1、66第40 卷第6 期2023年6 月真机仿算文章编号：10 0 6-9 348（2 0 2 3）0 6-0 0 6 6-0 6基于差分进化算法的四旋翼自适应滑模控制成利梅，张春美，郭红戈（太原科技大学电子信息工程学院，山西太原0 30 0 2 4）摘要：针对四旋翼飞行器在实际飞行中存在的模型不确定和外部干扰，设计了基于内外环结构的自适应滑模控制。首先使用牛顿欧拉法建立动力学模型，然后结合自适应方法设计了滑模控制器以实现系统模型不确定和外部干扰存在时的轨迹跟踪并证明了闭环系统的稳定。接着，以反映控制性能的指标为适应度函数，利用差分进化算法整定滑模控制器参数。最后通过仿真验证差分进化算法的性能以
2、及自适应滑模控制器的性能，仿真结果表明，经差分进化算法整定的自适应滑模控制器在模型不确定和外部干扰的影响下具有良好的轨迹跟踪性能。关键词：四旋翼飞行器；滑模控制；自适应控制；差分进化算法中图分类号：TP273+.5文献标识码：BAdaptive Sliding Mode Control of Quadrotor Based onDifferential Evolution AlgorithmCHENG Li-mei,ZHANG Chun-mei,GUO Hong-ge(School of Electronic Information Engineering,Taiyuan University
3、 of Science and Technology,Taiyuan Shanxi 030024,China)ABSTRACT:Aiming at the model uncertainty and external disturb of the quadrotor in actual flight,an adaptive slid-ing mode control based on the inner and outer control structure is designed.First,the dynamic model was establishedusing Newton-Eule
4、r method,then the sliding mode controller was designed with the adaptive method to achieve thetrajectory tracking when the system model was uncertainty and external disturb existed,and the stability of the closed-loop system was proved.Then,taking the index reflecting the control performance as the
5、fitness function,the differen-tial evolution algorithm was used to tune the parameters of the sliding mode controller.Finally,the performance of thedifferential evolution algorithm and the performance of the adaptive sliding mode controller were verified through simu-lation.The simulation results sh
6、ow that the adaptive sliding mode controller tuned by the differential evolution algo-rithm has good trajectory tracking performance under the influence of model uncertainty and external disturb.KEYWORDS:Quadrotor;Sliding mode control;Adaptive control;Differential evolution algorithm1引言四旋翼飞行器具有四个呈十字
