1、北京曲一线图书策划有限公司 2024版5年高考3年模拟A版7.2等差数列基础篇考点一等差数列及其前n项和1.(2023届辽宁六校期初考试,3)设等差数列an的前n项和为Sn,若a6+a7+a8+a9+a10=20,则S15=()A.150B.120C.75D.60答案D2.(2015重庆,2,5分)在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6=()A.-1B.0C.1D.6答案B3.(2021重庆二模,4)已知公差不为0的等差数列an中,a2+a4=a6,a9=a62,则a10=()A.52B.5C.10D.40答案A4.(2019课标理,9,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=
2、0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-2n答案A5.(2022广东综合能力测试,7)记数列an的前n项和为Sn,a1=2,an+1-an1,3,5,Sk=100,则k可以等于()A.8B.9C.11D.12答案A6.(2022全国乙文,13,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=.答案27.(2020课标文,14,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.答案258.(2020新高考,14,5分)将数列2n-1与3n-2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前
3、n项和为.答案3n2-2n9.(2022海南东方琼西中学月考,17)等差数列an的前n项和为Sn,已知a10=30,a20=50.(1)求通项公式an;(2)若Sn=242,求n.解析(1)设等差数列an的公差为d,依题意有a10=a1+9d=30,a20=a1+19d=50,解得a1=12,d=2,所以an=2n+10(nN*).(2)由(1)可得Sn=12n+n(n-1)22=n2+11n,令n2+11n=242,解得n=-22(舍)或n=11,故n=11.10.(2019课标文,18,12分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式;(2)若a
4、10,求使得Snan的n的取值范围.解析(1)设an的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此an的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(n-9)d2.由a10知dan成立的n的最小值.解析(1)a3=S5a1+2d=5a1+10d4a1+8d=0a1+2d=0a1=-2d,a2a4=S4(a1+d)(a1+3d)=4a1+6d,将代入得-d2=-2dd=0(舍)或d=2,a1=-2d=-4,an=-4+(n-1)2=2n-6.(2)由(1)知an=2n-6,Sn=na1+n(n-1)
5、2d=-4n+n(n-1)=n2-5n.Snann2-5n2n-6n2-7n+60(n-1)(n-6)0,解得n6,n的最小值为7.考点二等差数列的性质考向一等差数列项的性质1.(2022南京金陵中学二模,3)设an是公差d=-2的等差数列,如果a1+a4+a7+a97=50,那么a3+a6+a9+a99=()A.-182B.-78C.-147D.-82答案D2.(2022辽宁渤海大学附中月考二)在等差数列an中,若a2+a3+a4=6,a6=4,则公差d=()A.1B.2C.13D.23答案D3.(2022湖南百校大联考,4)设Sn为等差数列an-2n的前n项和,且a2=7,S7=49,则a
6、7=()A.75B.141C.7D.99答案B4.(2022广东梅州东山中学期中,3)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3+a7=14,则S9=()A.21B.63C.42D.126答案B5.(多选)(2022湖南永州三模,9)已知等差数列an是递减数列,Sn为其前n项和,且S7=S8,则()A.d0B.a8=0C.S150D.S7、S8均为Sn的最大值答案BD6.(多选)(2022广东深圳实验学校等校联考,10)设等差数列an的前n项和为Sn,若S11S9S10,则下列结论正确的是()A.数列an是递增数列B.a10+a110C.当n20时,Sn0答案BC考向二等差数列前n项和的性质1.
