1、第 45 卷第 4 期2023 年 8 月Vol.45 No.4Aug.2023土 木 与 环 境 工 程 学 报（中 英 文）Journal of Civil and Environmental Engineering基于Vine Copula函数的风浪要素联合概率分布模型王望,朱金,康锐,李永乐（西南交通大学 桥梁工程系，成都 610031）摘要：随着全球气候变暖的加剧，极端气候现象发生的频率和强度均可能加大，这对海岸和近海结构的安全不利。基于中国东海的连云港海洋观测站实测风浪数据和 Vine Copula理论，建立风浪要素中风速、波高、波浪周期、风向和波向五维随机变量之间的联合概率分布模
2、型。采用极大似然法确定各风浪要素边缘分布模型参数，通过 AIC 信息准则和均方根误差 RMSE 进行拟合优度评价，由此建立风浪要素的边缘分布。采用带有基于残差的高斯似然函数的贝叶斯框架估计二维Copula函数的参数，结合 AIC信息准则进行拟合优度评价并确定最优 Copula函数。绘制最优联合分布概率密度图，与二维频率直方图进行对比以评价模型效果。采用 Vine Copula函数建立多维联合概率模型并结合 AIC 值评价其拟合优度。研究结果表明：建立的 Vine Copula 模型可以较好地刻画风速、波高、波浪周期、风向和波向五维随机变量之间的联合概率分布。关键词：风浪联合概率分布模型；风浪荷
3、载；参数估计；拟合优度检验中图分类号：U441.2 文献标志码：A 文章编号：2096-6717（2023）04-0083-11Joint probability distribution model of wind and wave with Vine Copula functionWANG Wang，ZHU Jin，KANG Rui，LI Yongle(Department of Bridge Engineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,P.R.China)Abstract:With the intensificatio
4、n of global climate warming,the probabilities and load intensities of extreme weather phenomenon are gradually increasing,which could threaten the safety of coastal and offshore infrastructures.The present study presents a joint probability distribution model of wind speed,wave height,wave period,wi
5、nd direction and wave direction with Vine Copula function based on monitoring data from Lianyungang Ocean Station in the East China Sea.Firstly,the marginal probability distributions of wind and wave data are determined,in which the AIC criteria and RMSE index are employed to select the optimal prob
6、ability distribution model and the maximum likelihood method is used to determine the model parameters.DOI：10.11835/j.issn.2096-6717.2021.148收稿日期：20210506基金项目：国家自然科学基金（51908472）；四川省科学技术厅科技计划(2020YJ0080)；中国博士后科学基金(2019M663554、2019TQ0271)作者简介：王望（1994-），男，主要从事大跨桥梁风浪耦合动力学研究，E-mail：。朱金（通信作者），男，助理研究员，博士（后
7、），E-mail：。Received:20210506Foundation items:National Natural Science Foundation of China(No.51908472)；Project of Science and Technology Department of Sichuan Province(2020YJ0080)；China Postdoctoral Science Foundation(No.2019M663554,2019TQ0271)Author brief:WANG Wang(1994-),main research interest:coup