7、交叉结构的旋翼，通过调节与螺旋桨固连的电机转速可控制四旋翼实现垂直起降以及各种姿态的飞行。由于其较强的机动性，灵活性，广泛应用于电力巡检，农业植保等领域1,2 针对四旋翼飞行器的控制问题，国内外许多学者进行了深入的研究，提出了许多的控制策略。当前的控制策略根据基金项目：国家自然科学青年基金（6 16 0 32 6 6）；新工科背景下人工智能课程多元化教学模式的构建研究基金（2 0 2 0 0 59)收稿日期：2 0 2 1-0 9-2 99修回日期：2 0 2 1-10-15其所依赖模型主要分为2 类。第一种控制策略基于由欧拉角的导数近似角速度的模型而设计3.4，由于模型的近似,该种控制策略仅
8、适用于欧拉角较小的飞行状态。第二种控制策略直接基于SO(3)动力学模型设计5-7),因此适用于更为复杂的飞行状态。同时，四旋翼在飞行过程不可避免地会受到环境扰动，滑模变结构控制对参数的不确定性以及有界干扰都具有良好的鲁棒性8 ，因此滑模控制被应用于四旋翼的控制9.10 。但是，滑模控制器的参数是难以确定的。随着智能优化算法的发展，智能优化算法逐渐被应用于控制器参数的整定，并进一步应用于四旋翼控制器参数的整定。粒子群算法1,12 、灰狼优化算法13、差分进化算法14等智能优化算法均被应用于四旋翼控制器参数的整定，其中67差分进化算法具有较好的全局搜索能力和鲁棒性15本文基于四旋翼飞行器的SO（3
9、）动力学模型设计滑模变结构控制与自适应控制相结合的自适应滑模控制器，并采用差分进化算法整定滑模控制器参数，最后通过仿真验证差分进化算法的性能以及自适应滑模控制器的鲁棒性。2动力学建模位置和姿态是四旋翼飞行过程中最为重要的信息。为了描述四旋翼飞行器的位置和姿态，首先建立参考坐标系W系/xyz和载体坐标系B系（xyz,所定义的坐标系如图1所示。2P224图1四旋翼结构及对应坐标系基于所建立的坐标系并假设四旋翼飞行器可看作机械结构对称的刚体，四旋翼的位置可由其质心在参考坐标系下的位置描述，姿态可由载体坐标系相对于参考坐标系的旋转矩阵RESO(3)描述。四旋翼飞行器的运动可分为平移运动和旋转运动，其平
10、移运动可用牛顿方程来描述，旋转运动可用欧拉方程描述，其平移运动的动力学方程为mpp=RTz.-mgzw(1)其中m为飞行器的质量，g为重力加速度，T为四个电机产生的升力。z=(0,0,1)为参考坐标系的Z轴,p=（x,y,z)为四旋翼飞行器质心在参考坐标系的位置。旋转运动的动力学方程为Jo=M-wxJo(2)其中J=diag(Jx,Jy,J）为转动惯量,M=（M,M z,M,）为四个电机产生的控制力矩。为四旋翼飞行器的角速度。其中旋转矩阵与角速度的关系为R=Ro(3)3#控制器设计由式(1)可知，四旋翼的平移运动与旋转矩阵相关，而旋转矩阵反映四旋翼的旋转运动，综上可知，四旋翼飞行器为耦合系统。
11、基于此，本文设计基于内外环的控制结构，整体的控制结构框图如图2 所示。外环对位置进行控制并给出控制升力的大小T和方向zb，该方向向量与期望偏航角向量x,=（c o s a d,s i n a,0)经期望位置T位置控制四旋翼RdM中间转换姿态控制动力学期望偏航角：实际位置个实际姿态图2控制结构框图式(4)运算后可得到内环的期望输入R，16 ,内环通过控制角速度间接对旋转矩阵进行控制。(4)Rd考虑到模型的不确定和外界干扰，本文将采用自适应滑模算法对内外环的控制器进行设计。3.1自适应滑模控制器设计3.1.1位置控制器设计分别取位置误差e,=Pa-p,速度误差e,=pa-p,同时假设系统存在外界扰
12、动d,此时结合式（1）可得位置误差模型如下eeP(5)Pd+gzw-RTza/m-de为了便于表示，取u=RTzw，位置控制器的设计目的为通过控制u使得系统（5）稳定，根据滑模控制器的设计流程首先定义如下滑模面S=ce,+e(6)P接着，基于阶滑模控制律设计如下控制律uu=m(ce,+pa+gzu-d+ks+nsgn(s)(7)其中c,k,n均为正常数。将式（7)代人式(5)并结合式(6)可知s+ks+nsgn(s)=d(8)其中d=d-d,为外界扰动的估计误差。接着定义如下李亚普诺夫函数11V=TS+-(9)22其中亚为正定的对角阵。将式(9)求导并将式(8)代人可得v=ss+dryr-la
