1、高校应用数学学报2023,38(1):99-110Clifford分析中一类具有加权k-正则核的奇异积分算子的性质黄丽坤,盛晓娟,杨贺菊(河北科技大学 理学院,河北石家庄 050018)摘要:首先定义了Clifford分析中一类具有加权k-正则核的奇异积分算子,然后讨论了这个算子的一致有界性,给出了几个重要的不等式,并用这些不等式证明了这个算子的H older连续性,最后证明了这个算子的次可积性.这些结论为研究相关偏微分方程的边值问题奠定了基础.关键词:加权k-正则核;奇异积分算子;有界性;H older连续性;次可积性中图分类号:O174.2;O174.5文献标识码:A文章编号:1000-4
2、424(2023)01-0099-121引言W.K.Clifford1于十九世纪末创立了Clifford代数.它是一类可结合而不可交换的代数系统.20世纪初,通过对Laplace算子线性化的研究,R.Fueter2提出了Clifford分析.Clifford分析已经成为现代数学和物理学的核心工具之一,具有十分重要的理论价值和应用价值.自二十世纪六十年代以来,众多研究学者对Clifford分析进行了系统地研究,得到了丰硕的成果.1982年,以Dirac算子为基础,F.Brackx,R.Delanghe,F.Sommen3-5等人提出了正则函数,并对此函数进行了一系列的研究分析,奠定了Cliffo
3、rd分析的基础理论.T算子是一个定义在区域上的奇异积分算子,它在求解Vekua方程组6及广义解析函数理论7中起着非常重要的作用.1978 年,Hile8对Rn空间中的T算子的性质进行了讨论.随后,Gilbert9等学者对高维复空间中的T 算子的相关性质也进行了一系列研究.杨丕文10-11等人研究了四元数分析和复Clifford分析中T算子的性质,并对在复Clifford分析中T算子的相关边值问题进行了讨论.李尊凤12,杨贺菊13-15,郝毅红16,韩雪峰17和杨冠民18等人研究了Clifford分析中T算子和几类高阶奇异T算子的性质及应用.2019年,毕芳19研究了Clifford分析中具有k
4、-正则核的T算子的性质,得到了该算子在有界区域上以及在Lp,n(Rn)空间上的一些性质.本文在上述基础上,定义了Clifford分析中一类具有加权k-正则核的奇异积分算子,证明了相关的不等式并研究了该算子在有界区域上的一致有界性,H older连续性以及次可积性.收稿日期:2022-01-25修回日期:2022-08-16基 金 项 目:国 家 自 然 科 学 基 金(11871191);河 北 省 自 然 科 学 基 金(A2022208007);河 北 省 省 级 科 技 计划(21557647D)DOI:10.13299/ki.amjcu.002255100高 校 应 用 数 学 学 报
5、第38卷第1期2 预备知识设e1,e2,en是Rn的一组标准基.An(R)是以e1,e2,en,e2e3,en1en,e2e3en为基底的可结合不可交换代数.An(R)中的基元素记为:eA=e1e2eh,其中A=1,2,h 1,2,3,n且1 1 2 h n.当A=时,eA=1.任何元素a An(R)都能表示为a=AaAeA,其中aA R为实数.Clifford代数中的元素满足以下运算法则e2i=1,i=1,2,n;eiej=ejei,1 i j n.定义An(R)中的范数为|a|=(a,a)=(Aa2A)12,An(R)中元素的共轭为ei=ei.设 Rn是一个非空连通开子集,定义在中取值于A
6、n(R)的函数可表示为f(x)=AfA(x)aA,其中fA(x)为实值函数.用Fm(,An(R)表示中Cm函数的全体,即Fm(,An(R)=f|f:An(R),f(x)=AfA(x)aA,fA(x)Cm(),x .定定定义义义2.1若对任意的x1,x2,f(x)满足|f(x1)f(x2)|M1|x1 x2|0,(0 0 1),则称函数f(x):An(R)为上指标为0的H older连续函数,其中M1是与x1,x2无关的正常数.用H0表示上指标为0的H older连续函数的集合.设Lp(,An(R)表示定义在上取值于An(R)中的p次幂可积函数的集合,并在此集合上定义元素的范数为f,p=(|f(
7、x)|pdx)1p,其中p 1.注当为有界域时,有包含关系Fm(,An(R)Lp(,An(R)Lp0(,An(R),其中m 0,1 p 0.在Rn中以y为原点建立广义球坐标系xn=cos1cos2cosn2cosn1,xn1=cos1cos2cosn2sinn1,x2=cos1sin2,x1=sin1,其中x=(x1,x2,xn)Rn,=|x y|,i满足条件|i|2,i=1,2,n 2,0 n1 2.黄丽坤等:Clifford分析中一类具有加权k-正则核的奇异积分算子的性质101由文献20可知dx=|D(x1,x2,xn)D(,1,2,n2,n1)|dd1d2dn2dn1 M2n1d,(1.
