1、30 福建中学数学 2023年第6期 基于概率模块脉络对全概率公式的教学思考基于概率模块脉络对全概率公式的教学思考 何嘉颖 陈丹霞 广东省广州市第十六中学（510080）全概率公式是普通高中数学课程标准（2017年版）新增的内容虽然全概率公式的学习要求重在概率问题的计算，但理解全概率公式的本质是应用全概率公式进行概率问题计算的前提 而其中样本空间的“分割”，更是与全概率公式有着密切联系本文主要从特殊到一般的数学思想、样本空间的“分割”、概率求解工具树状图等角度整体分析全概率公式，意在为教学提供一些建议 1 全概率公式与特殊到一般思想全概率公式与特殊到一般思想 在人教 A 版高中数学选择性必修第
2、三册中，全概率公式是在条件概率后给出的 从整个人教 A 版教材来看，全概率公式是在相继完成了样本空间、事件的关系与运算、概率的性质、事件独立性以及条件概率等内容后给出的；即全概率公式是上述内容的综合 特别的，就事件相互独立性、条件概率以及全概率公式三者来看，三者在内容上存在着由特殊到一般的联系其中，事件独立性探究的是两个事件A B，乘积的概率()P AB与两个概率乘积()()P A P B的关系，这是概率计算中很便利的一个性质，能使得概率计算简单化；但并非任意两个事件都满足独立性 由特殊到一般，探究任意两个事件乘积的概率是否有类似的，但并不需要有强限制的性质，于是得到概率的乘法公式；此时，两个
3、事件乘积的概率()P AB与一个事件的概率()P A和该事件在另一个事件下的条件概率(|)P B A乘积相关 更一般地，对任意事件并非都能由两个事件乘积来表示，更多的是由事件的交并互斥等运算表示因此继续由特殊到一般，先利用互斥事件的性质（12nA AA，是一组两两互斥的事件），把任意事件的概率简化为若干个互斥事件1()()=niIP BP AB的概率；对这些互斥事件，利用乘法公式变为若干事件与其条件概率的乘法，从而得到全概率公式1()()(|)niiiP BP A P B A=由此可见，事件相互独立性、条件概率以及全概率公式实际上是利用特殊到一般思想下得到的概率计算方式 由于全概率公式是由事件
4、相互独立性和条件概率以及利用概率的性质得到的，因此利用全概率公式计算的事件的概率实际上是该事件在不同互斥事件下的条件概率的加权平均因此，教师在教学时应强调由特殊到一般的数学思想并加强这三者的逻辑联系，从而使得学生能够更好的理解全概率公式的来源与本质 2 全概率公式与样本空间的全概率公式与样本空间的“分割分割”在概率统计课本中，对全概率公式专门强调了“分割”的概念；即首先要先对样本空间进行合理的“分割”，把样本空间分割为有限个两两互斥的事件但对一个概率问题，它可以根据具体问题写出不同的样本空间；而对确定的一个样本空间，也可以根据具体问题的不同“分割”成不同的两两互斥的事件 如，投掷一个质地均匀的
5、骰子观察正面朝上的点数，其样本空间为1 2 3 4 5 6=，此时可分割为12AA=，11 2 3A=，24 5 6A=，；也可分为12BB=，11 3 5B=，22 4 6B=，可见要解决一个概率问题时，“分割”样本空间的标准在于具体问题本身，应从具体问题出发反过来得到相应的合适的“分割”，而不是盲目的对样本空间“分割”，并用不合适的“分割”来解决具体问题 此外，在一些资料中对全概率公式的得出也依赖于样本空间的“分割”以及概率的基本性质；即设1niiA=（12nA AA，是一组两两互斥的事件），则 11()nniiiiBBABA=，因此，11()()()()nniiiiP BP BP BAP
6、BA=11()()(|)nniiiiiP BAP A P B A=2023年第6期 福建中学数学 31 这个全概率公式的提出方式从符号推导出发，简洁明了，对学生记忆公式的符号形式有一定帮助但这个推导涉及直接做了一个样本空间的分割，且没有给出构造样本空间分割的方法；因此学生虽能便于记忆公式，但不利于具体问题的应用 在新教材中，虽然全概率公式的定义中暗含了对样本空间的“分割”，但并没有过分强调该概念 这也说明课标并不要求学生掌握对样本空间的“分割”即在全概率公式的使用和对具体概率问题的分析求解时，学生思维的着眼点不应是盲目的分割样本空间；而是应该就概率问题本身来分析，思考如何简化问题，简化问题时可