13、=s(-ks-nsgn(s)+d)+aryrid=s(-ks-nsgn(s)+sd+aryrld(10)设d为缓慢变化的信号，因此a=d，在此基础上选取自适应律d=-s(11)此时V=s（-k s-n s g n(s)）0,所设计的控制律和自适应律可使得系统渐近稳定。进一步求解式(10)可知,V(t)e-2kV(0)，此时李亚普诺夫函数V将以指数形式收敛到0,s和d也将不断收敛到平衡点。收敛速度与k相关,k越大，收敛越快。当s收敛到0 时,ce,+e,=0,结合式(6)可知，位置误68并取矩阵+(R a-.R,wa)(24)=(-e(tr(R.)I-RT)ea差e，以指数形式收敛0,此时实际位
14、置将收敛于期望位置，收敛速度与相关，c越大，收敛越快。当所设计的控制律为式(7)时,期望升力的大小为T=(m(ce,+pa+gzw-d+ks+nsgn(s)Rzu(12)期望升力的方向为ce,+pa+gzw-d+ks+nsgn(s)Z6=Rz.(13)Ilce,+pa+gzw-d+ks+nsgn(s)ll同时在实际使用过程中,为了减少抖振，用饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s）)。1ssat(s)=IIisI(14)(-1s-其中，为边界层。3.1.2姿态控制器设计姿态控制器的设计目的为通过控制输人力矩使得实际旋转矩阵R收敛于输入的期望旋转矩阵Ra。首先定义旋转矩阵误差R。=R T R
15、(15)当实际旋转矩阵收敛于期望旋转矩阵时，R。将收敛到单位矩阵。其对应的逆映射log（R。将趋近于0,由文献17 可知,log(R。)的特性主要R。-R 决定，同时由于R。-R 为反对称矩阵,因此可以用其对应的向量来表示其特性。基于此，定义旋转矩阵误差的向量形式如下eR=e(R.-RT)(16)式中为正定的对角阵。在旋转矩阵误差的基础上，定义角速度误差e=W-Ra(17)其中,=RRd。当R。收敛到单位矩阵时,角速度误差将收敛于0。同时假设转动惯量未知且系统存在外界扰动dm，结合式(2)（3)（15)（17)可得姿态的误差模型为(R.=R.e.(e=J-wJa+M+dm-(RT-.Roa)(
16、18)根据滑模控制器的设计流程首先定义如下滑模面s=eR+e(19)由文献5 可知er=e(tr(R.)I-RT)ea(20)接着,基于阶滑模控制律设计控制律MM=j(-e(tr(R.)I-R)e+w j-dm+jRt oa-je,R,wa+(-As-ysgn(s)(21)其中,，均为正常数,定义估计向量=（Jdm）,其中=j-J,dm=dm-dm,基于滑模面s和估计误差定义如下李雅普诺夫函数11V=T(22)22其中为正定的对角阵,将式(2 2)求导可得V=sJS+TF-I=s(-As-sgn(s)+$(-Be(tr(R.)I-R)e.+(RI u-e,Rwa)IJ-w Jo+ja-dm+T
17、-1T(23)取中间列向量$(1)-,0,-100yY=5(2)0-10$(3)00一1(25)此时V=s(-As-sgn(s)+sY+iTr-I(26)设为缓慢变化的信号，因此于=，在此基础上选取自适应律=-TYs(27)此时V=s（-s-sgn（s)）0,由李雅普诺夫稳定性理论可知在设计控制律和自适应控制律的作用下，系统指数收敛，当系统收敛到s=0时,结合式（19）和(2 0)可得，e。将收敛到0。当e收敛到0 时,R。将收敛于单位阵，实际旋转矩阵将收敛于期望旋转矩阵。与位置控制器类似，参数和入与系统的收敛速度正相关。同样为了减少抖振,用饱和函数代替控制律中的符号函数上述所设计的位置控制器