8、led wind-wave-bridge dynamics of long-span bridges,E-mail:.ZHU Jin（corresponding author）,associate research fellow,postdoctor,E-mail:.开放科学（资源服务）标识码OSID:第 45 卷土 木 与 环 境 工 程 学 报（中 英 文）Subsequently,the optimal two-dimensional Copula function for wind and wave data is determined via the AIC criteria,and
9、 the model parameters are fitted with a Bayesian framework with a residual-based Gaussian likelihood function.To illustrate the goodness of fit,the binary frequency histogram of the original wind and wave data is compared with the proposed two-dimensional Copula function.Finally,the multi-dimensiona
10、l joint probability distribution model of wind and wave data is established with the Vine Copula function based on the AIC criteria.The results show that the proposed Vine Copula model is able to describe the joint probability distribution between the wind speed,wave height,wave period,wind directio
11、n and wave direction.Keywords:joint probability distribution model of wind and wave；wind and wave load；parameter estimation；goodness of fit test海洋环境恶劣，往往存在大风和巨浪的组合作用，同时，跨海大桥具有基础结构尺寸大、主跨轻柔、阻尼小、刚度小等特点，导致跨海大桥对风浪等海洋环境荷载非常敏感，极端风浪荷载成为威胁跨海大桥安全的主要因素之一。目前，跨海大桥多灾害作用的研究中通常研究单一灾害（如风、波浪、地震、冲刷等）对桥梁结构的作用，未能很好地考虑各灾
12、害之间的相关性。特别是风浪要素，其包含了众多影响跨海大桥动力特性的参数，如风速、风向、波高、波向、波浪周期等，各参数是随时间变化的随机变量，且相互之间具有不同的尾部相关结构（即非线性）。因此，构造风浪要素的联合分布函数是研究海洋环境中风浪耦合效应及进一步探究风浪各要素对跨海大桥动力响应特征影响规律的基本前提。Copula函数将多维联合分布分解为相应的边缘分布和 Copula函数之积，可以灵活地表示两两随机变量之间的相关结构。近年来，Copula函数在土木工程领域逐渐得到关注。Li等1基于 C-Vine Copula理论，研究了阿拉斯加南部海岸风浪相关性，并由建立的模型推算了特定重现期的长期荷载
13、。Zhang等2采用椭圆 Copula和三维 Placket Copula建立了风速、风向和温度的三维联合分布。Bai等3采用混合二维Copula来描述风浪环境变量的相关性并与采用单一Copula的情况进行对比，研究表明，混合 Copula能更好地描述多维变量之间复杂的相关关系。Wang等4基于 Copula理论，提出了一种利用气象资料研究大跨桥梁风温联合作用的方法并应用于常泰长江大桥。Zhang等5基于非对称 Copula函数，模拟了海洋环境要素的相关关系，侧重于捕捉环境要素的非对称相关关系。Li等6在浮式风力发电机组的概率疲劳评估研究中，基于 Copula函数建立了多维概率模型，用来定义风
14、浪环境参数相关性。Vanem7对特征波高和波浪周期的同时进行了多维分布研究，结果表明，使用非对称 Copula函数能较好地模拟非对称的相关关系。Yang等8基于三维 Copula函数建立了风速、风暴潮和暴雨的联合概率分布，提出了一种有效的 PSO 算法来估计边缘分布和联合分布的参数，并 与 极 大 似 然 法 和 对 数 似 然 法 进 行 对 比 验 证。Wang等9通过建立挪威 Sulafjord的短期近海数据和桥址区数据之间的定量关系，推算了桥址区长期风浪数据，从而建立了风浪联合分布。Zhang等10通过基于 Copula的多维概率模型，研究了考虑多种环境因素的近海结构长期荷载，由此建立
