，所 以当时，即在上 是 减 函 数，所 以 当时，的 最方小 值 是法：2m insin01.40,215.3txty ttty 令，则因 为 函 数在上 是 减 函 数，所当，：时法以，方22222“”244sin2 sin4sinsin4sin2xyxyyxxxxyx本题是利用基本不等
5、式求函数的最值问题用基本不等式时，要注意 正、定、等 三要素缺一不可！下面的解法太有诱惑力了：，因此 的最小值是，为什么不对呢？因为等号只有在才能取到，而这是不可能的！这类问题用导数方法求解是非常反思小结：有效的 11321 3 810810A B 2C 2D 22 333312210 AB2CDyfxF xfxf xfxxxfxx 拓展若函数的值域是，则函数的值域是，设函数，则有最大值有最小值是练增函数习：是减函数A A 根本不等式与函数 2360 m()2 m45/m180/(2m.(m)(109)20 xyyxx围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙 利用的旧墙需维修，其他
6、三面围墙要新建在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元设利用的旧墙长度为单位：，修建此矩形场地围墙的总费用为单位：元 将 表示为 的函数；试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最例3：湖北卷小，并求出最小总费用 222221m.4518021802225360360.36036036020225222536010800.3603602253601044022524 m3602253600ayxxaxaxaaxxxyxxxyxxxxxx如 图，设 矩 形 的 另 一 边 长 为则由 已 知，得，所 以因 为，解 析：所 以所 以，当 且 仅 当时，等
7、 号 成 立，即 当时，修 建 围 墙 的 总 费 用 最 小，最 小 总10440费 用 是元 4 0 043/4xxx 某公司一年购买某种货物吨，每次购买 吨，运费为 万元 次，一年的总存储费用为 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则拓展练习：吨40040044004004424 4160.400442020nynxxyxxxxxxxx设购买 次，总费用为 万元，则，总运费为万元，所以总费用当且仅当，即时解析：即吨时，总，等号成立，费用最小2 0200._4(2_ _010)_abababa bCABACaCBbOABABCABDOD AD BDCODEODababab设，称为，的
8、调和平均数如图，为线段上的点，且，为中点，以为直径作半圆过点 作的垂线交半圆于，连接，过点 作的垂线，垂足为，则图中线段的长度是，的算术平均数，线段的长度是，的几何平均数，线段的长例：度是，的调和湖北卷平均数2222CRtD2E222.D2ADBDCCDAC CBCDabCDababababOCaCDabODabOD CEOC CDCEababababOEOCCEEDODOEababDEab在中，为高，则由射影定理可得，故，即线段的长度为，的几何平均数将，代入，可得，故，所以故线段的长度为，的调和平均数答案：解析：224(201 0)(1031.4 12 2.01 0)0 xxaxxattty
9、t 若 对 任 意，恒 成 立，则的 取 值拓 展 练 习：山 东 卷重 庆范 围 是已 知,则 函 数的 最 小 值为卷1)5 ，-2 mi22n110131311305(1.521)11505411242(0)1.xaxxxxxuxaxuxuxuuttyttttyta 因为对任意恒成立，设，所以只需恒成立即可因为，所以当且仅当时取等号 由知，故因为，当且仅当时，解析：()()121 2 xyxyxy本 节 内 容 是 不 等 式 的 基 础 知 识，主 要 从 三 个 方 面 考 查：一 是 利 用 基 本 不 等 式 求 两 个 正 数 的 和 的 最 小 值，或 求 积的 最 大 值，
10、或 者 将 一 个 式 子 转 化 为 可 以 利 用 基 本 不 等 式求 最 值 的 问 题；二 是 利 用 基 本 不 等 式 比 较 两 个 实 数 或代 数 式 的 大 小 或 证 明 不 等 式 放 缩 法 等；三 是 将 一 个 实际 问 题 构 造 成 函 数 模 型，利 用 基 本 不 等 式 来 解 决.利 用 基 本 不 等 式时，要 注 意正、定、等三 要 素 正，即，都 是 正 数；定，即 不 等 式 另 3 xy一 边 为 定 值；等，即 当 且 仅 当时 取号 2sin0sin2 22 2sin2sinsin1222xyxxyxxxxxxyxy如：当时，虽然有，但
11、并不是 的最小值，因为不可能成立又如：并不一定有，因为 的符号没有确定利用基本不等式时，要注意积定和最小，和定积最大 这一口诀，并适当运用拆、拼、凑等技巧但应注意，一般不要出现两次不等号21001001216.221300113216.12xyxyxyxyxyxyxyxxyxyyxyxy例 如：已 知，且，求的 最 小 值 因 为，且，所 以 当时，的 最方 法：方小 值 为因 为，由，得，所 以的 最 小 值 为法：112221224242.123221221220031xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy因 为，所 以，所 以，所 以的 最 小 值 为三 种 方 法 似
12、 乎 都 有 道 理，但 结 果 却 不 一 样，哪 一 种 对 呢？其 实 三 种 都 不 对 方 法、方 法都 是 误 用 了 等 号 成 立 的 条 件；方 法中，是 当 且 仅 当时 取“”号，而是 当 且 仅 当时 取“”号，与不 可 能 同 时 成 立，所 以 错 了 本 题 比 较 好 的 方 法 是：因 为，方 法：1xy，且，222212122()33222232221121“”32.3()221022.4yxyxxyxyxyxyxyyxxxyyxyxyxyxyx yx yxyxxxyxyxababab所 以，当 且 仅 当，即时，号 成 立，所 以的 最 小 值 为.记 住
13、 下 列 结 论，对 解 题 是 有 帮 助 的：；当时，；当、同 号 时，当 两 个 正 数、的 和与 积出 现 在 同 一 个 式 子中 时，可 以 利 用 基 本 不 等 式 互 相 转 化 来 求 取 值 范 围 1.002 282()91 1A 3 B(2 0 14 C.D.2)20 xyx y x yx y 重已 知，则的 最 小 值 是庆.卷222 2828()2242320.24280.20 B24.xyxyxyxyxyxyxyxyxy 由，整理得即又，所以解析：答案：211(22.0()A 1 B 2 C 3 0 1 0)D 4a baa b aa b 设，则的 最小 值 是
14、 .川 卷.四221111 112 2411222 Daaab ababa a baba a baba a baba a baba a bab ，当且仅当解析，时等号成立，即，满足条件：答案：22333.002_()1;22;(2010 3112.)aba ba bababababab 若，则 下 列 不 等 式对 一 切 满 足 条 件 的，恒 成 立 的 是写 出 所 有 正 确 命 题安的 编 号徽 卷；2222233220021()222224224242223868621122abababababababababababababababaabbababababababab对 于 ，因 为，所 以，即，正 确；对 于 ，即，错 误；对 于 ，正 确；解 析：对 于 ，错 误；对 于 ，答 案正 确：22“”“”212()22()xyxyxyxyxyxxxyxyyxRR近几年的试题对本节内容考查主要是立足于基本不等式的应用，既考虑到了 正、定、等 三要素，更考查了结论 和定积最大，积定和最小 大多数题目直接或通过变形转化利用基本不等式和其中、，以及常用的变式结论：或其中、等需要提醒的是，无论用哪一种形式，都要注意它成立选题感悟：的条件