1、66/2023 年第 17 期宫厚华，和大龙，和辉，等.基于遗传算法的线性二次型调节器抑制桥式起重机货物摆动 J.起重运输机械，2023（17）：66-72.引 用 格 式*基金项目：济南市“高校20条”资助项目科研带头人工作室项目（2019GXRC604）、山东省科技型中小企业创新能力提升工程项目（2021TSGC1392）基于遗传算法的线性二次型调节器抑制桥式起重机货物摆动*宫厚华1 和大龙2 和 辉2 杜 建2 董明晓11 山东建筑大学机电工程学院 济南 250101 2 山东龙辉起重机械有限公司 泰安 271224摘 要：为了解决桥式起重机小车运行机构的加减速运动引起货物长时间摆动问题
2、，文中设计基于遗传算法(Genetic Algorithm，GA)的线性二次型调节器控制策略控制小车运行机构的运动。根据 Lagrange 方程建立桥式起重机小车运行机构运动和货物摆动的动力学模型，分析模型的稳定性、可控性和可观性；根据最优控制理论设计线性二次型调节器，基于遗传算法优化线性二次型调节器的加权矩阵 Q 和 R，设计最优线性二次型调节器；应用 Matlab 软件搭建在线性二次型调节器和最优线性二次型调节器控制下的桥式起重机小车运行机构动力学Simulink 仿真系统。仿真结果表明：与线性二次型调节器相比，最优线性二次型调节器能够将小车运行机构的定位时间降低 7.4 s，将货物最大残
3、留摆动幅值降低 49.3%。关键词：桥式起重机；货物；残留摆动；线性二次型调节器；遗传算法中图分类号：TH215 文献标识码：A 文章编号：1001-0785（2023）17-0066-07Abstract:In order to solve the problem that the goods swing for a long time caused by the acceleration and deceleration movement of the trolley running mechanism of the bridge crane,in this paper,the linea
4、r quadratic regulator control strategy based on Genetic Algorithm(GA)is adopted to control the movement of the trolley running mechanism.According to Lagrange equation,a dynamic model of the movement of trolley and the swing of goods of bridge crane was established,and the stability,controllability
5、and observability of the model were analyzed.According to the optimal control theory,the linear quadratic regulator was designed,and the weighting matrices Q and R of the linear quadratic regulator were optimized based on genetic algorithm,so as to design the optimal linear quadratic regulator.Throu
6、gh Matlab software,a Simulink simulation system of the dynamics of the trolley of the bridge crane controlled by the linear quadratic regulator and the optimal linear quadratic regulator was established.The simulation results show that compared with the linear quadratic regulator,the optimal linear
7、quadratic regulator can reduce the positioning time of trolley running mechanism by 7.4 s and the maximum residual swing amplitude of goods by 49.3%.Keywords:bridge crane;goods;residual swing;linear quadratic regulator;genetic algorithm0 引言起重机是可以实现重物起升、运送和装卸的特种机械设备，广泛应用于工厂、建筑工地、垃圾处理场等场所。然而桥式起重机系统存在挠