15、了多种常见海况参数之间的联合概率模型。Xu 等11将 Copula 函数应用于海洋结构可靠度的分析，描述了波高、波峰和平均风速 3个近海环境参数之间的相关性，研究表明，该方法可用于考虑长期疲劳荷载和极端响应的海 洋 结 构 可 靠 度 分 析。陈 子 燊 等12采 用 非 对 称Archimedean Copula函数分析极端波况下波高、风速和周期的三变量联合概率分布，计算了“或”重现期、“且”重现期和二次重现期，探讨了规范设计值的安全性并给出了建议。Copula理论不仅在海洋环境要素相关性研究方面有广泛的应用，在结构可靠度等其他领域也有重要的应用。陈建兵等13基于 Copula理论，建立了混
16、凝土参数之间的相关性模型，由生成的样本计算了混凝土本构全曲线。樊学平等14基于R-Vine Copula理论对大跨桥梁主梁检测点失效概率的相关性进行了研究，建立了检测点的相关性模型。刘月飞等15基于桥梁检测点的极值应力数据，建立了描述检测变量非线性相关的 Vine Copula 模型。宋帅等16将混合 Copula方法应用于桥梁系统地震易损性分析中，准确描述了构件地震需求的非对称相关关系，简化了联合分布模型的建立过程。综上所述，以上基于Copula函数的海洋环境参数联合分布的研究极大促进了跨海桥梁的建设，但是目前相关研究多针对二维及三维的海洋环境参数，这对准确模拟复杂多变的海洋环境来说是不够的
17、。如前所述，海洋风浪要素中的风速、风向、波高、波向、波浪周期对于跨海大桥的动力响应均有重要影响，然而，目前针对风浪要素多维联合分布的研究还鲜有报道。笔者在单一 Copula函数的基础上，基于 Vine Copula理论建立了海洋风浪要素中风速、风向、波高、波向、波浪周期五维变量之间的联合分布模型，从而准确刻画了风浪要素之间的相关关系。首先，建立风浪各个要素的边缘概率模型，采用均方根误差（RMSE）进行拟合优度评价；在得到风浪各要素边缘分布的基础上，基于 Copula理论，建立风浪要素两两之间的二维联合概率分布模型，通过AIC信息准则和均方根误差RMSE进行拟合优度评价，并考察风浪要素两两之间的
18、相关性；基于Vine Copula理论，采用C-Vine结构构建了风浪要素中风速、风向、波高、波向、波浪周期五维变量之间的联合概率分布模型。通过 AIC准则对模型进行拟合优度评价。1边缘分布1.1数据说明采用位于中国东海的连云港海洋观测站 20162020年波浪和风场观测数据，数据由中国国家科技资源共享服务平台国家海洋科学数据中心(http:/ 10 m 高度处最小平均风速、特征波高、波浪周期、风向和波向，测量频率为每小时测量一次，站点的经纬度为 3447 0 N 11926 0 E，最大风速为 22 m，达到强风等级，最大波高为 2.4 m。风浪数据信息如表 1 所示。需要说明的是，笔者在进
19、行数据处理时发现，海洋站的观测数据中有很少一部分数据存在缺失的情况，即有个别或多个要素的数据没有观测到。针对这种情况，将缺失的样本数据予以剔除，尽可能多地保留其余数据样本，最后得到的样本总量为 29 363个。1.2边缘分布首先，需要建立风浪要素的边缘分布模型。研究中发现，风速、波高、波周期样本具有单峰分布的特征（图 1（a）（c），采用常见的单峰分布模型进行拟合，包括 Weibull、广义极值分布（GEV）、含有尺度参数和位置参数的 t分布等。风向和波向具有多峰分布的特征（图 1（d）、（e），采用混合模型进行拟合，包括混合 Gaussian分布、混合 Gamma分布、混合Weibull分布
20、。1）Weibull分布f(x,k)=k(x)k-1e-(x/)k（1）式中：为尺度参数；k为形状参数。2）广义极值分布（GEV）FX(x)=P(X 0（5）式中：l=13wl=1；l、l分别为相应部分 Gamma 分布的形状参数和尺度参数。当采用上述概率分布模型对风浪要素进行拟合时，概率分布模型的参数估计采用极大似然法。另外，为了评价不同概率分布模型的拟合效果，采用 AIC、BIC 和 RMSE 对概率分布模型进行拟合优度评价，并据此选取最优的概率分布模型。AIC、BIC和 RMSE的计算式为AIC=-2i=1nln f(xi)+2k（6）式中：xi为样本值；n为样本数量；f(xi)为备选边
21、缘分布函数的密度函数；k 为备选边缘分布函数中分布参数的数量。BIC=-2i=1nln f(xi)+k ln n（7）式中：xi为样本值；n为样本数量；f(xi)为备选边缘分布函数的密度函数；k 为备选边缘分布函数中分布参数的数量。表 1风浪要素数据信息Table 1Information of wind and wave data84第 4 期王望，等：基于 Vine Copula函数的风浪要素联合概率分布模型波浪周期五维变量之间的联合分布模型，从而准确刻画了风浪要素之间的相关关系。首先，建立风浪各个要素的边缘概率模型，采用均方根误差（RMSE）进行拟合优度评价；在得到风浪各要素边缘分布的基
