1、第 44 卷第 1 期 温 州 大 学 学 报（自 然 科 学 版）2023 年 2 月 Vol.44 No.1 Journal of Wenzhou University(Natural Science Edition)Feb.2023 不可压 MHD 方程组的一个条件正则性准则 张尊尊(温州大学数理学院，浙江温州 325035)摘 要：研究了三维不可压 MHD 方程组弱解的条件正则性问题主要考虑速度场水平方向的分量 uh和磁场水平方向的分量 bh，当 uh和 bh满足一定的条件时，弱解是光滑的 关键词：MHD 方程组；正则性；弱解 中图分类号：O175.2 文献标志码：A 文章编号：167
2、4-3563(2023)01-0021-08 DOI：10.3875/j.issn.1674-3563.2023.01.003 本文的 PDF 文件可以从 https:/ 获得 本文考虑以下三维不可压缩磁流体动力学（Magneto Hydro Dynamic,MHD）方程组形式：00divdiv0(,0)(),(0,)()ttu uuup bbb ubb buubu xux bxb x+=+|+=+|=|=，（1）这里123(,),(,),(,)uu u x t ux t u x t=，123(,),(,),(,)b b b x t b x t b x t=，(,)pp x t=分别代表未知的
3、速度场、磁场和压力，0()ux和0()bx是给定的初值条件特别地，当0b=时，方程组（1）就变为了 Navier-Stokes 方程，本文的很多想法来自 Navier-Stokes 方程下面简单介绍关于 MHD方程组正则性准则的一些研究成果 针对 MHD 方程组弱解的整体正则性有很多的判断依据，在文献1-4中都有相关介绍在文献2和4中，作者根据 Navier-Stokes 方程的正则性准则，建立了仅依赖速度的 Serrin 型正则性准则若速度场满足以下条件：,3()uLR，231+，3，（2）或,3()uLR ，232+，32有supp(2)supp(2)jk =；若kj有supp(2)sup
4、p(2)kj =接下来，对3()fS R 且jZ，引入如下二阶算子和各向异性的符号：0(2)1jj=，1(2)jjfFf=?，1(2)jjSFf=?，1(2)hjkhfFf=?，1(2)hjkhSFf=?，其中12(,)h=，Ff和f是f的 Fourier 变换 设;lim0hjjSfSS f=?，1,p r和sR，齐次 Besov 空间,sp rB?定义如下：,;sp rsp rhBBfSf=?，其中，,1/1/(2),(2),sp rsp rjsrrjBpj ZjsrrjBpj Zffrffr=|=|?若S表示缓增广义函数空间，设sR，fS，1loc()F fL 1）齐次的 Sobolev
5、 空间3()sHR?定义为：3221/2()()()d)sSHRfF f=?2）非齐次的 Sobolev 空间3()sHR定义为：3221/2()(1)()()d)sSHRfF f=+接下来介绍 Sobolev 空间下的标准范数形式3233222()()()(,):(,)(,)SSHRLRHRututut=+?此外，以标准方式定义乘数s，有()()()SsFfFf=定义 1 设(0)，2()dfL R，dN，若 21/22,log(log()()d)dRfef=+，则有2,log()dhfLR 接下来将给出本文所需用到的一些引理 引理 116 设dN，若0,2/)sd，则空间s()dHR?连续
6、地嵌入2d/(2)()dsdLR反之，若(1,2p，则()PdLR连续地嵌入到2/()d pdHR?张尊尊：不可压 MHD 方程组的一个条件正则性准则 23 引理 217 若121pp，且sR，则有113,()sp rBR?嵌入到2122(1/1/)3,()s dppprBR+?引理 317 设0s，且1,p r，若hfS，当且仅当1/(2)rjsrrjpj ZS f，(0,)且12121,p p p q q q，满足12111ppp+=且12111qqq+=，则有22,112222,11()()()()pqpqp qp qjjjjBRBRj Zj ZBRBRSfgSgffg+?2 定理及其证
7、明 定理 1 若(,)u b为 MHD 方程组（1）在(0,T上的弱解，其对应初值条件满足1,200(,)u bW，00u=，0b=若2,log(,)(0,;)hhvhu bLT L L，则(,)u b在3(0,RT上是光滑的 证明：首先，对方程组（1）的第一个等式和第二个等式两边分别乘以hu和hb，并在3R上积分，然后相加可得：22223332222323232,11,11,111 d()2 ddddhhhhLLLLjjkkkijjikkijjikkiRRRi jki jki jkububtuuu xbbu xubb x=+=+3321234,11d:jjikkiRi jkbub xKKKK
8、=+现在对第一项1K变换形式：333323221,11,111dddjjkkkikjjikikhhkRRRi jki jkkKuuu xuuu xuuu x=332233333312311ddkhkhkkRRkkuuuxuuu xAAA=+接下来对估计1A有：332221311ddd dhkhkhhkkhhhRRRRkkAuuu xuuu xuuu xx=+（4）温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 1 期 24 取NN 0，按照文献14中的方法将（4）式分为高频项和低频项，即 2220012dd()d:hhhhhhNhhhNhhRRRuuu xu Suu xuISuu xII
