1、目目录录第一篇计算问题1第一章和差倍比.1第二章整除特性.4第二篇行程问题7第三篇排列组合问题10第四篇古典概率问题13第五篇极值问题15附录 181内部资料 免费交流第一篇第一篇计算问题计算问题第一章和差倍比一、知识讲解（一）问题描述（二）解题方法二、能力训练例 1.小张买了一批文学读物和工具书准备打包捐赠给贫困学生。他发现如果每个包里装 5 本文学读物和 3 本工具书，则最后剩下 8 本文学读物；如果每个包里装 6 本文学读物和2本工具书，则最后剩下8本工具书。问小张买的文学读物和工具书共有多少本？A.72B.80C.88D.96例 2.植树节，某科室义务种 100 棵树，男职工每人种 1
2、1 棵，女职工每人种 5 棵，那么这个科室男、女职工的人数分别是：A.3，12B.7，4C.5，9D.6，72内部资料 免费交流三、效果检验1.甲、乙、丙、丁四个人负责制作若干数量的工艺品，其中甲做了全部工艺品的101，丙做的数量是乙的 2 倍，丁做的数量是甲和乙做的总量的21，乙比甲多做 100 个。则这些工艺品的总量是（）个。A.700B.600C.500D.8002.张某早晨批发了 1500 元的苹果和葡萄，苹果每斤 3.25 元，葡萄每斤 2.5 元。到下午全部售完后发现，苹果平均每斤盈利 10%，而葡萄损耗严重，平均每斤亏损 15%。两种水果共获利 100 元。问张某早晨批发了多少斤
3、苹果？A.200B.400C.300D.803.王大妈在市场承包了一个摊位卖水果，一天收摊后清点钱数时，王大妈发现手上有 100 元、50 元和 10 元的钞票共 48 张，合计 1760 元，其中 50 元比 10 元多两张。问100 元有多少张？A.8B.6C.4D.24.某试卷共有 6 道题，50 个学生回答后，答对的共有 202 人次，已知每人至少答对2 道题，答对 2 题的 5 人，答对 4 题的 9 人，答对 3 题和 5 题的人数同样多，则答对 6题的人有（）个。A.5B.6C.7D.85.小明买了一块长 3 米、宽 1 米的地毯铺在家里的客厅正中，她发现地毯面积是客厅面积的51
4、，若四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为（）米。A.0.8B.1.2C.1D.1.56.一次数学考试共有 20 道题，规定：答对一题得 2 分，答错一题扣 1 分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得 23 分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题？A.3B.4C.5D.63内部资料 免费交流7.某单位男员工所占比例不足一半，新招聘了 8 名员工，男员工人数增加了 8%，女员工人数增加了 6%，问原来该单位男员工比女员工少多少人？A.75B.60C.45D.308.A、B、C 三种手机价格依次为 2955 元、3500 元、22
5、50 元，分别打整数折后（1、2、9 折）总价为 6373 元。问手机 A 打了多少折？A.5B.6C.7D.89.某建筑公司急需一批建材，如果购入钢筋 30 吨，水泥 70 吨，灰土 10 吨，需要资金 30 万元，如果购入钢筋 40 吨，水泥 100 吨，灰土 10 吨需要资金 40 万元，问如果钢筋、水泥、灰土均购入 20 吨，需要资金（）万元。A.16B.20C.30D.324内部资料 免费交流第二章整除特性一、知识讲解（一）应用环境（二）整除判定二、能力训练例 1.有一个数加上 4 能被 7 和 9 整除，减去 1 能被 2 整除，减去 2 能被 5 整除，那么这个数最小是（）。A.
