1、 1 第四章第四章 投影变换投影变换 4.1 概 述 在前三章中，我们分别讨论了点、线、面及其相对位置的投影。我们知道，当直线或平面相对于某投影面处于平行或垂直的特殊位置时，它们的投影能反映实长、实形或倾角，见表 41；当直线或平面相对投影面处于一般位置时，它们的投影就不具有这些特性。从这里我们可以看出，如果能把一般位置的几何元素变换成特殊位置，那么其定位和度量问题就容易解决了，投影变换就是为了这个目的。表表 41 空间几何元素对投影面处于特殊位置时度量问题空间几何元素对投影面处于特殊位置时度量问题 实 长(形)问 题 距 离 问 题 线段的实长 平面是实形 点到直线的距离 两直线间的距离 点
2、到平面的距离 距 离 问 题 角 度 问 题 直线到平面的距离 两平面之间的距离 两直线的夹角 直线与平面的夹角 两平面之间的夹角 投影变换的方法很多，常用的有两种：换面法和旋转法。2 (a)(b)(c)图 41 点的一次换面（更换 V 面）4.2 换面法 一 换面法的基本概念一 换面法的基本概念 换面法就是保持空间几何元素的位置不动，通过改变投影面的位置来改变空间几何元素与投影面的位置关系，从而有利于解题。如图 41(a)所示：点 A 在 V/H 体系中，正面投影为 a,水平投影为 a。现 H 面不变，取一铅垂面 Vl代替正立面 V，构成新的两投影面体系 V1/H。过点 A 向 V1面作垂线
3、，得到点 A 在 Vl面上的投影 a1，V/H 体系为旧投影体系，X 轴为旧投影轴，而 V1/H 体系为新投影体系，Xl轴为新投影轴，V 面为旧投影面，H 面为不变投影面，V1面为新投影面。相应地，V 面上的投影 a为旧投影，H 面上的投影 a 为不变投影、V1面上的投影 a1为新投影。在新投影体系 V1/H 中，新投影面 Vl必须与旧体系 V/H 中不变投影面 H 垂直，才能继续保持两投影面体系中的投影规律。当然，也可以用一个垂直于 V 面的新投影面Hl替换 V/H 中的 H 面，从而组成如图 42(a)所示的 V/H1体系。因此，用换面法解题时，新投影面必须垂直于不变投影面。二 点的换面投
4、影规律二 点的换面投影规律(一)点的一次换面 1.1.更换 V 面如图 41(a)所示，A 点在 V/H 体系中的两投影是 a和 a，在 V1/H体系中的两投影是 al和 a，现在为了使它们能够画在同一平面上，规定保持 V 面不动，顺次将 H 面绕 X 轴旋转，Vl面绕 Xl轴旋转，展开如图 41(b)所示。由于点 A 在 V1面上的新投影 al是按正投影原理作出的，所以 a1ax1aax,将新投影面展开后，点的换面投影规律可归纳如下：(1)(1)点 A 的新投影 al和不变投影 a 的连线垂直于新投影轴 Xl，即 aa1Xl。3 (a)(b)(c)图 42 点的一次换面(更换 H 面)(2)
5、(2)点 A 的新投影 al到新投影轴 Xl的距离等于被更换的旧投影 a到旧投影轴 X 的距离，即 a1ax1a ax。根据上述投影关系，点的新投影作图步骤如下：如图 41(c)所示。(1)(1)在适当位置作新投影轴 X1。(2)(2)过不变投影 a 作新投影轴 Xl的垂线，交 Xl于 ax1。(3)(3)在垂线上量取 a1ax1a ax，则 a1为点 A 的新投影。2.2.更换 H 面如图 42(a)所示：V 面保持不变，取一正垂面 Hl来代替 H 面，Hl面和 V 面构成新投影体系。点 A 在 H1面上的新投影为 a1，a 为旧投影，a为不变投影。投影面展开后如图 42(b)所示，42(c