22、础上，基于 Copula理论，建立风浪要素两两之间的二维联合概率分布模型，通过AIC信息准则和均方根误差RMSE进行拟合优度评价，并考察风浪要素两两之间的相关性；基于Vine Copula理论，采用C-Vine结构构建了风浪要素中风速、风向、波高、波向、波浪周期五维变量之间的联合概率分布模型。通过 AIC准则对模型进行拟合优度评价。1边缘分布1.1数据说明采用位于中国东海的连云港海洋观测站 20162020年波浪和风场观测数据，数据由中国国家科技资源共享服务平台国家海洋科学数据中心(http:/ 10 m 高度处最小平均风速、特征波高、波浪周期、风向和波向，测量频率为每小时测量一次，站点的经纬
23、度为 3447 0 N 11926 0 E，最大风速为 22 m，达到强风等级，最大波高为 2.4 m。风浪数据信息如表 1 所示。需要说明的是，笔者在进行数据处理时发现，海洋站的观测数据中有很少一部分数据存在缺失的情况，即有个别或多个要素的数据没有观测到。针对这种情况，将缺失的样本数据予以剔除，尽可能多地保留其余数据样本，最后得到的样本总量为 29 363个。1.2边缘分布首先，需要建立风浪要素的边缘分布模型。研究中发现，风速、波高、波周期样本具有单峰分布的特征（图 1（a）（c），采用常见的单峰分布模型进行拟合，包括 Weibull、广义极值分布（GEV）、含有尺度参数和位置参数的 t分布
24、等。风向和波向具有多峰分布的特征（图 1（d）、（e），采用混合模型进行拟合，包括混合 Gaussian分布、混合 Gamma分布、混合Weibull分布。1）Weibull分布f(x,k)=k(x)k-1e-(x/)k（1）式中：为尺度参数；k为形状参数。2）广义极值分布（GEV）FX(x)=P(X 0（5）式中：l=13wl=1；l、l分别为相应部分 Gamma 分布的形状参数和尺度参数。当采用上述概率分布模型对风浪要素进行拟合时，概率分布模型的参数估计采用极大似然法。另外，为了评价不同概率分布模型的拟合效果，采用 AIC、BIC 和 RMSE 对概率分布模型进行拟合优度评价，并据此选取最
25、优的概率分布模型。AIC、BIC和 RMSE的计算式为AIC=-2i=1nln f(xi)+2k（6）式中：xi为样本值；n为样本数量；f(xi)为备选边缘分布函数的密度函数；k 为备选边缘分布函数中分布参数的数量。BIC=-2i=1nln f(xi)+k ln n（7）式中：xi为样本值；n为样本数量；f(xi)为备选边缘分布函数的密度函数；k 为备选边缘分布函数中分布参数的数量。表 1风浪要素数据信息Table 1Information of wind and wave data风浪要素风速波高波周期风向波向说明10 min平均风速，单位 m/s特征波高，单位 m单位 s单位度()，正北为
26、 0，度数沿顺时针增加单位度()，正北为 0，度数沿顺时针增加85第 45 卷土 木 与 环 境 工 程 学 报（中 英 文）RMSE=1ni=1nPc(i)-P0(i)2（8）式中：n为样本数量；Pc为多维 Copula联合分布理论频率值。RMSE值越小，拟合的效果越好。通过观察风向概率直方图（图 1（d）可以看出，风向的概率分布有 3个较为明显的峰值，因此，采用的混合概率模型中应包含 3 个单峰分布，故采用混合维度为 3 的混合模型（3 个单峰分布函数混合）来拟合。与风向类似，波向频率直方图（图 1（e）也有多个峰值，分别采取二维和三维混合模型对波向的概率分布进行拟合，通过对比 RMSE
27、发现，三维混合模型的概率拟合效果较好。表 2和表 3给出了风速、波高、波浪周期、风向、波向 5个风浪要素的最优边缘概率分布类型和相应参数。此外，图 1 还给出了这 5个风浪要素样本的直方图及最优边缘概率分布曲线。由图 1 可以看出，选取的最优边缘概率分布曲线对 5个风浪要素样本的拟合效果较好。拟合优度评价结果表明：风速、波高、波周期的最优拟合分布分别为 Weibull分布、广义极值分布（GEV）、含有尺度参数和位置参数的 t 分布；而风向和波向的最优拟合分布均为混合 Gaussian分布。（a）风速（c）波周期（e）波向（b）波高（d）风向图 1风浪要素概率分布直方图及最优边缘概率分布曲线Fi
28、g.1Histogram of wind and wave data and the optimal marginal probability distribution curve表 2风速、波高、波周期最优边缘概率分布Table 2The optimal marginal probability distribution of wind speed,wave height and wave period环境要素风速 Vw波高 Hs波周期 Tp分布WeibullGeneralized Extreme Value七分布BIC140 950-7 914101 130AIC140 930-7 939
29、101 110尺度参数5.496 20.150 40.959 7形态参数1.728 80.313 23.090 1位置参数0.205 84.863 0RMSE0.006 30.052 70.015 32二维联合分布2.1二维 Copula理论根据 Sklar定理17，多维联合分布和其边缘分布可以写为F（x1 xi）=C（F1（x1）Fn（xn）;）（9）式中：Fi(xi)为随机变量 xi的边缘概率分布函数；C()为 Copula函数；为 Copula函数的参数。将海洋环境变量定义为一个 n维随机变量 X=（x1,x2 xi xn），基于 Copula理论，联合概率密度可以表示为f（x1,x2