6、435B.437C.445D.447例 2.某粮库里有三堆袋装大米。已知第一堆有 303 袋大米，第二堆有全部大米袋数的五分之一，第三堆有全部大米袋数的七分之若干。问粮库里共有多少袋大米？A.2585 袋B.3535 袋C.3825 袋D.4115 袋例 3.22324252 值是多少？A.1437536B.1527536C.1436536D.1537536三、效果检验1.六位数 2014能同时被 3、4、7 整除，那么这个六位数是多少？A.201412B.201422C.201432D.2014425内部资料 免费交流2.下列哪项能被 11 整除？A.937845678B.235789453
7、C.436728839D.8673922673.有一支参加阅兵的队伍正在进行训练，这支队伍的人数是 5 的倍数且不少于 1000人，如果按每横排 4 人编队，最后少 3 人；如果按每横排 3 人编队，最后少 2 人；如果按每横排 2 人编队，最后少 1 人。请问这支队伍最少有多少人？A.1045B.1125C.1235D.13454.袋子里有红球和白球若干。若每次拿出 6 个红球、4 个白球，则最终剩 5 个红球；若每次拿出 7 个红球、3 个白球，则最终剩 25 个白球。问袋子里红球有几个？A.75 个B.77 个C.119 个D.120 个5.某医院门诊部里有若干病人，走了 10 名女病人
8、后，男病人人数是女病人人数的 2倍，又走了 9 名男病人后，女病人人数是男病人人数的 5 倍，则最初医院门诊部有（）名病人。A.15B.20C.25D.306.一个三位数在 400 和 500 之间，各个数字的和是 9。若个位数字和百位数字调换，所得新的三位数是原数的2413，原来的三位数是：A.423B.432C.441D.4507.已知甲、乙两人共有 260 本书，其中甲的书有 13%是专业书，乙的书有 12.5%是专业书，问甲有多少本非专业书？A.75B.87C.174D.678.A、B、C 三件衬衫的总价格为 520 元，若分别按 9.5 折、9 折、8.75 折出售，总价格为 474
9、 元，A、B 两件衬衫的价格比为 54。A、B、C 三件衬衫的原价分别是多少元？A.250、200、70B.200、160、160C.150、120、250D.100、80、3406内部资料 免费交流9.甲、乙、丙、丁四个工厂共有 100 名高级技工。其中甲、乙两个工厂的高级技工数量比为 1225，丙工厂的高级技工人数比丁工厂少 4 人。问丁工厂的高级技工人数比甲工厂：A.多 6 人B.少 6 人C.多 9 人D.少 9 人10.为了加强社区管理工作，某街道组建了 13 个志愿服务小分队，从 1-13 小分队的人数依次是 2、3、6、7、9、10、11、14、16、17、21、22、24 人。
10、一天下午，区里举办保洁、花卉两个讲座。有 12 个小分队去听讲座，其中听保洁讲座的人数是听花卉讲座人数的 6 倍，余下的那个小分队下社区服务。由此可知，下社区服务的是第几小分队？A.5B.7C.9D.127内部资料 免费交流第二篇第二篇行程问题行程问题一、知识讲解（一）基本行程1基本公式2常用方法（二）相遇追及1相遇2追及8内部资料 免费交流二、能力训练例 1.一艘轮船在离港口 20 海里处船底破损，每分钟进水 1.4 吨，这艘轮船进水 70吨后就会沉没。问：这艘轮船要在沉没前返回港口，它的时速至少要达到多少海里？A.0.4B.20C.24D.35例 2.老王和妻子出去散步，妻子先行，每分钟走
11、 40 米，走了 80 米后老王去追她，老王出来时小孙子非要跟着，老王每分钟走 60 米，小孙子每分钟跑 150 米，小孙子追上了奶奶后又去找爷爷，碰上了爷爷又转去追奶奶，如此往复，直到爷爷奶奶小孙子相遇，问小孙子共跑了多少米？A.400B.600C.800D.1200三、效果检验1.一条道路，每隔 1.25 千米就有一个红绿灯，且所有红绿灯同步闪烁，其中绿灯闪烁 1 分钟，红灯闪烁 1 分钟，黄灯闪烁 5 秒钟，有一辆车从绿灯刚开始闪烁时匀速出发，问该车速度最快多少时全部不用等这条道路上的红绿灯？A.30 千米/小时B.36 千米/小时C.40 千米/小时D.45 千米/小时2.有两个山村之
12、间的公路都是上坡和下坡，没有平坦路。客车上坡的速度保持 20千米/小时，下坡的速度保持 30 千米/小时，现知客车在两个山村之间往返一次，需要行驶 4 小时。请问这两个山村之间的距离有多少千米？A.45B.48C.50D.243.某人开汽车从 A 城到 B 城要行 200 千米，开始时他以 56 千米/小时的速度行驶，但途中因汽车故障，停车修理用去半个小时，为了按时到达，他必须把速度增加 14 千米/小时，跑完以后的路程，他修车的地方距离 A 城（）千米。A.90B.60C.75D.804.一号景点和二号景点相距 200 千米，甲骑自行车全程要 8 小时，乙骑自行车全程要 10 小时。甲上午九