8、1)其中M2为大于0的常数.定定定义义义2.29设 Rn,k Z+,若f(x)Fk(,An(R)且满足当x 时,有Dkf(x)=(|x|xDk)(f(x)=0,则称f(x)是上的加权k-正则函数.引引引理理理2.35(Hile引引引理理理)设x,t Rn,并且x=0,t=0.n(2),m(0)为整数,则有x|x|m+2t|t|m+2|x t|Pm(x,t)|x|m+1|t|m+1,其中Pm(x,t)=mk=0|x|mk|t|k=|x|m+1|t|m+1|x|t|,m 0;1,m=0.引引引理理理2.415设 Rn是一个有界区域,则当0 a n时,对于任意的x0 Rn,有|x x0|adx M3
9、,其中M3是仅与a,有关的正常数.引引引理理理2.56(Hadamard引引引理理理)设 Rn是一个有界域,n 2,若b,c满足0 b n,0 c n,则对任意的x1=x2 Rn,有|t x1|b|t x2|cdt M4|x1 x2|nbc,M4是仅与b,c有关的正常数.引引引理理理2.621若1 0,2 0且0 d 1,则有|d1 d2|1 2|d.引引引理理理2.77(Minkowski不不不等等等式式式)若f1,f2,fn Lp(G),p,则f1+f2+fnLp(G),并且f1+f2+fnp,f1p,+f2p,+fnp,.引引引理理理2.813设 Rn,=x|x+x0.若f(x+x0)是
10、在上的加权k-正则函数,则有kj=1(1)j1Hj(x)|x|xdxDj1f(x+x0)=f(x0),x0;0,x0 Rn,其中Hj(x)=Aj|x|nj,Aj=(1)j1nj1(k1)!,1 k n,0 1.3 主要结论定定定义义义3.1设 Rn是一个有界区域,f Lp(,An(R),Dj1f(x)Lp(,An(R),0 1,1 k n,1 j k,y Rn,定义(Tf)(y)=kj=1(1)j1Hj(x y)|x y|(x y)Dj1f(x)dx102高 校 应 用 数 学 学 报第38卷第1期为具有加权k-正则核的T算子,其中Hj(xy)=Aj|xy|nj,Aj=(1)j1nj1(k1)
11、!,n为Rn中单位球的表面积.定定定理理理3.2设 Rn是一个有界区域,f Lp(,An(R),Dj1f(x)Lp(,An(R),1 j k,0 n,则(Tf)(y)在上一致有界,并且满足|(Tf)(y)|M5kj=1Dj1f(x),p,其中M5是仅与n,p 及区域的大小有关的正常数.证证证取q 1,使得1p+1q=1,于是当p n时,1 q nn1.对于y ,取B(y,)=x|x y|,则有|(Tf)(y)|kj=1|Hj(x y)|x y|x y|Dj1f(x)|dxkj=1J1(B(y,)1|x y|nj+1|Dj1f(x)|dx+B(y,)1|x y|nj+1|Dj1f(x)|dx)=
12、kj=1J1(Ij1(y)+Ij2(y),其中J1=maxj=1,2,k|Aj|.因为(j 1)0,所以nn1nnj+1.又因为1 q nn1,所以有q n j+1.由H older不等式及(1.1)式可得Ij1(y)=B(y,)1|x y|nj+1|Dj1f(x)|dx(B(y,)|Dj1f(x)|pdx)1p(B(y,)|x y|(nj+1)qdx)1qM1q1Dj1f(x)B(y,),p(0n1(nj+1)qd)1q=M1q1Dj1f(x)B(y,),p(1n (n j+1)qn(nj+1)q0)1q=Jj2Dj1f(x)B(y,),p Jj2Dj1f(x),p,其中Jj2=M1q1(1