30、xi xn）=c（F1（x1）,F2（x2）Fi（xi）Fn（xn）i=1nf(xi)（10）式中：Fi（xi）、f（xi）分别为随机变量 xi的边缘概率分布的分布函数和概率密度函数；c 为 Copula 密度函数。由式（10）可得二维联合分布概率密度函数公式 f（x1,x2）=c（F1（x1）,F2（x2）f（x1）f（x2）（11）式中：c为二维 Copula函数的密度函数。由式（11）可知，为了研究风浪要素之间的二维联合概率分布，首先应建立风浪要素两两变量之间的 Copula 函数。选取风速波高、波高波周期、风速风向、波高波向 4 个随机变量对来研究并建立二维 Copula函数。目前，研
31、究风浪要素联合分布的大多数文献均将这些变量对作为研究对象。其次，这些变量对中的两个变量之间往往存在较大的相关性，而这些相关性在进行结构（如海上风机、跨海桥梁等）的动力响应分析时又至关重要。样本数据经过式（12）可以变换为范围 01的标准分布，样本的标准分布忽略了样本数值大小的差异，只保留数据的相对大小关系，以便于更清晰地研究数据之间的相关性。图 2 是风速波高经验 Copula 频率直方图，可以看出，风速和波高具有较强的尾部相关性。U=n-R+0.5n（12）式中：U为将样本变换为范围为01的标准分布后的随机变量；n为样本个数；R为样本点在所有样本中的排序。常用的二维 Copula 函数类型有
32、：Gaussian、T、Clayton、Gumbel、Frank，如表 4所示。2.2拟合优度评价要 进 行 拟 合 优 度 评 价，首 先 要 计 算 经 验Copula，经验 Copula可以通过式（13）计算18。CE(u1,u2)=1ni=1nI(u1i u1,u2i u2)（13）式中：n为样本的大小，对每一个 1in，满足u1iu1,u2i u2时，I(u1i u1,u2i u2)=1。对应三维的情况，经验 Copula 可通过式（14）计算。图 2风速波高标准分布二维频率直方图Fig.2Binary frequency histogram of standard distribu
33、tion of wind and wave表 3风向、波向边缘分布Table 3The marginal distribution of wind direction and wave direction表 45种典型的 Copula函数Table 4Five typical Copula functions86第 4 期王望，等：基于 Vine Copula函数的风浪要素联合概率分布模型2二维联合分布2.1二维 Copula理论根据 Sklar定理17，多维联合分布和其边缘分布可以写为F（x1 xi）=C（F1（x1）Fn（xn）;）（9）式中：Fi(xi)为随机变量 xi的边缘概率分布函数
34、；C()为 Copula函数；为 Copula函数的参数。将海洋环境变量定义为一个 n维随机变量 X=（x1,x2 xi xn），基于 Copula理论，联合概率密度可以表示为f（x1,x2 xi xn）=c（F1（x1）,F2（x2）Fi（xi）Fn（xn）i=1nf(xi)（10）式中：Fi（xi）、f（xi）分别为随机变量 xi的边缘概率分布的分布函数和概率密度函数；c 为 Copula 密度函数。由式（10）可得二维联合分布概率密度函数公式 f（x1,x2）=c（F1（x1）,F2（x2）f（x1）f（x2）（11）式中：c为二维 Copula函数的密度函数。由式（11）可知，为了研究
35、风浪要素之间的二维联合概率分布，首先应建立风浪要素两两变量之间的 Copula 函数。选取风速波高、波高波周期、风速风向、波高波向 4 个随机变量对来研究并建立二维 Copula函数。目前，研究风浪要素联合分布的大多数文献均将这些变量对作为研究对象。其次，这些变量对中的两个变量之间往往存在较大的相关性，而这些相关性在进行结构（如海上风机、跨海桥梁等）的动力响应分析时又至关重要。样本数据经过式（12）可以变换为范围 01的标准分布，样本的标准分布忽略了样本数值大小的差异，只保留数据的相对大小关系，以便于更清晰地研究数据之间的相关性。图 2 是风速波高经验 Copula 频率直方图，可以看出，风速
36、和波高具有较强的尾部相关性。U=n-R+0.5n（12）式中：U为将样本变换为范围为01的标准分布后的随机变量；n为样本个数；R为样本点在所有样本中的排序。常用的二维 Copula 函数类型有：Gaussian、T、Clayton、Gumbel、Frank，如表 4所示。2.2拟合优度评价要 进 行 拟 合 优 度 评 价，首 先 要 计 算 经 验Copula，经验 Copula可以通过式（13）计算18。CE(u1,u2)=1ni=1nI(u1i u1,u2i u2)（13）式中：n为样本的大小，对每一个 1in，满足u1iu1,u2i u2时，I(u1i u1,u2i u2)=1。对应三