13、点从一号景点出发去二号景点，乙上午八点出发从二号景点出发赶往一号景点，什么时候甲乙相遇？A.12:00B.12:30C.13:00D.13:309内部资料 免费交流5.一辆货车和轿车同时从 A 地前往 B 地，已知货车与轿车速度之比为 35，轿车到达 B 地后，立即返回，在距离 B 地 20 千米的地方遇到货车。则 A、B 两地相距（）千米。A.35B.40C.70D.806.快、中、慢三辆车同时从 A 地沿同一公路开往 B 地，途中有一骑车人也同方向行进。这三辆车分别用 7 分、8 分、14 分追上骑车人。已知快车每分行 800 米，慢车每分行 600 米，求中车的速度。A.700 米/分B
14、.750 米/分C.800 米/分D.850 米/分7.两列火车相向行驶，快车长 200 米，慢车速度 144 千米/小时。从慢车上看，快车经过的时间是 2 秒，从快车上看，慢车经过的时间为 1 秒。若两车同向行驶，从追上到完全错开，需要的时间为（）秒。A.15B.3C.10D.610内部资料 免费交流第三篇第三篇排列组合问题排列组合问题一、知识讲解（一）基本原理1加法原理2乘法原理（二）排列和组合1排列和排列数2组合和组合数（三）常用方法1优限法2捆绑法3插空法4间接法11内部资料 免费交流二、能力训练例 1.餐厅需要使用 9 升食用油，现在库房里库存有 15 桶 5 升装的，3 桶 2 升
15、装的，8 桶 1 升装的。问库房有多少种发货方式，能保证正好发出餐厅需要的 9 升食用油？A.4B.5C.6D.7例 2.某厨师要从 3 种素菜、2 种荤菜、2 种主食中各选一种搭配成套餐，共可以配出（）种套餐。A.18B.15C.14D.12例 3.从北京到上海的高铁共有 15 个站，则需要为这条铁路线准备（）张车票，这条铁路线有（）种票价。A.210，210B.210，105C.105，105D.420，210例 4.某个文艺晚会有 4 个小品节目，2 个杂技节目，5 个歌舞节目，现要安排节目演出顺序。（1）晚会开始和结尾不能是小品节目，则有多少种不同安排方法？（2）如果小品 a 和歌舞节
16、目 b 必须要连续演出，则有多少种不同安排方法？（3）若 2 个杂技节目不能连续演出，则有多少种不同安排方法？（4）晚会前三个节目中至少一个是歌舞节目的安排方法数有多少种？三、效果检验1.从杭州到上海有 2 条线路，从上海到北京有 3 条线路，从杭州到深圳有 2 条线路，从深圳到北京有 4 条线路，那么从杭州到北京共有（）种不同的线路。A.6B.8C.14D.482.有颜色不同的 4 张卡片，每次使用一张、两张、三张或四张，并按一定的顺序摆在桌上表示暗号，有多少不同的摆法？A.78B.64C.56D.4212内部资料 免费交流3.一位客人在自助餐厅就餐时，他准备在 6 种肉类中挑选 3 种，4
17、 种蔬菜中挑选 2种，从 3 种点心中挑选 2 种。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有（）种不同选择方法。A.240B.360C.480D.7204.从 11、12、13、14、15、16、17、18、19 中任意选出三个数，使它们的和为奇数，问有多少种选法？A.44B.42C.40D.395.在AOB 的边 OA 上有 3 个点，边 OB 上有 4 个点，加上 O 点共 8 个点，以这 8个点为顶点的三角形一共有（）个。A.12B.32C.42D.566.5 个人站在一排照相，其中甲、乙两人不站在两边，则其站队的种类有多少种？A.36B.12C.6D.247.某公司筹办年度晚会节目包括 4
18、个小品，3 个演唱和 3 个舞蹈，为便于对节目进行评选，要求同类型的节目必须连续出现，那么共有（）种出场顺序。A.5184B.2160C.3768D.43728.有十个人排成一排合影，如果十个人的相对位置不变，再在他们的队伍中增加三个人，并且要求这 3 个人互不相邻，问共有多少种不同的排法？A.180 种B.360 种C.720 种D.990 种9.某公司准备从 11 名刚入职的优秀新员工中任选 4 名去参加海外培训项目，已知这 11 名员工中有男员工 6 名，女员工 5 名，现要求被选中的男女至少各 1 名，有（）种选法。A.280B.290C.300D.31013内部资料 免费交流第四篇第
19、四篇古典概率问题古典概率问题一、知识讲解古典概率二、能力训练例.口袋中有 6 个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出一球，若摸出黄球的可能性是43，则白球比黄球少多少个？A.3B.4C.5D.6三、效果检验1.袋子中有黑球 3 个，白球 4 个，每次拿出一个并放回，第二次拿到黑球的概率是（）。A.21B.125C.74D.7314内部资料 免费交流2.花园中有六种不同的花，需要喷洒各种特制的杀虫剂，园丁正确喷洒所有花的杀虫剂的概率为：A.361B.2561C.3601D.72013.袋子中有 5 元、10 元、20 元、50 元和 100 元的纸币各 5 张，现从中任意取出 3