13、n(nj+1)qn(nj+1)q)1q.另外Ij2(y)=B(y,)1|x y|nj+1|Dj1f(x)|(B(y,)|Dj1f(x)|pdx)1p(B(y,)|x y|(nj+1)qdx)1qM1q1Dj1f(x)B(y,),p(L(nj+1)qn1d)1q=M1q1Dj1f(x)B(y,),p(1n (n j+1)q(Ln(nj+1)q n(nj+1)q)1q=Jj3Dj1f(x)B(y,),p Jj3Dj1f(x),p,其中Jj3=M1q1(1n(nj+1)q(Ln(nj+1)q n(nj+1)q)1q,L=maxxB(y,)|x y|.黄丽坤等:Clifford分析中一类具有加权k-正
14、则核的奇异积分算子的性质103所以有|(Tf)(y)|kj=1J1(Jj2+Jj3)Dj1f(x),p=M5kj=1Dj1f(x),p,其中M5=maxj=1,2,kJ1(Jj2+Jj3)是仅与n,p及区域的大小有关的正常数,因此(Tf)(y)在上一致有界.定定定理理理3.3设 Rn是一个有界区域.则对任意的x ,t1=t2,若|x t1|M6|x t2|,则存在Mj7使得|x t1|x t1|nj+x t2|x t2|nj+|Mj7|t1 t2|x t1|nj+,其中M6,Mj7是正常数,0 1,j=1,2,k.证证证当j=1时,由引理2.3可得|x t1|x t1|nj+x t2|x t2
15、|nj+|=|x t1|x t1|nx t2|x t2|n|t1 t2|n2k=0|x t1|n2k|x t2|k|x t1|n1|x t2|n1=|t1 t2|n1k=1|x t1|n1k|x t1|n1|x t2|nk,因为|x t1|M6|x t2|,所以1|xt2|M6|xt1|,1|xt2|nkMnk6|xt1|nk,从而|t1 t2|n1k=1|x t1|n1k|x t1|n1|x t2|nk|t1 t2|n1k=1|x t1|n1kMnk6|x t1|n1|x t1|nk=J4|t1 t2|x t1|n,其中J4=n1k=1Mnk6.当j=2,3,k时,|x t1|x t1|nj
16、+x t2|x t2|nj+|x t1|x t1|nj+x t2|x t1|j+|x t2|n|+|x t2|x t1|j+|x t2|nx t2|x t2|nj+|=I1+I2,由引理2.3可得I1=|x t1|j|x t1|x t1|nx t2|x t2|n|x t1|j|t1 t2|n2k=0|x t1|n2k|x t2|k|x t1|n1|x t2|n1=|t1 t2|n1k=1|x t1|j|x t1|k|x t2|nk.因为|x t1|M6|x t2|,所以1|xt2|M6|xt1|,1|xt2|nkMnk6|xt1|nk,从而I1|t1 t2|n1k=1|x t1|jMnk6|x t1|k|x t1|nk=J4|t1 t2|x t1|nj+.另外I2=|x t2|x t1|j+|x t2|nx t2|x t2|nj+|=|x t2|x t2|n|x t1|j|x t2|j|.104高 校 应 用 数 学 学 报第38卷第1期因为0 1,所以由引理2.6可知|(|x t1|j1)(|x t2|j1)|x t1|j1|x t2|j1|.所以I21|x t2|n1|(|x t1