6、)为其投影图，同样有(1)(1)aa1Xl。(2)(2)a1ax1aax。综上，无论更换 V 面还是 H 面，可得点的换面投影规律：(1)(1)点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。(2)(2)点的新投影到新投影轴的距离等于被更换的旧投影到旧投影轴的距离。(二)点的两次和多次换面 在运用换面法解决实际问题时，有时需在一次换面的基础上，再次或多次进行换面。图 43 表示两次换面时，求点的新投影的方法。其原理和更换一次投影面相同，但必须指出，在更换多次投影面时，新投影面除了必须垂直于不变投影面以外，还必须是在一个投影面更换完以后，在新的投影面体系中交替地再更换另一个。而且每次更换时，要分清
7、哪个是不变投影，哪个是旧投影。如图 43 所示，先由 Vl面代替 V 面，构成新体系 V1/H，此时 a为旧投影，a 为不变投影。再以 V1/H 体系为基础，取 H2面代替 H 面，又构成新体系 V1/H2，此时 a 为旧投影，a1为不变投影，a2为新投影 详细作图见 4 3(b)所示。4 三 直线和平面的换面三 直线和平面的换面 掌握了换面法的基本原理和点的换面投影规律，直线和平面的换面就容易解决了。只要把确定直线的两个点或确定平面的不在同一条直线上的 3 个点用换面法求出新投影，即可得到直线或平面的新投影。但应注意，在作点的换面时，新投影面的位置可以任意取，而作直线和平面的换面时，必须使直
8、线和平面相对于新投影面处于平行或垂直的特殊位置，有利于解题。所以，恰当地选择新投影面的位置是换面法中一个关键问题。(一)直线的换面 直线的换面，有下列 3 个基本作图问题：(a)(b)图 4.3 点的两次换面 (a)(b)图 44 一般位置直线变为投影面(V1面)平行线 5 1.1.一般位置直线变为投影面平行线。如图 44(a)所示，直线 AB 在 V/H 体系中为一般位置直线，取一铅垂面 Vl平行于直线 AB，则 AB 在新投影面体系 V1/H 中成为新投影面 Vl的平行线。直线 AB 在 V1面上的投影a1b1反映线段 AB 的实长，以及 AB 与 H 面的夹角。作图步骤作图步骤：图 44
9、(b)(1)(1)作新投影轴 Xl，使 Xlab(2)(2)过 a、b 分别作 Xl轴的垂线(3)(3)量取 a1ax1aax,b1bx1bbx,，得 a1、b1(4)(4)连 a1b1 则 a1b1反映线段 AB 的实长，a1b1与 Xl轴的夹角即为直线 AB 与 H 面的夹角。如果要求直线 AB 对 V 面的夹角，则应该用平行于AB 的新投影面 Hl代替 H 面，这样在新投影面体系 V/H1中，直线 AB 成为 Hl面的平行线。它在 Hl面上的投影 a1b1，反映线段 AB 的实长，a1b1和 Xl轴的夹角为直线 AB 和 V 面的夹角作图方法如图 45 所示 2.2.投影面平行线变为投影
10、面垂直线如图 46(a)所示，直线 AB 为水平线，要将该直线变为投影面垂直线，可用垂直于 AB 的铅垂面 V1代替 V 面，则 AB 为新投影面体系 V1/H 中的垂直线其作图方法如图 46(b)所示：先在适当位置作 Xl轴垂直 ab，再求出 al(b1)如果已知直线为正平线，则需要更换 H 面才能把它变为垂直线，具体作图方法见图47。3.3.一般位置直线变为投影面垂直线若取新投影面与一般位置直线垂直，则此新投影面既不与 V 面垂直，也不与直线 H 面垂直，违反了新投影面的设置原则，要解决这个问题，必须更换两次投影面即先将一般位置直线变为投影面(H1面)平行线，然图 4.5 一般位置直线变为