8、性机械环节，工作过程中大小车运行机构频繁地启、制动会引起货物的摆动，货物长时间的摆动不仅会严重影响工作效率，而且会危及工人的安全1。国内外研究人员为抑制桥式起重机货物摆动做了大量研究。Maghsoudi M J 等2提出了改进输入整形方案并设计了 ZV 和 DZV 整形器对非线性桥式起重机模型进行摆动控制。与基于线性二阶模型设计的输入整形方案相比，该方法可使桥式起重机有效载荷摆动大幅减小；Giacomelli M 等3针对双摆式高架起重机的开环控制提出了一种输入输出反演技术，该方法是通过数学推导，获得参数轨迹，以确保减少货物的残余摆动，INFORMATION TECHNOLOGY信息技术672
9、023 年第 17 期/通过仿真验证了该方法相较输入整形技术有很强的鲁棒性；李军等4根据 Lagrange 方程建立桥式起重机的三维动力学模型，设计模糊线性二次型调节器（Linear Quadratic Regulator，LQR）控制吊重摆动，仿真结果表明使用模糊 LQR 控制器分别控制解耦后的大小车运动或者大小车联合运动都能达到防摆定位的目的；张国振5采用 Lagrange 方程建立桥式起重机吊重系统的动力学方程组，基于最优控制理论设计 LQR 控制器。仿真结果表明，LQR控制器能很好地跟踪小车位移的变化，对摆角也有一定的控制效果，但该控制器中的加权矩阵 Q 和 R 的选择具有任意性，需要
10、进步一步优化。为了实现桥式起重机小车运行机构的定位和抑制货物摆动的角度，基于最优控制理论设计了 LQR 控制器。然而，在 LQR 控制器的设计中，加权矩阵 QR 的选取具有任意性。针对此问题，提出使用遗传算法优化LQR控制器的加权矩阵QR，并设计了最优LQR控制器。在 Matlab 中搭建桥式起重机的 Simulink 仿真模型，对LQR 控制器和最优 LQR 控制器的控制效果进行仿真分析。仿真结果表明：与 LQR 控制器相比，最优 LQR 控制器能够缩短小车运行机构的定位时间，大幅降低货物摆动的角度。1 桥式起重机动力学模型1.1 非线性模型在实际工作中，桥式起重机的大车小车运行机构往往同时
11、运动，使货物在空中做空间摆运动。由于大车运行机构和小车运行机构的运动方向相互垂直，故其动力学模型可以在这 2 个方向上实现解耦6。解耦后，货物的空间摆运动将转化为平面摆运动。故对桥式起重机系统的研究可以简化为对小车运行机构-货物系统的研究。小车运行机构-货物系统示意图如图 1 所示。小车运行机构沿导轨做变幅运动，同时起升机构对货物进行起升。小车运行机构的初始位置为坐标原点，小车运行机构的运动轨迹延长线为 x 轴，y 轴位于货物摆动的平面上，且与 x 轴垂直。货物在坐标系 xOy 中的位置用广义坐标(x，l，)表示，x 为小车的位移，l 为起升钢丝绳的长度，为货物摆动角度，M 为小车运行机构的质
12、量，m为货物的质量，FX为小车运行机构受到的驱动力，F1为起升机构受到的驱动力。图 1 小车运行机构-货物系统示意图桥式起重机是一个复杂的系统，具有强耦合、不确定、非线性的特点，给桥式起重机的建模增加了难度。为了简化桥式起重机系统，给出如下假设：1）忽略钢丝绳的质量，钢丝绳与小车为点连接；2）假设货物为只有质量没有体积的质点；3）忽略空气阻力和风的干扰，不考虑系统的弹性形变。根据拉格朗日方程，建立小车运行机构-货物系统的非线性动力学模型 x2x(cos2cossinsin)Mxb xm xllllF (1)ll(cos+sin)bxm lgxF (2)2(2sincos)0m lllglxl
13、(3)式中：bx为小车运行机构的阻尼系数，b1为起升机构运行时的阻尼系数，g 为重力加速度。该系统是一个非线性时变的系统，其非线性动力学模型由小车运行机构、起升机构动力学方程和货物摆动运动学方程组成。为了对系统的动力学特性进行分析，实现对小车运行机构的定位和货物的消摆控制，需要对非线性动力学模型进行线性化处理。1.2 线性化模型在平衡位置=0附近，有 sin=、cos=1。考虑到桥式起重机在实际工作时，通常先将货物起升到一定的高度，再通过大小车运行机构的运动将货物运送到指定的位置，所以研究小车运行机构的定位和货物摆动问INFORMATION TECHNOLOGY信息技术68/2023 年第 1
14、7 期题时，可假设起升机构不进行起升运动。故小车运行机构-货物系统的线性化模型为xx()Mm xb xmlF (4)0lgx (5)为研究系统的动力学特性，选取 x、x、作为状态变量，将线性化模型转化为状态空间方程，形式为 zAzBuyCz (6)式中：z 为状态向量，y 为输出向量，u 为输入向量，A 为系统矩阵，B 为输入矩阵，C 为输出矩阵。根据小车运行机构-货物系统的线性化模型，可知 xx0100000001()00bmgMMbMm gMlMlA 1.3 动力学分析桥式起重机参数为：M=500 kg，m=1000 kg，l=5 m，bx=0.5，g=9.8 m/s2。经计算求得系统矩阵
