1、第6讲 相交、垂直与平行（讲义） 小学数学四年级上册易错专项练（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）1.相交的意义。在同一平面内，如果两条直线只有一个交点，那么就说这两条直线相交。2.垂直的意义。当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。两条直线互相为对方的垂线。3.垂线的画法和检验。可以用三角尺画垂线以及检验两条直线是否垂直。4.从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短。这条垂直线段的长度叫作点到直线的距离。5.平行线的意义。在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，这两条直线叫平行线。6.平行线的画法和检验。可以用三角尺和尺子画平行线以及判断两条直线是否平行。7.用一副三角尺（
2、或用直尺和三角尺）画平行线的方法。（1）把左边直尺(或三角尺)固定，右边三角尺的一条直角边靠紧直尺(或三角尺的一条直角边)。（2）沿右边三角尺另一条直角边画一条直线，然后平移右边三角尺。（3）再沿三角尺最初画直线的那条直角边，最后画一条直线，平移前后画的两条直线就是一组平行线。1.两条直线相交时，形成的角不一定是直角，相互垂直时,形成的角才是直角。2.只有两条直线相交成直角时，交点才可以叫垂足。其他情况只能叫交点。3.一条直线的垂线有无数条，过一点画已知直线的垂线，只能画一条。4.平行线有两个特征：一是在同一平面内；二是两条直线不相交。5.在同一平面内，已知直线的平行线有无数条。【易错一】将一
3、张圆形纸片对折再对折，展开后得到一组（）。A互相平行的线段B互相垂直的线段C钝角【解题思路】两条直线相交成直角，这两条直线叫做互相垂直，把一张圆形纸片，对折后再对折，打开后折痕相交成直角，所以折痕互相垂直。【完整解答】把一张圆形纸片对折再对折，打开后折痕互相垂直，所以展开后得到一组互相垂直的线段。答案：B【易错点】解答此类题，学生可以用圆形纸片实际操作，比较容易理解。【易错二】过一点可以画_条直线；过直线外一点，可以画_条直线与已知直线垂直。【解题思路】过一点画直线，可以向任意方向画直线，所以可以画无数条；过直线外一点，画已知直线的垂线，直线已经确定，点也已经确定，画垂线只能画一条。【完整解答
4、】过一点可以画无数条直线；过直线外一点，可以画1条直线与已知直线垂直。【易错点】过两点只能画一条直线，而过一点可以画无数条直线。【易错三】小红要从A点走向公路，怎么走最近请在图中画出来。【解题思路】从直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最段，所以只要作出A点到公路的垂线段即可解答。【完整解答】【易错点】本题主要考查学生对垂线段知识的掌握和灵活运用。【易错四】如图中有（）组平行线，（）组垂线。A24B34C42【解题思路】在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，这两条直线互相平行，平行线在无论多远都不相交。两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条
5、直线的交点叫做垂足。据此解答。【完整解答】根据分析可知：图中有3组平行线，4组垂线。答案：B【易错点】熟练掌握平行和垂直的定义是解答此题的关键。【易错五】想一想，画一画，填一填。（1）A处有一头牛，它想去小河边喝水，请你画出这头牛从A处走到小河边的最近路线。（2）从M点出发有两条路分别通往邻村和镇上，其中通往邻村的路与小河平行。则图中射线（）通往邻村，射线（）通往镇上。【解题思路】（1）要画最近的路线，即路程最短，最短即为点A到小河的垂线段，所以从A点作到小河的垂线段即可。（2）从图上可知与小河平行的是射线MN，所以通往镇上的路是MP。【完整解答】（1）如图所示。（2）从M点出发有两条路分别通
6、往邻村和镇上，其中通往邻村的路与小河平行。则图中射线（MN）通往邻村，射线（MP）通往镇上。【易错点】同一平面内永不相交的两条直线，互相平行。点到直线的最短距离是点到直线的垂线段的长度。一、选择题1（）的长度可以是4厘米。A一条射线B一条线段C一条直线D一条垂线2如图，从A点处修建一条通往李家村的公路，距离最短的是（）号路线。ABCD3下面几组直线中互相垂直的是（）。ABC4把一张圆形纸对折两次后展开，得到的两条折痕（）。A互相平行B互相重合C互相垂直D既不相交也不平行5把一张正方形纸对折两次后展开，所得折痕（）。A一定垂直B一定平行C垂直或平行6下面图形中，有两组平行线的图形有（）个。A1B
7、2C3D47在同一平面内，和一条直线垂直的两条直线互相（）。A垂直B平行C相交D无法确定8下面图（）中既能找到一组互相平行的直线，又能找到一组互相垂直的直线。ABCD9如图中，互相平行的一组道路是（）。A华裕路和光明大道B华裕路和聚丰路C东明大道与光明大道10如图，四边形ABCD与四边形CDEF都是长方形，那么直线a与直线c（）。A互相平行B不平行C互相垂直D不垂直二、填空题11四个小朋友做“抢椅子”的游戏，他们的位置如图。谁最有可能先坐在椅子上？你能说出理由吗？答：( )最有可能先坐在椅子上。理由是：( )。12如下图，三只蚂蚁分别站在同一条直线的不同点上，如果它们同时用同样的速度朝箭头所指
