1、第 52 卷第 2 期2023 年 2 月Vol.52 No.2February 2023光子学报ACTA PHOTONICA SINICA02120041F/0.78高次非球面零位补偿检测与投影畸变校正郝三峰1，2，张建1，3，杨建峰1（1 中国科学院西安光学精密机械研究所，西安 710119）（2 中国科学院大学，北京 100049）（3 西安电子科技大学 机电工程学院，西安 710071）摘要：为实现高次非球面的高精度检测与确定性加工，从高次非球面检测的零位补偿器设计和干涉检测图的投影畸变校正两方面出发提出了具体的解决方案。首先，基于三级像差理论与 PW 法推导了高次非球面三片式补偿器初
2、始结构参数计算公式。针对有效口径 314 mm、F/0.78的 8阶偶次非球面，将基于公式获得的初始结构参数代入光学设计软件进行缩放、优化后获得PV=0.009 6、RMS=0.001 2（=632.8 nm）的补偿器设计结果，公差分析结果表明此设计满足高次非球面/50的检测精度要求。进一步地，针对基于零位补偿器的干涉检测图存在畸变的问题提出了一种校正方法，该方法采用零位补偿器的成像畸曲线数据确定干涉图的畸变规律，利用畸变零点求解算法确定畸变中心，结合畸变规律与畸变中心点坐标进行逆向求解实现干涉检测图畸变的快速校正。采用本文所提方法对零位补偿检测结果进行畸变校正，基于畸变校正结果对非球面进行了
3、 6次磁流变抛光后，面形 RMS 由 0.270收敛至 0.019，验证了该畸变校正方法的有效性。关键词：高次非球面；零位检测；补偿器设计；投影畸变校正；确定性抛光中图分类号：O439 文献标识码：A doi：10.3788/gzxb20235202.02120040 引言非球面一般指偏离传统球面的一类面形，从非球面数学表征形式上看，常用的二次非球面的表征需要曲率半径 R和二次系数 K，对于高次非球面还将进一步增添高阶项，因此，非球面拥有更多的设计自由度，有利于光学系统的像差校正、轻量化、集成化以及综合性能的提升1-2。近年来，随着光学精密加工技术的发展与进步，非球面凭借其优势在航空航天、空间
4、望远等领域的光学系统设计中取得了重要应用3。与此同时，相比于传统球面，非球面的高精度加工检测也更加复杂困难，其中，高精度的非球面检测是高精度加工的反馈与指导，也是保证非球面光学系统指标实现的重要保证，因此有必要对其做进一步的研究。在非球面检测方面，目前常用非球面零位干涉检测方法包括无像差点法、零位补偿透镜法、计算机全息法（Computer Generated Hologram，CGH）3。其中，对于较大口径非球面检测，无像差点法需要更大口径的辅助平面镜或球面镜，而大口径辅助镜本身加工成本较高、加工困难、周期较长，且该方法仅适用于二次非球面的检测；CGH 元件加工制造成本较高，且加工精度和定位精
5、度都会对测量精度产生一定影响4；零位补偿透镜法一般采用小口径的球面透镜构建补偿系统，很容易加工到很高的精度，且其结构简单、元件数少、易于控制。综合考虑现阶段的光学加工与装配技术能力，零位补偿透镜法能够实现高次非球面的高精度检测。其中，对于参数指标严苛的高次非球面，传统的两片式补偿器不能满足高检测精度需求，因此需要进一步优化设计补偿透镜的结构。引用格式：HAO Sanfeng，ZHANG Jian，YANG Jianfeng.F/0.78 High Order Aspheric Surface Testing with Null Compensator and Mapping Distortio
6、n Correction J.Acta Photonica Sinica，2023，52（2）：0212004郝三峰，张建，杨建峰.F/0.78高次非球面零位补偿检测与投影畸变校正 J.光子学报，2023，52（2）：0212004基金项目：中科院西部之光人才项目（No.XAB2016A10），陕西省重点研发计划（No.2018ZDXM-GY-105）第一作者：郝三峰，通讯作者：张建，收稿日期：2022 09 16；录用日期：2022 09 28http:/光子学报02120042对于非球面的检测，不仅需要设计满足非球面检测精度需求的补偿透镜，同时还需要将检测结果用于指导非球面的加工。在零位补