15、 A 和输入矩阵 B 分别为 010000.00119.60000100.000 25.880A (7)00.00200.000 4B (8)使用 Matlab 软件可求得系统矩阵 A 的特征根、控制矩阵和可观测矩阵的秩分别为 00.000 30.000 32.424 90.000 32.424 9ii (9)1.4nrank BABAB，(10)1.4nrank CCACA，(11)系统矩阵 A 的特征根均有不大于零的实部，故系统是渐近稳定的。同时，系统的控制矩阵和可观测矩阵的秩与其本身的维数相同，故系统是完全可控、完全可观测的。2 控制器设计2.1 LQR 控制器LQR 控制器是一种现代控
16、制方法，其控制对象是以状态空间方程给出的线性系统，其目标函数是以控制对象的状态和控制输入的二次型函数。LQR 控制器的设计就是求得反馈矩阵 K 使目标函数 J 取最小值，而 K又是由加权矩阵 QR 唯一决定的，故加权矩阵 QR 的选择尤为重要。要实现小车运行机构快速到达目标位置的同时货物摆动角度最小，选取小车运行机构的位移和货物摆动角度为优化对象，得到一个理想的控制量，使得性能指标 J 达到最小值。已知状态量和控制量的二次型性能指标函数为 TT0()()()()dtttttJxQxuRu (12)式中：加权矩阵 Q 为 44 维的半正定对称阵，加权矩阵 R 为 1 维的正定对称阵。根据极小值原
17、理，最优控制律为*1T()()()tttuR B PxKx (13)式中：K=R-1BTP 为反馈矩阵，P 为 Riccati 代数方程的正定对称解。Riccati 代数方程为INFORMATION TECHNOLOGY信息技术692023 年第 17 期/T-1T0PAA PQPBR B P (14)最终，控制器的设计问题可归结为求解反馈矩阵 K的数学问题。根据实际工程的需要，通常将 R 矩阵选为单位阵，只调节 Q 矩阵值各元素的参数来获得不同的控制效果。因此，本文将 R 阵设为单位阵，将 Q 阵设为主对角线元素为 2 500，0，2 500，0 的对角阵，即 Q=diag(2 500，0，
18、2 500，0)。通过求解 Raccati 方程，可求得控制矩阵K 为50384.84 148.15 1 213.11K (15)从 LQR 的控制原理中看，所设计控制器的控制效果完全取决于加权矩阵 Q 和 R 的选取，然而这 2 个矩阵的选取完全取决于设计者的经验。若加权矩阵 Q 和 R选取不当，将不会求得最优的反馈矩阵 K，更不能保证系统性能指标达到最优。2.2 基于 GA 的 LQR 控制器设计国外研究人员使用遗传算法优化 LQR 控制器的参数，并证明了该方法的可行性。Nagarkar M P 等7使用遗传算法搜索 LQR 控制器的最优权重矩阵参数，将优化后的 LQR 控制器应用在麦弗逊
19、式悬挂系统，通过仿真验证了优化后的 LQR 控制器能显著提高悬挂系统的性能表现；Bhushan R 等8将遗传算法优化后的 LQR控制器应用在倒立摆系统，通过仿真验证了优化后的LQR 控制器相对于传统 LQR 控制器有更好的性能表现。本文将 R 矩阵设为单位阵，Q 矩阵设为对角阵，使用遗传算法仅对 Q 矩阵进行优化，即 R=I (16)11223344000000000000qqqqQ (17)遗传算法的优化流程图如图 2 所示，具体操作步骤为：1）产生初始种群；2）将种群中的个体赋值给加权矩阵 Q 中的对角线元素 q11、q22、q33、q44；3）计算反馈矩阵 K；4）运行桥式起重机模型，
20、并计算个体的适应度函数值；5）判断是否满足遗传算法的终止条件。若满足，则退出遗传算法，并保存最优个体。若不满足，则执行步骤 6）；6）对种群进行选择、交叉和变异操作，产生新的种群，并重新从步骤 2）开始运行遗传算法。遗传算法的参数设置如表 1 所示。图 2 遗传算法优化流程图表 1 遗传算法参数设置遗传算法优化过程中，个体适应度和当前最优个体如图 3 所示。可以看出，随着种群的不断进化，最优个参数说明编码方式实数编码初始种群 范围内随机产生种群大小100精英个数10交叉后代比例0.4排序函数等级排序选择函数随机一致选择交叉函数分散交叉变异函数自适应变异最大进化代数20INFORMATION T