8、的方向爬行，( )蚂蚁最先吃到米粒，理由是( )。13在两条平行线之间可以画( )条与平行线垂直的线段，这些垂直线段的长度( )。14长方形相邻的两条边_，相对的两条边_。15两点之间的所有连线中( )最短，从直线外一点向这条直线引出的线段中，( )最短。16填一填。(1)在和中，相互垂直的是( )，相互平行的是( )。(2)在中，直线有 ( )，射线有( )，线段有( )。17下图中，互相平行的一组线段有( )，互相垂直的一组线段有( )。（各填一组即可）18每个平行四边形都有( )组平行线。19AB平行于( )，AE垂直于( )。20在两条平行线之间能画出( )条垂直线段。三、作图题21过
9、点P画直线AB的平行线和垂线。22过A点画已知直线的平行线，过B点画已知直线的垂线。23过点A画直线CD的平行线和直线EF的垂线。24在方格中分别画一组平行线和一组互相垂直的直线。25过点A画BC的垂线M，过点B画AC的平行线L。26为振兴乡村，方便A村的人民出行，计划修一条通往公路的柏油路。怎样修路最近？请画出来。 27A村和B村安装自来水管道，请画出最短管道设计方案。 28陈家村为了抗旱，要从河边铺设水管把水引到村里，怎样铺设水管最短，请在图上面出最短路线。四、解答题29两只小狗赛跑，它们以相同的速度分别从同一直线上的点A、点B跑到小房子处，谁先跑到小房子处，谁就获胜。你认为它们谁会获胜？
10、为什么？30画一画，填一填。在直线a上截取线段OM，使线段OM长1cm；过点M作直线a的垂线b；在直线b上除M点外任取一点P，过P点作直线b的垂线c。直线c与直线a的交点个数是（）。31要在某村和省道之间修一条路，怎样修最短？在图中画出来，并说明最短的原因。32如图。（1）如果线段AD和线段CE相等，那么直线a和直线b之间是什么关系？（2）线段BF和直线b之间是什么关系？33画一画，填一填。（1）分别过A点和B点画出已知直线的垂线。（2）画的这两条垂线存在（）关系。34（1）过A点和B点分别作已知直线的垂线，并标注上垂足符号“”。（2）画出的这两条垂线之间的位置关系是（）。（3）估一估，A点到
11、已知直线的距离大约是（）cm。（填写整数）参考答案1B【分析】线段2个端点，不能延伸，可以测量长度。射线1个端点，可以向一端无限延伸，无法测量长度。直线没有端点，可以向两端无限延伸，无法测量长度。垂线属于直线。【详解】线段的长度可以是4厘米。答案：B【点评】此题考查了直线、射线、线段的定义，要熟练掌握。2B【分析】根据从直线外一点到已知直线的连线中，垂线段最短，从A点向这条公路作垂线段，这样修路最近；据此即可解答。【详解】从A点向这条公路作垂线段，这样修路最近，距离最短的是号路线；答案：B【点评】本题主要考查了学生垂线段最短的知识点。3C【分析】根据垂直的定义：当两条直线相交成90度时，这两条
12、直线就互相垂直；据此解答即可。【详解】据分析得知：C组的两条直线互相垂直，故选：C。【点评】此题考查了垂直的定义，据此选择。4C【分析】圆是中心对称图形，圆的对称轴是折痕所在的直线，把一张圆形纸片对折两次后，两条折痕相交成90度，所以这两条折痕互相垂直。据此解答。【详解】根据分析，如下图所示：把一张圆形纸对折两次后展开，得到的两条折痕互相垂直。答案：C。【点评】本题考查的是对垂直定义的理解与掌握5C【分析】把一张正方形纸对折两次，有两种折法，一种是纵对折再对折，此时形成的两条折痕互相平行；一种是横对折再纵对折，此时形成的两条折痕互相垂直。【详解】把一张正方形的纸对折两次后展开，形成的折痕平行或
13、垂直。答案：C【点评】本题是考查简图形的折叠问题，此题不难理解，只要动手操作一下即可解决问题。6B【分析】在同一平面内，永不相交（也永不重合）的两条直线叫做平行线。【详解】A有两组平行线；B有两组平行线；C没有平行线；D有一组平行线；答案：B【点评】熟练掌握平行的定义是解答此题的关键。7B【分析】根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可。【详解】在同一平面内，和一条直线垂直的两条直线互相平行；答案：B【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质。8C【分析】平行的性质：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；垂直的性质：当两条
14、直线相交成直角时，这两条直线就互相平行，据此解答。【详解】A只有一组互相垂直的直线，不符合题意。B只有两组互相平行的直线，不符合题意。C有一组互相平行的直线，又有一组互相垂直的直线，符合题意。D只有三组互相平行的直线，不符合题意。故答案选：C。【点评】本题主要考查平行的性质、垂直的性质，灵活运用即可。9B【分析】平行是在同一平面内，永不相交的两条直线，据此解答。【详解】互相平行的一组道路是华裕路和聚丰路。答案：B【点评】熟练掌握平行的定义是解答此题的关键。10A【分析】四边形ABCD与四边形CDEF都是长方形，所以线段AB与线段CD平行，线段EF与线段CD平行，平行于同一条直线的两条直线也是互