9、=+=+?利用文献13的 Bernstein 不等式得：022222012HhhhhhNhNhhhhLLLLLLISuuucuuu?，22000012222()d()()d:hhhhNhNhhNhNhhRRIS uISuu xISuISuu xII=+=+?根据对1I的估计，类似得到0222122hhLhNhhLLLIcuuu，对于22I的估计，可参考文献17中齐次的 Bony 分解，有：2002002211()()d()()dhhhhjNhNjhhRj jhhhhjNhNjhhRj ZIISuISuu xSISuISuu x=+?2002122231222()()d:hhhhjNhNjhhR
10、j ZISuISuSu xIII=+?利用引理 5，取1=，1/2=，2pq=，12124ppqq=，并应用1/224,4()BR?022,2()BRc?，有：120012321()()hhhhhhNjNhjhHRj ZHIISuISu Su?122220,log2/20()hhhhhhNhhhhHLLLLcuISuuuuN?222I的处理方式与232I相同212I采取不同的处理方法，212I可以进一步改写为212I=200()()dhhhhNjNhjhRj ZISuISuu x?，因为0()hhhjNhjhISuu?中不含高频项，则当0且0充分大时，有：200002121()()djhhhh
11、hkNjNhjhRjN k NIISuISuu x=?，220000222000022202111/2/2(1)/20()()()()()jhhhjhhhhhhhhhhhhkNjNhjhLLLjN k NhhhhhjNhjhkNLLLjNk NhhjhjhhLLLjNhhjhLLISuISuucISuuISucuujucujuN=?220hhhjhLjNu?张尊尊：不可压 MHD 方程组的一个条件正则性准则 25 22,log(1)/20()hhhhLLcuuN，整理可得：0222222,log2/20d2hhLhhhNhhhhhhhLLLLLRcuuu xcuuuuuN+22,log2(1)
12、/20()hhhhLLcuuN 又因22,loghhhhLLuu则有：2222,log,log222210/2(1)/2001()24()vvhhhhhL LLL LLccAc NuuuuNN+|同理有：223,log222/2(1)/2001d24()vhhhhhL LLRccAuuu xuuNN+|22,log220()vhhL LLc Nuu 对于3A的估计，利用1 122330uuu+=的条件可得：33223,log223333331 12231122/2(1)/200d()d1d24()vhkkkkRRkkhhhhL LLRAuuu xuuuu xccuuuxuuNN=+|22,lo
13、g220()vhhL LLc Nuu 下面对2K进行与1K类似方法的处理 3333333232322,11,12,112223333 33111ddddddjjikkikjjikijkikiRRRi jki jki jkkhhkkhkhkkRRRkkkKbbu xbbu xbbu xbbu xbbuxbbu x=+=+3212341d:jkjikiRkbbu xBBBB=+接下来估计1B，有：3332223,log22111222/2(1)/200ddd1d()24()vhhkhkhhkkhhhRRRkkhhhhhL LLLRBbbu xbbu xbu xccbub xbubNN=+|222,
14、log2220()()vhhL LLLc Nbub+温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 1 期 26 类似地，有：222,log2222/2(1)/2001()24()vhhhhL LLLccBbubNN+|222,log2220()()vhhL LLLc Nbub+，222,log2223/2(1)/2001()24()vhhhhL LLLccBbubNN+|222,log2220()()vhhL LLLc Nbub+对于4B，利用1 1223 30bbb+=的条件，可将4B重新改写为：3241djkjikiRkBbub x=222,log2223/2(1)/2001()8
15、()vhhhhL LLLccKbubNN+|222,log2220()()vhhL LLLc Nbub+最后，估计4K 3333332324,11,1133333dddddkjjikijkjikiRRi jki jkkhhkkhkhkkhRRRKbub xbub xbub xbuuxbub x=+=+3212341d:jkjikiRkbub xGGGG=+对于(1,2,3)iG i=估计和(1,2,3)iB i=类似，从而有：222,log222/2(1)/2001()24()vhihhhL LLLccGbubNN+|222,log2220()()vhhL LLLc Nbub+通过观察发现44
16、BG=最后，把1234,K KKK相加并使当0N充分大时，有：22222,log2222211 d()()2 dvhhhhLLL LLLubc uubt+222,log2222()vhhL LLLcbub+，这里1c是仅与0N和2,log2vhhL Lu有关的常数，2c是仅与0N和2,log2vhhL Lb有关的常数，则得到23(,)(0,;()hhubLT L R，进而得到(,)u b在区间(0,T上是光滑的 定理 1 证明完毕 张尊尊：不可压 MHD 方程组的一个条件正则性准则 27 参考文献 1 Chen C,Guo Z,Zhu M.A New Regularity Criterion for the 3D MHD Equations Involving Partial Components J.Acta Applicandae Mathematicae,2014,134:161-171.2 Zhou Y.Remarks on Regularities for the 3D MHD Equations J.Discrete and Continuous Dynamical Sys