37、维的情况，经验 Copula 可通过式（14）计算。图 2风速波高标准分布二维频率直方图Fig.2Binary frequency histogram of standard distribution of wind and wave表 3风向、波向边缘分布Table 3The marginal distribution of wind direction and wave direction环境要素风向 w波向 s函数类型混合 Gaussian混合 Gamma混合 Gaussian混合 Weibull拟合参数参数取值参数取值参数取值参数取值w10.149 7w10.381 1w10.646
38、6w10.799 2w20.552 3w20.346 2w20.212 8w20.142 4w30.298 0w30.272 6w30.140 7w30.058 410.461 010.21211.173 211.533 522.080 320.82721.590 625.433 634.923 630.075 935.202 630.000 110.225 5k111.428 310.677 6k12.748 120.793 8k21.388 920.283 1k210.909 730.672 0k365.938 130.564 1k363.643 4RMSE0.006 30.007 30.
39、046 50.048 5表 45种典型的 Copula函数Table 4Five typical Copula functionsCopula函数GaussianTClaytonGumbelFrank函数公式(-1(u1),-1(u2)|)t,n(tn-1(u1),tn-1(u2)|)(u1-+u2-1)-1/exp(-(-ln u1)+(-ln u2)1/)-1ln(1+(e-u1-1)(e-u2-1)e-1)范围-1,1-1,1(0,)1,)(-,)/087第 45 卷土 木 与 环 境 工 程 学 报（中 英 文）CE(u1,u2,u3)=1ni=1nI(u1i u1,u2i u2,u3
40、i u3)（14）式中：n为研究样本的大小，对每一个 1in，满足u1i u1,u2i u2,u3i u3时，I(u1i u1,u2i u2，u3iu3)=1。为了对选取的 Copula函数进行拟合优度评价，选用均方根误差（RMSE）作为评价标准来评价模型的优劣。RMSE=1ni=1n|CE(u1)i,(u2)i-C(u1)i,(u2)i2（15）式中：CE为 Copula 经验值；C 为建立的模型计算出的理论值。Sn越小,说明拟合的 Copula模型与经验 Copula越接近，拟合效果越好。建立二维联合分布可以对多种 Copula 函数分别进行参数估计，采用贝叶斯框架和基于残差的高斯似然函数
41、进行参数估计19。贝叶斯分析已在多个领域应用于参数估计。当获得新信息时，贝叶斯理论更新假设的先验概率，将所有建模的不确定因素归因于参数，通过式（16）估计模型参数的后验分布。p(|Y)=p()p(Y|)p(Y)（16）式中：p()和p(|Y)分别表示参数的先验和后验分布；p(Y|)可代表似然函数；p(Y)=p(Y|)d为证据，证据在每次建模中都是常数。在缺乏参数先验分布的有效信息时，可以采用均匀先验，假设残差不相关，同方差、均值为零的高斯分布，那么似然函数就可以通过式（17）表示。L(|Y)=i=1n122exp-12-2yi-yi()2（17）式中：为测量误差的标准偏差估计值；yi为观测变量
42、的联合概率；yi()为 Copula 预测概率。为了简洁和数值稳定，式（17）可以采用对数转换成为l(|Y)=-n2ln(2)-n2ln2-12-2i=1nyi-yi()2（18）通过 AIC、BIC 及 RMSE 对不同类型的 Copula模型进行拟合优度评价，拟合优度评价结果见表 5，参数估计值见表 6。风速波高的最优联合分布为=0.846 1的 Gaussian Copula；波高波浪周期的最优联合分布为=0.465 3的 Gaussian Copula；风速风 向 的 最 优 联 合 分 布 为 =-1.145 7 的 Frank Copula；波高波向的最优联合分布为=0.541 0
43、的Gaussian Copula。图 3 为 =0.846 1 的 Gaussian Copula函数图像。由图 2 和图 3 可以看出，Gaussian Copula 能较好地模拟风速波高的相关性。此外，样本数据的二维频率直方图可以表示联合分布的经验图像，与表 5二维 Copula拟合优度评价Table 5The performance evaluation of 2-dimensional Copula distribution随机变量风速-波高波高-周期风速-风向波高-波向Copula类型GaussianClaytonFrankGumbelJoePlackettGaussianClayt