7、偿检测过程中，零位补偿透镜起到补偿非球面法线像差的作用，即：通过零位补偿器将由干涉仪出射的球面波转化为沿被测镜法线方向的非球面波，经反射后再次通过补偿器与干涉仪标准波前产生干涉，实现被测非球面的高精度检测5。因被测非球面镜曲率随镜面坐标变化而变化，非球面镜面坐标与干涉仪 CCD 测量坐标将产生复杂的非线性关系，即检测数据与被测镜坐标之间存在投影畸变6。对于高精度的非球面确定性加工技术如磁流变抛光（Magnetorheological Finishing，MRF）7、离子束抛光（Ion Beam Figuring，IBF）8，投影畸变将会给非球面抛光反馈错误修正信息，严重影响确定性抛光效率与精度
8、，因此必须予以校正。目前，常用的非球面检测投影畸变校正方法大多基于图像校正原理9，主要包括两类方法：1）标定法，该方法通过使用 Fiducial标定6、基准蒙片10以及被测镜面上实物标记等11方式获得多个等间距标记点，经测量后可获得对应标记点的畸变位置分布，结合正交多项式12-13拟合畸变规律可实现畸变校正；2）光线追迹法，通过对检测光路光线追迹获得补偿器出射端波前与被测镜对应点的多个坐标数据点，并根据数据点拟合投影畸变函数，然后通过仿射变换14、畸变中心求解15-16等方式实现畸变校正。其中，标定法若想实现高精度的畸变校正，需要足够多的标定点，且工程实际操作较为费时；光线追迹法能够较为方便地
9、获得投影畸变函数，但畸变中心点求解与后续数据处理仍较为复杂。因此，需要有更加方便、快速的畸变校正方法来实现补偿检测的畸变校正。综合考虑高次非球面的检测与确定性加工需求，本文针对有效口径 314 mm、F/0.78的 8阶偶次非球面的零位补偿检测与投影畸变校正进行了系统研究。一方面，基于三级像差理论与 PW 法推导了高次非球面三片式补偿器初始结构的计算公式，并根据初始结构进行缩放、优化后获得了 PV=0.009 6，RMS=0.001 2的补偿器设计结果，公差分析表明，此设计可满足高次非球面面形检测精度需求。另一方面，为满足高次非球面确定性加工的需求提出了一种投影畸变校正方法，结合补偿透镜的成像
10、畸变规律与畸变零点求解算法，可方便地实现投影畸变的快速校正。基于畸变校正结果指导磁流变确定性加工，经过 6次抛光后实现了RMS/50的面形加工结果，验证了所提畸变校正方法的有效性。1 高次非球面零位补偿检测1.1高次非球面参数一光学系统的主镜采用有效口径为 314 mm 的 8阶高次非球面，其数学表达式为Z()=2R+R2-(1+K)2+A44+A66+A88（1）式中，为非球面径向半径，Z()为非球面矢高，R为非球面中心曲率半径，K为二次非球面系数，A4、A6、A8分别为 4阶、6阶和 8阶非球面系数，具体参数如表 1所示。非球面的检测与加工难度主要与非球面度、非球面度梯度、被测镜的 F 数
11、等因素有关17-18，根据表 1 主镜参数绘制非球面度和非球面度梯度曲线，如图 1所示。其中非球面度最大值为 0.139 mm，非球面梯度最大值为 0.007 5，对于口径 314 mm 的高次非球面，其非球面度与非球面梯度都较大，同时考虑到被测镜 F 数约为 0.78，一般的两片式补偿透镜无法实现高精度的检测需求。综合考虑非球面法线像差补偿与加工装配水平，三片式补偿透镜结构能够提供有效的解决方案。表 1高次非球面参数Table 1Parameters of high-order aspheric surfaceParametersVertex curvature radius R/mmCon