11、投影面(H1面)平行线 (a)(b)图 46 投影面平行线变为投影面(Vl面)垂直线 6 后再将投影面平行线变为投影面垂直线，这个问题实际上是上述两个基本作图问题的综合，具体作图见图 48。(二)平面的换面 平面的换面，有下列 3 个基本作图问题：1.1.一般位置平面变为投影面垂直面。如图 49(a)所示，ABC 为一般位置平面，为了使它变为投影面垂直面，只需使属于该平面的任意一条直线变为新投影面的垂直线。由于一般位置直线变为投影面垂直线，必须更换两次投影面，而投影面平行线变为投影面垂直线只需要更换一次投影面。因此，为了简化作图，可以在ABC 平面上任取一条投影面平行线(如水平线 AD)为辅助
12、线，取与它垂直的 Vl面为新投影面，则ABC 就和新投影面Vl面垂直，成为投影面垂直面。作图步骤作图步骤：图 49(b)(1)(1)在ABC 上任意作一条水平线 AD，作 adX，求出 ad。(2)(2)作 Xlad。(3)(3)求出ABC 的新投影 a1blcl。则 a1blcl位于一条直线上，为ABC 在 Vl面上有积聚性的投影，它与 X1轴的夹角为ABC 对 H 面的倾角。如果在ABC 内作正平线，取新投影面 Hl与该正平线垂直，则可将一般位置平面ABC 变为新投影面 Hl的垂直面，并得到ABC 对 V 面的倾角，作图过程与上图类似，略 图 4.7 投影面平行线变为投影面(H1)垂直线
13、图 4.8 一般位置直线两次换面成为投影面垂直线 7 (a)(b)图 49 一般位置平面变为投影面垂直面 2.2.投影面垂直面变为投影面平行面如图 410(a)所示，ABC 为铅垂面，欲将其变为平行面，可取一铅垂面 Vl平行ABC，在 V1/H 体系中，ABC 成为 Vl面的平行面 作图步骤作图步骤：图 410(b)(1)(1)作 Xlab(c)(2)(2)求出 a1、b1、c1，则a1b1c1为ABC 实形 如果平面为正垂面，则需更换 H 面才能把它变为平行面，作图方法与图 410 类似，略 3.3.一般位置平面变为投影面平行面要将一般位置平面变为投影面平行面，若直接取新投影面与一般位置平面
14、平行，则新投影面也必是一般位置平面，不符合换面法中新投影面的设置原则要解决这个问题，必须更换两次投影面：首先将一般位置平面变 (a)(b)图 410 投影面垂直面变为投影面平行面 8 为投影面垂直面，再将投影面垂直面变为投影面平行面其作图过程如图 411 所示 综上，换面法中新投影面是不能任意选取的，必须符合以下两个基本条件：(1)(1)新投影面必须和空间几何元素处于有利于解题的位置(2)(2)新投影面必须垂直于不变投影面 四 四 换面法解题举例换面法解题举例 例例 41 求点 K 到直线 AB 的距离及其在 V/H 中的投影 解法一解法一：分析分析：欲求点 K 到直线 AB 的距离，只要过
15、K 点作出 AB 的垂线 KL，然后再求出KL 实长现在 AB 为一般位置直线，可先用换面法将其变为投影面平行线，再根据直角投影定理作出 AB 的垂线即可 作图步骤作图步骤：图 412 所示(1)(1)作 Xlab,求出 albl、kl，则 AB 成为 V1/H 体系中的投影面平行线(2)(2)过 kl作 k1l1albl，垂足为 l1，并返回，求得 l、l，连 kl、kl，即为垂线KL 在 V/H 体系中的投影(3)(3)作 X2albl，求得 a2、b2、l2、k2，则 AB 成为 V1/H2体系中的投影面垂直线，投影积聚为一点。KL 变为 H2面平行线，k2l2反映 KL 实长，即为点