44、onFrankGumbelJoePlackettGaussianClaytonFrankGumbelJoePlackettGaussianClaytonFrankGumbelJoePlackettAIC-191 776-187 416-190 322-190 648-187 587-189 264-197 802-193 411-197 103-196 943-195 444-196 352-271 710-225 937-274 369-225 919-225 954-274 571-180 147-176 902-178 757-179 820-179 358-178 097BIC-191
45、 768-187 408-190 314-190 640-187 579-189 256-197 794-193 402-197 095-196 934-195 435-196 343-271 701-225 929-274 361-225 911-225 946-274 562-180 139-176 894-178 749-179 812-179 350-178 089ML95 88993 70995 16295 32593 79594 63398 90296 70698 55298 47297 72298 176135 855112 969137 185112 960112 978137
46、 28690 07488 45289 37989 91089 68089 049RMSE6.547.056.716.677.026.835.906.365.975.996.156.051.683.661.603.663.661.607.978.438.168.028.088.26表 6最优二维 Copula分布及拟合参数Table 6The optimal 2-dimensional Copula distribution and fitting parameters联合分布风速-波高波高-周期风速-风向波高-波向Copula类型GaussianGaussianFrankGaussian0.8
47、46 10.465 3-1.145 7 0.541 088第 4 期王望，等：基于 Vine Copula函数的风浪要素联合概率分布模型图 4 不同的是，图 3只表示两随机变量之间的相关关系，略去了两随机变量之间数值大小的影响，通过图3能更清晰地了解二者的相关关系。图 4则表示出两随机变量之间联合分布的图像，保留了样本数值大小的信息。通过二维频率直方图和联合分布的概率密度图可以直观比较本文选取的二维 Copula模型的拟合效果，如图 4所示。由图 4可以看出，对于风速波高、波高周期、风速波向，其二维联合概率密度图与经验图像的峰值和形状都比较接近，说明相关性模拟较为合理，较好地考虑了风浪要素之间
48、的相关性。同时，从图 4也可以看到波，高波向的联合分布与经验直方图的峰值大小存在一定差异，这是由于该样本波高波向之间的相关性比较复杂，采用单一的 Copula函数模拟它们之间相关性的效果有限，在后续研究中，可以采用混合 Copula函数来进行模拟，并优化拟合效果。由于不同海域的风浪要素之间的相关关系可能会有较大的差异，本研究侧重于探究建立风浪联合分布的方法和思路，因此未对波高波向的二维联合概率模型作进一步优化。（a）风速-波高频率直方图（d）波高-波周期（Gaussian，=0.465 3）（g）波高-波向频率直方图（b）风速-波高（Gaussian，=0.846 1）（e）风速-风向频率直方
49、图（h）波高-波向（Gaussian，=0.541）（c）波高-波周期频率直方图（f）风速-风向（Frank，=-1.145 7）图 4风浪要素两两变量之间的频率直方图及最优二维 Copula函数Fig.4Binary frequency histogram of wind and wave data and the corresponding optimal 2-dimensional Copula distribution3多维联合分布可以采用多维 Copula 函数建立多维随机变量的联合分布，但可供选用的多维 Copula函数类型有限，且灵活性较弱。Joe20提出了采用 Vine Cop
50、ula来 构 建 多 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 的 方 法，Vine Copula具有结构多样灵活的优点。3.1Pair-Copula理论Bedford 等21提出了通过 Pair-Copula 构建多维随机变量联合分布概率模型的方法，基于条件概率可以将多维随机变量分解成一系列的 Pair-Copula结构，分解时采用的逻辑结构不同，可以构造出不图 3Gaussian Copula（=0.846 1）概率密度图Fig.3Probability density of Gaussian Copula(=0.846 1)89第 45 卷土 木 与 环 境 工 程 学 报（中 英 文）同