12、ic constant K4th coefficient A46th coefficient A68th coefficient A8Value-491.141.439.0910-104.7310-158.4610-20郝三峰，等：F/0.78高次非球面零位补偿检测与投影畸变校正021200431.2三片式补偿器初始结构设计方法三片式补偿器的一种结构形式如图 2所示。图中 4为待检高次非球面，补偿透镜 1、补偿透镜 2与补偿透镜 3共同起到补偿非球面法线像差的作用。在检测过程中，光线由点O出发，经过补偿透镜 1、2、3折射后沿非球面法线入射，经非球面反射后沿原路返回至点O。由于非球面补偿器检测
13、系统仅涉及轴上点球差的校正，因此，基于三级像差理论和 PW 法可以较为方便地求解补偿器初始结构参数19，然后将初始结构参数带入光学设计软件进行缩放、优化后可得到最终设计结果。根据三级像差理论，令高次非球面补偿检测系统球差系数S=0，则有S=h1P1+h2P2+h3P3+h44Kb+h5P5+h6P6+h7P7=0（2）式中，Kb为高次非球面的二次比较面的二次系数，计算公式为Kb=-n4-n4r4eb2=-max2-2RZ(max)+Z(max)2Z(max)2（3）式中，n4、n4分别为光线入射和出射高次非球面材料的折射率，r4=R为高次非球面顶点曲率半径，eb2为Kb所对应的非球面偏心率平方
14、，max为高次非球面径向半径的最大值，Z(max)为径向半径max处对应的非球面矢高。h1、h2、h3分别为补偿透镜 1、2、3的正向光线入射高度，h7、h6、h5分别为补偿透镜 1、2、3的反向光线入射高度，h4为被测镜的光线入射高度，由图 2可知光线入射高度应满足条件 h1=h7h2=h6h3=h5（4）P1、P2、P3为补偿透镜 1、2、3的正向初级球差系数，P7、P6、P5为补偿透镜 1、2、3的反向初级球差系数，初级球差系数的定义为图 1非球面度和非球面陡度Fig.1Plot of the asphericity and asphericity slope图 2基于三片式补偿器的高次
15、非球面检测Fig.2High order aspheric surface testing with three-piece lens null compensator光子学报02120044P=ni(i-i)(i-u)=nini(ui-ui)ni-ni 2()uini-uini（5）式中，ui与ui表示对应光线的入射角和出射角，ni与ni表示对应材料的折射率。由式（5）可知，任一补偿透镜的正向与反向初级球差系数相等，即满足以下条件 P1=P7P2=P6P3=P5（6）将条件（4）与（6）以及-n4=n4=1带入式（2）化简可得h1P1+h2P2+h3P3=-h44eb2r4（7）为便于计算，
16、对补偿器检测系统进行如下规划 u3=u4=u4=u5=u0=1h4=h0=-1r4=r0=-1（8）式中，h0、r0分别为被测非球面的归一化光线入射高度和归一化半径。定义补偿透镜 1、2、3与被检高次非球面的光束孔径高度之比为1、2、3，垂轴放大率分别为1、2、3，公式为 1=h1h0=h1h42=h2h0=h2h43=h3h0=h3h4 1=u1u12=u2u23=u3u3=u1u3=123（9）根据式（8）、（9）进一步化简式（7）可得1P1+2P2+3P3=-eb2（10）引入非球面像差分担因子m1，m2，m3，令1P1=-m1eb2，2P2=-m2eb2，3P3=-m3eb2，则有 m1+m2+m3=1P1=-m1eb21，P2=-m2eb22，P3=-m3eb23（11）在补偿检测系统中，补偿器的总偏转角等于每个透镜产生的偏角之和，关系可以表示为h=h11+h22+h33=u3-u1=u3(1-)=1-h11=u1-u1=u1(1-1)=u22(1-1)=32(1-1)h22=u2-u2=u2(1-2)=3(1-2)h33=u3-u3=1-3（12）通过以上公式可知，补偿器初