16、K 到直线 AB 的距离 解法二解法二：分析分析：可将直线 AB 和 K 点看成一个一般位置平面，经过两次换面使其成为投影面平行面，它的新投影反映实形，则在该实形中，过 K 作 AB 的垂线，即为所求此法加图 411 一般位置平面两次换面成为 投影面平行面 图 412 点 K 到直线 AB 的距离及投影.9 以推广，过点 K 可作与直线 AB 成任意角度的直线，作图略 例例 42 求ABC 和ABD 之间的夹角 分析分析：当两三角形平面同时垂直某一投影面时，它们在此投影面上的投影分别积聚成两条直线，此两条直线的夹角即为所求为将两平面同时变为投影面垂直面，只要将它们的交线变为投影面垂直线，此题得
17、解 作图步骤作图步骤：如图 413 所示 (1)(1)作 Xlab，使 AB 成为 V1/H 体系中的投影面平行线，求得a1b1c1，a1b1d1。(2)(2)作 X2a1b1，使 AB 成为 V1/H2体系中的投影面垂直线，求得 a2、b2、c2、d2。(3)(3)连 a2（b2）c2、a2（b2）d2，则c2a2d2为所求ABC 和ABD 之间的夹角。例例 43 求点 S 到平面ABC 的距离及垂足在 V/H 体系中的投影。分析分析：如图 414(a)所示，当平面变为投影面垂直面时，平面在该投影面上的投影积聚为一条直线，反映点至平面距离的垂线 SK 为投影面平行线，它的投影反映实长 作图步
18、骤作图步骤：如图 414(b)所示(1)(1)在ABC 内作水平线 AD，即作 adX，求 ad。(2)(2)作 Xlad，ABC 在 V1/H 体系中成为投影面垂直面，求 a1b1c1和 s1。(3)(3)过 s1作 a1b1c1的垂线，垂足为 k1，则 s1k1反映点 S 到平面的距离。(4)(4)因为 SK 平行于 Vl面，所以 skXl，由 k1按点的换面投影规律，可求垂足 K的投影 k 和 k 例例 44 求两交叉直线 AB 与 EF 的公垂线 分析分析：如图 415(a)所示，将两交叉直线之一变为投影面垂直线，如 AB 垂直于 H2 图 413 求两三角形之间的夹角 10 图 4.
19、15 求两交叉直线间的公垂线 面，则它们的公垂线 ST 平行于 H2面按直角投影定理，ST 在 H2面上的投影 s2t2与 EF在 H2面上的投影 e2f2垂直，即 s2t2e2f2，由此可确定公垂线 ST 的位置因直线 AB、EF 均为一般位置直线，因此需两次换面求解 作图步骤作图步骤：如图 415(b)所示。(1)(1)作 X1ab，AB 在 V1/H 体系中成为投影面平行线，求 a1b1和 e1f1(2)(2)作 X2a1b1，AB 在 V1/H2体系中成为投影面垂直线，求 a2(b2)和 e2f2(3)(3)自 a2(b2)作 e2f2的垂线 s2t2，s2t2即为公垂线在 H2面上的
20、投影，也是两直线间最短距离(4)(4)过 t2作 X2轴垂线交 e1f1于 t1，过 t1作 X2轴平行线交 a1b1于 s1，连 s1t1 (5)(5)根据点的换面投影规律，由 s1、t1逆返即可求出公垂线的两面投影 st和 st，ST 即为所求 图 4.14 求点到平面的距离 11 (a)(b)图 416 点绕正垂轴旋转 4.3 旋转法绕投影面垂直轴旋转 一 旋转法的基本概念一 旋转法的基本概念 旋转法是投影面保持不动，使空间几何元素绕某一轴旋转，使它旋转到与投影面处于有利于解题的位置 旋转法分为两种：一种是绕垂直于投影面的轴旋转，称为绕垂直轴旋转；另一种是绕平行于投影面的轴旋转，称为绕平