20、张，它们的面额之间存在和差关系的概率为多少？A.1513B.2521C.2315D.4634.有三个汉字。每一个汉字一年级学生能读对的概率均为31。问 10 个一年级学生有人没有将三个字都读对的概率为多少？A.103)31(1B.103)31(1 C.33)101(1D.33)101(1 15内部资料 免费交流第五篇第五篇极值问题极值问题一、知识讲解（一）和定最值（二）最不利原则二、能力训练例 1.假设五个相异正整数的平均数为 15，中位数为 18，则此五个正整数中的最大数的最大值可能为：A.24B.32C.35D.40例 2.10 把钥匙分别可以打开 10 个门，现在已经打开了 5 个门，准
21、备再打开两个门，最多要试（）次。A.9B.10C.11D.1216内部资料 免费交流三、效果检验1.6 个小朋友共 60 个皮球，每个小朋友拥有的皮球数都不同，最多的 13 个，最少的最少有（）个。A.3B.4C.5D.62.现有 26 支铅笔，要把这 26 支铅笔分到 5 个笔筒里面，若使每个笔筒里面的铅笔数量各不相同，则分得铅笔最多的笔筒至少可以分得（）支铅笔。A.4B.5C.6D.83.有 21 朵鲜花分给 5 人，若每个人分得的鲜花数各不相同，且分得鲜花数最多的人不超过 7 朵，则分得鲜花第二多的人最少分得几朵鲜花？A.4B.5C.6D.84.电视台要播放一部 30 集电视连续剧，如果
22、要求每天安排播出的集数互不相等，该电视剧最多可以播放（）天。A.10B.9C.8D.75.一个袋子里面有红、黄、蓝三种颜色的球各 5 个，为了确保取出一对红色的球，则至少需取出多少个球？A.4 个B.6 个C.7 个D.12 个6.200 人参加招聘，工、理、文科各 130、40、30 人，至少有（）人找到工作，才能保证有 40 人专业相同。A.41B.69C.110D.1097.如下图所示，一副中国象棋的红、黑双方各有 16 个棋子，现在把三幅中国象棋的所有棋子放在同一个盒子内，至少要取出多少个棋子，才能保证取到 3 个颜色和兵种都相同的棋子？17内部资料 免费交流A.25B.29C.51D
23、.558.某公司允许员工在周一至周日任选两天休息，这个公司至少有多少员工才能保证至少 8 位员工选了相同两天？A.148B.132C.169D.1539.有 50 名学生选班长，得票最多的人当选，中途计票时发现刘燕已得 18 票，张军已得 16 票，李明已得 9 票，刘燕至少再得多少张票就一定能成为班长？A.0B.1C.3D.518内部资料 免费交流附录附录一、奇偶数（一）概念不能被 2 整除的数称为奇数，能被 2 整除的数称为偶数。（二）运算性质1、基本性质性质 1：偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数，偶数奇数=奇数性质 2：偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数，偶数偶数=偶数2、推论推论 1：偶数个
24、奇数的和或差是偶数；奇数个奇数的和或差是奇数。推论 2：当且仅当几个整数的乘积是奇数，得到这几个数均为奇数；当且仅当几个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个偶数。推论 3：两数之和与两数之差同奇（偶）。例 1.若 x，y，z 是三个连续的负整数，并且 xyz，则下列表达式中为正奇数的是：A.yz-xB.（x-y）（y-z）C.x-yzD.x（y-z）例 2.一次数学考试共有 50 道题，规定答对一题得 2 分，答错一题扣 1 分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得 73 分。求小明这次考试中答对的题目比答错和未答的题目之和可能相差多少个？A.25B.29C.32D.35例 3.一个人到书店购
25、买了一本书和一本杂志，在付钱时，他把书的定价中的个位上的数字和十位上的数字看反了，准备付 21 元取货。售货员说：“您应该付 39 元才对。”请问书比杂志贵多少钱？A.20 元B.21元C.23元D.24 元例 4.装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装 11 个，小盒每盒装 8 个，要把89 个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？A.3、7B.4、6C.5、4D.6、319内部资料 免费交流二、质合数（一）质、合数的概念质数：一个大于 1 的自然数如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数。如：2、3、5、7 都是质数，质数有无限多个，最小的质数是 2。合数