7、以把复杂的问题怎么分为若干个互斥事件的并，然后再进一步的思考每个互斥事件可以再用什么概率计算方法进行运算，在简化问题的过程中，自然而然地分割了样本空间且使用全概率公式 3 全概率公式与树状图全概率公式与树状图 树状图是把复杂问题分解为若干个互斥事件的好方法；树状图对应用全概率公式有一定的帮助 教材中提供的例题以及练习题都可以通过树状图的分析而更好的使用全概率公式 人教 A 版高中数学选择性必修第三册中给出了三个问题引导学生学习和使用全概率公式，其中作为导入的摸球问题是从问题出发根据树状图简化概率问题，并慢慢转化为全概率公式的形式进行求解；而例 41就餐问题和例题 51零件加工问题，则是直接给出
8、如何“分割”样本空间（例 4 以“第 1天去 A 餐厅用餐”以及“第 1 天去 B 餐厅用餐”作为样本空间的分割；例 5 以“零件来自第 1 台车床”“零件来自第 2 台车床”“零件来自第 3 台车床”作为样本空间的分割），然后再使用全概率公式求解问题 针对例 4、5，在问题分析时，学生容易对为何要把样本空间分割为两个事件（例 4）、三个事件（例5）产生障碍，此时，若回归本质利用树状图分析可拨云见日 针对例 4，如首先分为第 1 天去 A 餐厅和 B 餐厅，对第 1 天去 A 餐厅可细分为第 2 天去 A 餐厅和第 2 天去 B 餐厅，对第 1 天 B 餐厅可细分为第 2天去 A 餐厅和第 2
9、 天去 B 餐厅；由此王同学两天用餐一共分为四种情况：两天都去 A 餐厅，两天都去 B 餐厅，第 1 天去 A 餐厅第 2 天去 B 餐厅，第1 天去 B 餐厅第 2 天去 A 餐厅 因此王同学第 2 天去 A 餐厅用餐可表示为“两天都去 A 餐厅”和“第 1天去 B 餐厅第 2 天去 A 餐厅”的并，又由第 1 天去A、B 餐厅的概率已知，因此对此分别用条件概率求解 针对例 5，利用树状图可由两个思考方式得到上述分割思考方式 1：零件可能来自 1、2、3 车床，每个车床可细分为正品和次品；思考方式 2：零件可能是正品、次品，而正品可细分为来自三个车床，次品也细分为来自三个车床这两种思考方式都
10、可以最终得到相同的六种情况：1 车床正品、2车床正品、3 车床正品、1 车床次品、2 车床次品、3 车床次品因此任取一个零件是次品可表示为“1车床次品”“2 车床次品”“3 车床次品”的并，又由三个车次加工零件的概率已知，因此对此分别用条件概率求解 通过上述两个例子的分析可见，全概率公式使用的关键并不是单纯的对样本空间的“分割”，而是对复杂概率事件本身的分割；因此分析问题时才会回归到树状图的使用上此外，通过树状图的分析可见，树状图本身就已经可以起到对样本空间的分割作用，如例 4 把王同学两天用餐分为四种情况，例 5 把任取一个零件分为六种情况；这些情况本身就是两两互斥的，并且构成整个样本空间由
11、此可得到两个结论：一是全概率公式定义所提到的分割并不涉及具体所求问题本身，而只是对问题背景的样本空间本身的分割，分割所得的各种情况会相对粗糙或不能很好的与所求问题相契合；二是树状图是结合具体问题来分割样本空间，并且由于与具体问题相关，因此是分割样本空间的一种方法，且分割所得的各种情况更为精细 由此可见，无论与否使用树状图，最终全概率公式的列式与计算是一致的；但从教学上，课标要求上以及对学生分析问题的思维锻炼来看，利用树状图能为学生理解和应用全概率公式提供一种方式与途径 参考文献参考文献 1章建跃，李增沪主编普通高中教科书数学选择性必修第三册（A版）M北京：人民教育出版社，2021 （本文系广州市普通高中数学新课程实施立项课题“基于高中数学新课标对教材的新增内容合理性和可行性研究”（课题批准号：GZSX2021-031）的阶段性研究成果）