21、行轴旋转本书仅介绍绕垂直轴旋转 二 点的旋转二 点的旋转 如图 416(a)所示，空间点 M 绕垂直于 V 面的轴 00 旋转，点 M 的运动轨迹是垂直于轴 OO 的圆(平行于 V 面)，轨迹的正面投影反映实形，是以 o为圆心，om为半径的圆，其水平投影是过 m 点，且平行于 X 轴的直线，长度等于圆的直径若点 M 旋转任意角到新位置点 M1时，则它的正面投影同时由 m旋转角到 m1，其水平投影则沿平行 X 轴的直线由 m 平移到 ml投影作图如图 4.16(b)所示图 417 为空间点 A 绕 (a)(b)图 417 点绕铅垂轴旋转 12 垂直于 H 面的轴 OO 旋转，此时点 A 的轨迹是
22、垂直于轴 OO 的圆(平行于 H 面)，轨迹的水平投影反映实形，是以 o 为圆心，oa 为半径的圆，其正面投影是过点 a且平行于 X轴的直线，长度等于圆的直径 综上所述，可得到点绕垂直轴旋转时的投影规律：当点绕垂直于某一投影面的轴旋转时，点在该投影面上的投影，作以轴的投影为圆心和以旋转半径为半径的圆周运动；而在另一投影面上的投影，则作直线运动，且该直线平行于投影轴 三 直线和平面的旋转规律三 直线和平面的旋转规律 1.1.旋转必须遵循“三同”原则直线可以由其上任意两点来确定，平面可以由其 上任意不在同一条直线上的三个点来确定 为了保证旋转时它们之间的相对位置不发生变化，就必须遵循“三同”原则：
23、绕同一根轴，向同一方向和旋转同一角度，如图 418和图 419 所示 2.2.几何元素在轴所垂直的投影面上的投影，旋转前后形状和大小不变如图420 所示，直线 AB 绕过 A 点的垂直轴 旋转，其轨迹为一圆锥面，AB 旋转到任意位置时，它与 H 面的夹角是不变的因此，它的水平投影是相等的，即 ab=ab1。平面与投影面的夹角是由平面上相对该投影面的最大斜度线与投影面的夹角来度量的，因为最大斜度线绕垂直于投影面的轴旋转时，它与该投影面的夹角是不变的，因此平面与该投影面的夹角也是不变的，所以平面图形在该投影面上的投影，图 418 直线的旋转 图 4.19 平面的旋转 图 4.20 旋转轴通过端点
24、A 13 图 4.22 直线绕正垂轴旋转 形状和大小也是不变的 综上所述：当直线或平面图形绕垂直于某一投影面的轴旋转时，它们与该投影面的夹角不变，因此它们在该投影面上的投影，形状和大小不变 四 直线旋转的三个基本问题四 直线旋转的三个基本问题 1.1.一般位置直线旋转为投影面平行线如图 421(a)所示，AB 为一般位置直线，欲将其旋转成正平线，必须绕铅垂轴旋转才可达到具体作图时，如图 421(b)，可取铅垂轴 OO 通过 A 点，这样旋转时，A 点不动，只有 B 点旋转，可简化作图要将 AB旋转成正平线，只要使其水平投影 ab 绕铅垂轴 OO 旋转到与 X 轴平行，成为 ab1，再求出 ab
25、1即可此时，ab1反映 AB 实长，ab1与 X 轴的夹角，即为 AB 与 H 面的倾角 若 AB 要成为水平线，则必须绕正垂轴旋转，具体作图见 422 2.2.投影面平行线旋转为投影面垂直线如图 423(a)所示，AB 为正平线，欲将其变为投影面垂直线，必须绕正垂轴旋转，使其成为铅垂线，作图方法如图 423(b)所示而如果是水平线，则应绕铅垂轴旋转，使其成为正垂线，如图 424 所示 3.3.一般位置直线旋转为投影面垂直线一般位置直线旋转一次不能成为投影面垂直线，而必须绕不同的轴旋转两次，如图 425所示 一般位置直线 AB 绕正垂轴旋转成水平线AlB，再将水平线 AlB 绕铅垂轴旋转成正垂