26、：一个自然数如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。如：4、6、15、49 都是合数，合数也有无限多个，最小的合数是 4。2 是唯一的偶质数，1 既不是质数也不是合数。（二）质数判定方法约数：如果一个自然数 a 能被自然数 b 整除，那么 b 就叫做 a 的约数。质约数：是质数的约数叫做质约数。例如：15 的约数有 1、3、5、15，其中 3、5 是质数，所以 3、5 又称为质约数。质数的判定方法：（第一步）判断自然数 A 是不是质数，要找到比 A 大的最小的平方数。（第二步）将小于这个平方数的平方根的所有质数找出来。（第三步）如果 A 不能够被（第二步）中提到的所有质数整除，那
27、么 A 就是质数。如果 A 能够被（第二步）中提到的至少一个质数整除，那么 A 就是合数。例如：判断 251 是否是质数。（第一步）216256251（第二步）小于 16 的质数有：2、3、5、7、11、13（第三步）由于 251 不能被 2、3、5、7、11、13 整除，所以 251 是质数。（三）分解质因数1、定义：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，把一个合数分解成若干个质因数乘积的形式，叫做分解质因数。2、方法：短除法。例 1.鸡、鸭、鹅三种禽类混杂在一起，已知三种动物的数目都是质数，且各不相等，鸡的数目乘上鸭和鸡的数目之和，等于鹅的数目加上 120。问鹅的数目是多少？A.17B.1
28、9C.23D.29例 2.如果 a，b 均为质数，且 3a+7b=41，则 a+b=（）。A.6B.7C.8D.920内部资料 免费交流例 3.赵先生 34 岁，钱女士 30 岁，一天，他们碰上了赵先生的三个邻居，钱女士问起了他们的年龄，赵先生说：他们三人的年龄各不相同，三人的年龄之积是 2450，三人的年龄之和是我俩年龄之和。问三个邻居中年龄最大的是多少岁？A.42B.45C.49D.50例 4.1430 名学生参加团体操，分成人数相等的若干队，每队人数在 100 至 200 之间，问有几种分法？A.0B.1C.2D.3例 5.学校准备了 1152 块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少
29、种不同的拼法？A.52B.36C.28D.12例 6.在一次射击比赛中，刘明与王川三次中靶环数的积都是 36，且总环数相等，刘明的最高环数比王川的最高环数多，则刘明三次中靶环数从小到大排列是（）。A.1，6，6B.2，2，9C.3，3，4D.2，3，6三、公约数与公倍数（一）概念1、约数、倍数：定义：如果一个自然数 a 能被自然数 b 整除，那么称 a 为 b 的倍数，b 为 a 的约数。2、公约数、公倍数：定义一：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。定义二：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。3、最大
30、公约数、最小公倍数：定义一：若干个数的公约数中最大的一个就称为这若干个自然数的最大公约数。定义二：若干个数的公倍数中最小的一个就称为这若干个自然数的最小公倍数。4、互质：定义一：如果若干个不同的自然数除了 1 之外没有其他的公约数，则这些自然数被称为是互质的。21内部资料 免费交流定义二：如果若干个不同的自然数任意两个都是互质的，则称这些自然数是两两互质的。（二）求解方法1、求最大公约数的方法分解质因数法：先分解质因数，再将相同的质因数取幂指数最小值连乘到一起。短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。224362121836923最大公约数=223=122、求最小公倍数的方法分解质因数法：先把
31、这几个数分解质因数，再将所有的质因数取幂指数最大值连乘到一起，得到的就是这几个数的最小公倍数。短除法：224362121836923最小公倍数=22323=72例 1.三根铁丝，长度分别是 120 厘米、180 厘米、300 厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根铁丝都不能有剩余，那么最少可截成多少段？A.8B.9C.10D.11例 2.甲每 5 天向总经理汇报一次工作，乙每 9 天汇报一次工作，丙每 12 天汇报一次工作。某天三人同时向总经理汇报工作，那么，三人下次同时汇报工作至少要（）天。A.60B.180C.45D.360例 3.甲隔 4 天进城一次，乙每 9 天进城一次，丙每 12 天进城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要：A.60 天B.180 天C.540 天D.1620 天22内部资料 免费交流例 4.有两个两位数，这两个两位数的最大公约数与最小公倍数的和是 91，最小公倍数是最大公约数的 12 倍，则较大的数是：A.42B.38C.36D.28