15、相平行的，据此解答。【详解】根据分析可知直线a与直线c互相平行。答案：A【点评】两条线段互相平行，这两条线段所在的直线也是互相平行的。11小龙 直线外一点到直线的距离中，垂线段最短。【分析】直线外一点到直线的距离中，垂线段最短。据此解答。【详解】小龙最有可能先坐在椅子上。因为直线外一点到直线的距离中，垂线段最短。【点评】此题主要考查了直线外一点到直线的距离中，垂线段最短的知识点，要熟练掌握。12乙 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短【分析】相同的速度，路程越短，用时越少，越能最先吃到米粒。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。据此可知，从米粒到三只蚂蚁所站在的直线上，乙蚂蚁所爬行
16、的路程最短，最先吃到米粒。【详解】如果它们同时用同样的速度朝箭头所指的方向爬行，乙蚂蚁最先吃到米粒，理由是从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。【点评】解决本题的关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。而这个性质常用于解决求最短路线的问题。13无数 都相等【分析】在同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；依此画图并填空。【详解】如图所示：在两条平行线之间可以画无数条与平行线垂直的线段，这些垂直线段的长度都相等。14互相垂直 平行且相等【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一
17、条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。据此解答即可。【详解】长方形相邻的两条边互相垂直，相对的两条边互相平行。【点评】本题考查垂直和平行的性质，需熟练掌握。15线段 垂线段【详解】直线上任意两点之间的一段叫做线段，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，两点之间，线段最短。从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度叫这点到这条直线的距离，这个点与垂足之间的线段叫做垂线段，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。16(1) (2) 【分析】（1）在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条直线相交
18、所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。（2）线段2个端点，不能延伸，可以测量长度。射线有1个端点，可以向一端无限延伸，无法测量长度。直线没有端点，可以向两端无限延伸，无法测量长度。（1）在和中，相互垂直的是，相互平行的是。（2）在中，直线有，射线有，线段有。【点评】此题考查了垂直和平行的判定和直线、射线、线段的定义，要熟练掌握。17ABEC AEEC【分析】在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，这两条直线互相平行，平行线在无论多远都不相交；两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；据此解答。【详解】互相平行的一组线段有ABEC；互相垂
19、直的一组线段有AEEC。【点评】熟练掌握平行和垂直的定义是解答此题的关键。182【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形的两组对边分别平行且相等，据此即可解答。【详解】每个平行四边形都有2组平行线。【点评】本题是考查平行四边形的意义及性质19CD CD【分析】平行四边形的两组对边互相平行，所以AB平行于CD，AC平行于BD；观察上图可知，AE是平行四边形底边CD上的高，故AE垂直于CD。【详解】根据分析可知，AB平行于CD，AE垂直于CD（答案不唯一）。【点评】本题主要考查学生对平行四边形知识的掌握。20无数【分析】两条平行线之间，从任意一点都可以画的两条平行线的垂线。【详解】在两条平行线之间
20、能画出无数条垂直线段。【点评】两条平行线上的一点或两线之间任意一点都可以画两条平行线的垂线段。21见详解【分析】过直线外一点作已知直线的平行线的方法是：把三角板的一条直角边与直线AB重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板原来和直线AB重合的直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边画直线即可；过直线外一点作已知直线的垂线的方法是：用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P沿直角边向已知直线画直线即可。【详解】【点评】本题考查了学生利用直尺和三角板作垂线和作平行线的能力，注意规范作图。22见详解【分析】（1）过A作直
21、线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使A点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。（2）用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B沿直角边向已知直线画垂线即可。【详解】【点评】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。23见详解【分析】过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过