18、和姿态控制器仅可以保证位置环路和姿态环路的稳定，并不能保证整个系统的稳定性，因此，对整个系统的稳定性证明尤为重要。本文采用文献18的定理证明整个系统的稳定性。由定理可知,对于由式(5)和式(18）构成的四旋翼误差模型，只要满足下列三个条件，系统便全局稳定。控制输入T和R.使得外环指数稳定。控制输人M使得内环指数稳定。m控制输人T(,+2llz/l),其中,和z是正常4数,z=(e,基于该定理下面证明整个系统的稳定性。证明：由位置控制器与姿态控制器的稳定性证明可知，控制输人T和R可以使得位置环路指数稳定，控制输入M使得姿态环路指数稳定，同时由式（12）和式（13）可知T=llm(ce,+pa+g
19、zw+d+ks+nsgn(s)Il(28)由向量范数的性质可知T mo(lle,Il+Ile,l)+ml/pall+mg+mlldill+mll nsgn(s)Il(29)其中=max(c+k,kc），期望加速度llpal是有界的，一般而言69干扰d也是有界的，因此lai为有界的，同时lnsgn(s)）=n,设llpall+g+IlalI+nsgn(s)）l 的上界为U,此时TmU+mo(lle,ll+lle,ll)(30)两边同时取平方且放大不等式的右侧可得T2mU2+4mo?(lle,IP+lle,P)=2mU2+4m(llz P)(31)放大不等式右侧同时左右两边开方可得TV2mU+2m
20、glzll=m(4/2U+8gllz/)(32)4由于4/2 U和8 g为有界的正常数，条件满足。综上，所设计的控制器可使得整个闭环系统稳定。3.2差分进化算法概述差分进化算法是由Storn和Price提出的基于种群的智能优化算法。该算法通过进化机制搜索群体最优解，其流程包括种群初始化，变异，交叉，选择四步。每个种群由多个个体组成，个体数目即为种群规模，每个个体为待优化参数组成的向量，若种群规模为n，待优化参数个数为g，则第k代种群可以表示为P,=(x;,1,x),i=1,2,n(33)种群的初始化即对初代种群的每个个体进行初始化赋值，对第i个个体的第j个元素初始化可通过式（34）随机产生mi
21、n+rand(0,1)(xm(34)minmaxmin其中xmn为第j个元素的最小值，xmax为第j个元素的最大值。变异是利用个体之间的差分信息对个体进行变异，本文选择DE/rand/1策略，其表达式为Vi,k=xr,k+F(x,(35)其中r1,f2,r3为第k代种群内互不相等的三个个体,F为缩放因子，影响种群的多样性和收敛速度。增大F的值可以提高种群多样性，减小F的值可以加速算法的收敛速度，因此，算法初期时F值应该较大，以便寻找全局最优解，随着送次次数的增加，F值应该减小使得算法尽快收敛，基于此本文选择如下函数作为变异因子19 KF二FF一F(36)maxmaxminmax其中Fmax为缩
22、放因子的最大值，Fmin为缩放因子的最小值，k为当前迭代次数，kmx为最大迭代次数。交叉是利用目标个体与变异形成的个体形成新个体，本文选择基于二项式的交叉,其表达式为rand CR或j=jiand(37)其他其中CR为交叉概率因子,影响种群的多样性,增大CR的值可以增加种群个体更新的概率,减小CR的值有利于算法的稳定搜索,本文选择如下函数作为交叉概率因子19 CR=CRmin+(CR,maxCR.(38)ninminmax其中CRmax为缩放因子的最大值，CRmin为缩放因子的最小值。选择是在目标个体与交叉形成的个体之间选择使得适应度值更优的个体，其表达式为ui，kf(ui,t)f(xi,k)
23、(39)其他其中（）为适应度函数。当送代次数小于最大送代次数，重复执行交叉、变异、选择操作，当送代次数等于最大送代次数时，算法输出寻优结果。3.3基于差分进化算法的控制系统设计在控制器的设计过程中，仅定性给出控制参数对系统性能的影响。在实际的使用过程中，需要经过大量的仿真来确定控制参数。本文采用差分进化算法对滑模控制器的参数c,k,n,入,进行离线寻优,所以选取x,=（c,k,n,入,）。对控制器参数寻优实质上为寻找使得控制系统具有良好性能的参数，控制系统的性能需综合考虑时域的动态特性以及控制输入的能耗，其中绝对误差积分（IAE）可反映动态响应，绝对控制输人积分可反映系统的能耗，因此，本文选取