26、线AlB2 五 平面旋转的三个基本问题五 平面旋转的三个基本问题 (a)(b)图 4.21 直线绕铅垂轴旋转 14 图 4.24 水平线绕铅垂轴旋转 图 4.25 一般位置直线旋转为正垂线 图 4.26 平面的旋转 1.1.一般位置平面旋转为投影面垂直面要将一般位置平面旋转成投影面垂直面，只要将平面内任意一条直线旋转成投影面垂直线即可为了简化作图，可如图 426 所示，在ABC 内作一条水平线 AN 为辅助线，将水平线 AN 同ABC 一起旋转，使 AN 成为正垂线(an1X)，则ABC 就成为正垂面，b1a1c1与 X 轴的夹角，即为ABC 与 H 面的夹角 绕垂直轴旋转的作图，因所选的轴常
27、常通过某几何元素，使旋转前后两个图形很靠近，甚至部分重叠，看起来比较杂乱为了使图形排列整齐、清晰和作图简便，可以采用不指明轴旋转法根据前面所述的直线和平面旋转规律 2：直线或平面图形绕垂直轴旋 (a)(b)图 4.23 正平线绕正垂轴旋转 15 转时，在轴所垂直的投影面上的投影，形状和大小不变 所以可以将图 4 26 画成图 4 27的形式，只要保证 a1n1X 和a1b1c1abc，则ABC 就旋转成正垂面实际上这种作图还是绕某一铅垂轴旋转所得到的结果，只是轴没有画出来可以按图 428 所示画出此旋转轴来图 427 所示这种画法称为绕不指明轴旋转法 2.2.投影面垂直面旋转为投影面平行面如图
28、 429(a)所示，正垂面ABC 绕一根正垂轴旋转一次，可旋转到水平面的位置，其作图过程如图 429(b)所示 同样，铅垂面绕一根铅垂轴旋转，可旋转到正平面的位置 3.3.一般位置平面旋转为投影面平行面要将一般位置平面旋转成平行面，必须旋转两次，先旋转成垂直面，再旋转成平行面如图 430 所示，欲将ABC 旋转成水平面，则先使其绕铅垂轴旋转成正垂面，然后才能绕正垂轴旋转为水平面这里一定要注意旋转轴的选择 图 427 不指明轴旋转法 图 4.28 确定旋转轴 (a)(b)图 4.29 正垂面旋转为水平面 16 六 六 综合举例综合举例 例例 45 求ABC 和ABD 之间的夹角 分析分析：当两平
29、面同时成为某投影面垂直面时，它们在这个投影面上的投影直接反映两个平面的夹角要将两个平面同时变为投影面垂直面，只要使他们的交线变为投影面垂直线即可现ABC、ABD 交线 AB 为一般位置直线，需经过两次旋转，才能使它成为垂直线 作图步骤作图步骤：图 431 所示(1)(1)绕铅垂轴旋转，使 AlBl成为正平线，保证 a1b1X，a1b1c1abc，a1b1d1abd,求出 a1,b1,c1,d1 (2)(2)绕正垂轴旋转，使 A 2B2成为铅垂线保证：a2b2X，a2b2c2a1b1c1，a2b2d2a1b1d1，求出 c2,a2(b2),d2 则c2a2d2为两三角形平面的夹角 图 4.30 一般位置平面旋转为水平面 图 431 求两平面之间的夹角 17 图 432 点 D 旋转至平面 ABC 上 例例 46 试将点 D 绕所设正垂轴旋转至已知平面ABC 上 分析分析：点 D 绕正垂轴 OO 旋转，它的旋转轨迹为一圆周，圆周所在的面为一正平面此正平面与ABC 相交，交线为一条正平线 EF，则旋转后的 D 点必在此直线上 作图步骤作图步骤：图 432 所示(1)(1)过 D 点作辅助正平面，求出它与ABC 的交线 EF。(2)(2)将 D 绕正垂轴 OO 旋转到正平线 EF 上，点 Dl即为所求。