21、ECHNOLOGY信息技术70/2023 年第 17 期体的适应度逐渐减小，最终收敛到 0.438 506。求得的最优个体为 2 498.9，5 000.8，1 044.2，2 793.3，代入加权矩阵 Q 中，可求得最优反馈矩阵 K 为49.98391.72 110.86 1 053.8K (18)图 3 个体适应度和当前最优个体3 仿真结果和分析选取小车运行机构-货物系统的动力学参数为：M=500 kg，m=1000 kg，l=5 m，bx=0.5，g=9.8 m/s2。根据状态空间方程，在 MatlabSimulink 中建立未加控制器时的小车运行机构-货物系统模型如图 4 所示。图 4
22、 小车运行机构-货物系统模型设置仿真时间为 10 s，给系统施加阶跃信号，得到小车运行机构-货物系统响应曲线如图 5 所示。由小车运行机构-货物系统响应曲线可知，在阶跃输入下，小车运行机构做变加速直线运动，其位移处于不稳定状态。小车运行机构运动的同时引起了货物的摆动，货物摆动的最大幅度达到 10。由于货物和小车运行机构之间相互耦合，货物的摆动导致了小车运行机构的速度曲线呈现小幅波动上升的趋势。（a）（b）（c）图 5 小车运行机构-货物系统阶跃响应曲线将小车运行机构-货物系统模型封装为子系统，添加 LQR 控制器并建立小车运行机构-货物防摆控制系统模型，如图 6 所示。根据工程经验，选择 Q=
23、diag(2 500，0，2 500，0)，R=1，计算获得反馈矩阵 K=50 384.84 148.15 1 213.11。设置仿真时间为 50 s，给系统施加阶跃信号，运行系统模型，得到小车运行机构-货物防摆控制系统INFORMATION TECHNOLOGY信息技术712023 年第 17 期/响应曲线如图 7 所示。图 6 小车运行机构-货物防摆控制系统模型（a）（b）（c）图 7 小车运行机构-货物防摆控制系统阶跃响应曲线由小车运行机构-货物防摆控制系统阶跃响应曲线可知，加入 LQR 控制器后，小车运行机构经过 24.1 s 到达了目标位置附近，这时小车运行机构的速度并不为 0，而是
24、在一定范围内来回波动。小车运行机构的运动引起了货物的摆动，货物在 1.36 s 时达到最大摆角-8.9。小车运行机构在运动过程中最大位移达到 11.81 m，其位移曲线具有 18.1%的超调量，这给系统带来了一定的冲击。小车运行机构到达目标位置时，货物摆角为-4，之后货物摆角曲线呈现衰减振荡趋势，但衰减幅度很小。由此可见，加入 LQR 控制器后，系统性能有所改善，但是小车运行机构位移和货物摆角仍不能完全稳定下来。这是由于设计 LQR控制器时，其加权矩阵 Q 的选取具有任意性，不能使LQR 控制器的性能达到最优。下面选用经遗传算法优化后的加权矩阵 Q 设计LQR 控制器，使用该矩阵计算出的最优反
25、馈矩阵为K=49.98 391.72 110.86 1 053.8。设置仿真时间 50 s，运行系统模型，得到优化后的小车运行机构-货物防摆控制系统阶跃响应曲线如图 8 所示。（a）（b）INFORMATION TECHNOLOGY信息技术72/2023 年第 17 期（c）图 8 优化后的小车运行机构-货物防摆控制系统阶跃响应曲线在阶跃输入下，小车运行机构的最大位移达到10.42 m，其位移曲线的超调量为 4.2%。当误差带取 5%时，小车运行机构在 16.57 s 时到达目标位置附近。货物摆动角度在 1.141 s 时达到最大值-6.87。小车运行机构到达目标位置时，货物摆角为-0.67，
26、此后货物在 0附近小幅衰减振荡且最大角度不超过 2.09。经遗传算法优化后，LQR 控制器的控制效果有了非常显著的改善，基本可以实现小车运行机构的定位和货物的防摆控制。综上所述，LQR 控制器可以较好地提高系统的稳定性，使小车运行机构处于稳定状态。但是人为选取的加权矩阵 Q，并不能保证 LQR 控制器的控制效果最优。比较而言，基于遗传算法的最优 LQR 控制器可以使小车运行机构位移曲线的超调量和调节时间分别降低76.8%和 30.7%，货物最大摆动角度降低 49.3%。由此可见，基于遗传算法的最优 LQR 控制器能够使桥式起重机系统的稳定性和快速性得到提高。4 总结针对 LQR 控制器的加权矩
27、阵 QR 选取具有任意性的问题，设计基于遗传算法的最优 LQR 控制器。应用Matlab 软件搭建小车运行机构货物系统的 Simulink 模型，并对 LQR 控制器和最优 LQR 控制器的控制效果进行仿真分析。结果表明：与 LQR 控制器相比，基于遗传算法的最优 LQR 控制器能够更好地实现货物的防摆定位，有更好的快速性和稳定性，解决了依靠经验优化方法产生的随机性和耗时性等问题。参考文献1 董明晓，脱建智，任意翔，等最优输入整形抑制变参数 桥式起重机载荷摆动 J振动与冲击，2009，28(10)：207-209，235，236.2 Maghsoudi M J，Mohamed Z，Sudin
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