22、该点作的直线的垂线；过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。【详解】【点评】本题主要考查学生对作平行线和垂线方法的掌握。24见详解【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。据此画图。【详解】【点评】本题考查垂直和平行的性质，在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关系，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情况。25见详解【分析】把三角尺的一
23、条直角边与BC重合，使得A点另一条直角边上，再过A点画直线即与BC垂直；过B点画一条与线段AC永无交点的直线，即与线段AC平行。【详解】【点评】作好垂线后，记得标上垂直符号。在同一平面内永不相交的两条直线互相平行。26见详解【分析】根据垂线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂线段和斜线，垂线段最短。把公路看作一条直线，A村看作一个点，由点向直线画垂线段即可。【详解】【点评】本题主要考查垂线段的性质，利用这一性质作最短路线图。27见详解【分析】过直线外一点作已知直线的垂线的方法是：把三角板的一直角边与已知直线重合，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过已知点时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经
24、过直线外一点的这条直线的垂线；分别画出A村、B村到管道的垂直线段即可。【详解】【点评】本题主要考查点到直线的距离：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。28见详解【分析】要使铺设水管最短，画一条陈家村到河边的垂直线段即可。【详解】【点评】本题主要考查点到直线的距离：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。29小黑获胜；原因见详解【分析】根据垂线的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，据此判断解答。【详解】两只小狗赛跑，它们以相同的速度分别从同一直线上的点A、点B跑到小房子，
25、小黑先到达，获胜，因为小黑是沿垂直线段跑的，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。【点评】本题考查了垂线的性质。30图见详解；0个【分析】把直尺上的0对准O，量1cm的线段，OM1cm；三角板的一条直角边和a重合，然后平移三角板，让其另一条边和M点重合，过M点和三角板的直角顶点作直线b；在直线b上除M点外找一点P， 三角板的一条直角边和b重合， 然后平移三角板，让其另一条边和P点重合，过P点和三角板的直角顶点作直线c；直线c和直线a平行，由此解答。【详解】如下图：直线c与直线a的交点个数是（0个）。【点评】本题考查做已知直线的垂线，规范画图是解题的关键。31按图中虚线修最短。原因
26、：垂线段最短。【分析】根据直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短；进而把某村看做一点，把省道看做一条直线，画出垂线段即可。【详解】按图中虚线修最短，原因：点到直线的所有线段中，垂线段最短。【点评】解答此题应明确：从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短。32（1）平行关系（2）相交关系【分析】根据与两条平行线互相垂直的线段的长度都相等；进而解答即可。【详解】由图可得：（1）线段AD垂直直线b，线段CE垂直直线b，又因为线段AD和线段CE相等，所以：直线a平行直线b。即直线a和直线b是平行关系。（2）线段BF和直线b是相交关系。【点评】本题解题关键是同一平面内理解两条直线的位置：平行
27、或相交。33（1）见详解（2）互相平行【分析】（1）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。（2）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。据此解答。【详解】（1）（2）画的这两条垂线存在互相平行关系。【点评】本题考查垂直和平行的特性，旨在考查学生作图能力。34（1）见详解（2）互相平行（3）2【分析】（1）用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可，并标注垂足；同样的方法画出过B点到直线的垂线；（2）在同一平面内的两直线垂直于同一条线，则这两条垂线相互平行；（3）估测A点到直线的距离大约是2cm。【详解】（1）（2）画出的这两条垂线之间的位置关系是互相平行；（3）A点到已知直线的距离大约是2cm。【点评】本题考查了学生过线外一点作垂线的能力，画出垂线是解题的关键。