24、如下性能指标函数作为适应度函数。3(x.),(t)I dt+I u,(t)I dtWW9=1(40)其中W,W，为权重系数，j代表位置的三个方向，q代表控制量的个数。基于差分进化算法的控制系统框图如图3所示。控制器11期望位置T位置控制R四旋翼M中间转换姿态控制动力学期望偏航角！1实际位置实际姿态更新控制器参数适应度函数差分进化算法图3基于差分进化算法的控制系统框图4仿真验证4.1控制参数选择本文在Matlab/Simulink环境下仿真验证所设计算法，仿真过程中采用的结构参数m=4.34kg，J=d i a g（0.0 8 2，0.0845,0.1377）。设四旋翼飞行器的期望位置pa=（1
25、1，1),期望偏航角。=/3,初始位置p=（0,0,0）,初始偏航角出=0。由x；的选取可知待优化参数个数g=6,由文献2 3 可知，种群个数n应为5g10g，因此设置种群规模n=50。同时设置c和的变化范围为1,50 ,k和入的变化范围为0.1,20,n和的变化范围0.1,2 0 ,差分进化算法的参数见表1。70表1差分进化参数设定参数值50maxFmax1.6Fmin0.3CRmax0.9CRmin0.3W1W20.5经仿真可得最优适应值与送代次数的关系如图4所示。244x102.352.32.25222.155101520元2 53 035404550送代次数图4送代收敛图由图可知，适应
26、度函数在经过2 0 次的迭代之后收敛到最优值2.16 7 6 10*此时得到的控制器参数c=3.2982,k=1.9674,n=0.4597,=7.0874,入=0.1,=3.2 413。当所选控制参数为该组最优参数时位置误差与控制输入如图5和图6 所示。0.40.20020.4-0.6-0.8051015202530t/s图5最优控制参数下的位置误差100(N5051015202530(wNW100-10101515202530uNW10-10元51015202530(urNW51015t/s图6最优控制参数下的控制输入由图5可知，在经差分进化算法整定的控制参数的作用下位置误差约3s内收敛到
27、0。图6 为最优控制参数下的控制输人，由图可知，控制升力T很快收敛到稳定，控制力矩M在经过小幅度波动之后收敛到0。综合位置误差和控制输入可知经差分进化算法得出的控制器参数可使得系统具有较好的控制性能。4.2鲁棒性验证为了验证所设计控制器的鲁棒性，分别仿真系统在参数不确定以及有干扰情况下跟踪螺旋线的性能。设四旋翼飞行器的期望轨迹pa=（c o s t,s i n t,1+t/5）,期望偏航角a=Tt,初始位置p=（0,0,0),初始偏航角山=0。控制器的参数为优化之后的参数。在实验一中，假设转动惯量未知，此时采用式（2 1)和式(27)设计控制律以及自适应律，位置误差如图7 所示，转动惯量的估计
28、曲线如图8 所示。0.40.2/0.2-0.4-0.6-0.8-1-1251015202530t/s图7转动惯量未知时的位置误差0.50-0.5-1051015202530(uoy0.50-0.5051015050-0.555101520251030t/s图8转动惯量的估计量图7 描述了跟踪轨迹时的位置误差，由图可知，三个方向的位置误差均较快收敛到0。图8 中实线表示真实的转动惯量，虚线表示估计的转动惯量，对比可知，所设计的自适应律可以较好地估计转动惯量的真实值。在实验二中，假设位置环路存在干扰d=（0.1c o s（t)，0.1cos（t）,0.1c o s（t)）,姿态环路存在干扰dm=（
29、0.1s i n(t），0.1sin(t),0.1sin(t)）,仿真结果图9 所示。图9 为干扰存在时的位置误差。由图可知，位置误差能在5s内收敛到0,即实际轨迹可以较好地跟踪期望轨迹通过仿真验证了所设计的自适应滑模控制器能够克服模型不确定和干扰实现期望轨迹的跟踪。710.40.2-0.2-0.4-0.6-0.8-1.251015202530t/s图9干扰存在的位置误差5结论本文基于非线性群建立了四旋翼飞行器的动力学模型，在考虑模型不确定性和外部干扰的情况下设计了基于内外环结构的自适应滑模控制器，并采用差分进化算法离线寻优滑模控制器的参数。仿真实验验证了差分进化算法在控制器参数整定的有效性以
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