7、(2021广州月考)设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=6,S6=3,则S12等于()A.-3B.-12C.-21D.-30答案D2.(2022辽宁名校联考,5)已知数列an是等差数列,Sn为数列an的前n项和,a1+a2+a3+a4=3,a17+a18+a19+a20=5,则S20=()A.10B.15C.20D.40答案C3.(2022山东学情联考,6)已知等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn,且a4b6=13,则S7T11=()A.733B.13C.1433D.711答案A综合篇考法一等差数列的判定1.(2022河北邯郸一模,7)“中国剩余定理”又称“孙子定理”,可见于中国南
8、北朝时期的数学著作孙子算经卷下第十六题的“物不知数”问题,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?现有一个相关的问题:将1到2 022这2 022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列的项数为()A.132B.133C.134D.135答案C2.(2023届广东普宁华美实验学校月考,17)记Sn为数列an的前n项和,已知Sn=nan-n2+n.(1)证明:an是等差数列;(2)若a1,a4,a6成等比数列,求Sn+9n的最小值.解析(1)证明:Sn=nan-n2+n,当n2时,Sn-1=(n-1)an-1-(
9、n-1)2+n-1(n2),由-,得an=nan-(n-1)an-1-2(n-1),即(n-1)an-(n-1)an-1=2(n-1),an-an-1=2,n2,an是以2为公差的等差数列.(2)由(1)可得a4=a1+6,a6=a1+10.a1,a4,a6成等比数列,a42=a1a6,即(a1+6)2=a1(a1+10),解得a1=-18,Sn=-18n+n(n-1)22=n2-19n,Sn+9n=n2-19n+9n=n+9n-192n9n-19=-13,当且仅当n=9n,即n=3时取等号,Sn+9n的最小值为-13.3.(2021全国甲理,18,12分)已知数列an的各项均为正数,记Sn为
10、an的前n项和,从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立.数列an是等差数列;数列Sn是等差数列;a2=3a1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.解析选作为条件,证明.证明:设等差数列an的公差为d,因为Sn是等差数列,所以2S2=S1+S3,即22a1+d=a1+3a1+3d,两边平方,得4(2a1+d)=a1+3a1+3d+2a1(3a1+3d),整理得4a1+d=2a1(3a1+3d),两边平方,得16a12+8a1d+d2=4(3a12+3a1d),化简得4a12-4a1d+d2=0,即(2a1-d)2=0,所以d=2a1,则a2=a1+d=3a1.选作为条件,证明.
11、证明:设等差数列an的公差为d.因为a2=3a1,即a1+d=3a1,所以d=2a1.所以等差数列an的前n项和Sn=na1+n(n-1)2d=na1+n(n-1)22a1=n2a1.又a10,所以Sn=na1.则Sn+1-Sn=(n+1)a1-na1=a1,所以数列Sn是公差为a1的等差数列.选作为条件,证明.证明:设等差数列Sn的公差为d,因为S1=a1,S2=a1+a2=a1+3a1=2a1,所以d=S2-S1=2a1-a1=a1,则等差数列Sn的通项公式为Sn=a1+(n-1)a1=na1,所以Sn=n2a1,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1
12、,且当n=1时,上式也成立,所以数列an的通项公式为an=(2n-1)a1,则an+1-an=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,所以数列an是公差为2a1的等差数列.方法总结:证明数列an是等差数列的方法1.定义法:证明an-an-1=d(n2,nN*)或an+1-an=d(nN*);2.等差中项法:证明2an=an-1+an+1(n2,nN*).4.(2022全国甲,理17,文18,12分)记Sn为数列an的前n项和.已知2Snn+n=2an+1.(1)证明:an是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.解析(1)证明:由已知条件2Snn+n=2an+1可得,
13、2Sn=2nan+n-n2,当n2时,由可得2Sn-1=2(n-1)an-1+(n-1)-(n-1)2,由an=Sn-Sn-1及-可得,(2n-2)an-(2n-2)an-1=2n-2,n2,且nN*,即an-an-1=1,因此an是等差数列,公差为1.(2)a4,a7,a9成等比数列,且a4=a1+3,a7=a1+6,a9=a1+8,a72=a4a9,即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=-12,等差数列an的通项公式为an=-12+(n-1)1=n-13,Sn=(a1+an)n2=12n2-252n=12n-2522-6258,nN*,当n=12或n=13时,Sn最小,最小
14、值为-78.5.(2022广州模拟,19)已知正项数列an,其前n项和Sn满足an(2Sn-an)=1(nN*).(1)求证:数列Sn2是等差数列,并求出Sn的表达式;(2)数列an中是否存在连续三项ak,ak+1,ak+2,使得1ak,1ak+1,1ak+2构成等差数列?请说明理由.解析(1)依题意,得正项数列an中,a12=1,即a1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1,即(Sn-Sn-1)2Sn-(Sn-Sn-1)=1,整理得Sn2-Sn-12=1,又S12=a12=1,因此,数列Sn2是以1为首项,1为公差的等差数列,则Sn2=n,因为an是正项数列,即Sn0,所以Sn=n.(2)不存
15、在.理由如下:当n2时,an=Sn-Sn-1=n-n-1,又a1=1,即nN*,都有an=n-n-1,则1an=1n-n-1=n+n-1.假设存在满足要求的连续三项ak,ak+1,ak+2,使得1ak,1ak+1,1ak+2构成等差数列,则2(k+1+k)=k+k-1+k+2+k+1,即k+1+k=k-1+k+2,两边同时平方,得k+1+k+2k+1k=k-1+k+2+2k-1k+2,即(k+1)k=(k-1)(k+2),整理得k2+k=k2+k-2,即0=-2,显然不成立,因此假设是错误的,所以数列an中不存在满足要求的连续三项.6.(2021全国乙理,19,12分)记Sn为数列an的前n项
16、和,bn为数列Sn的前n项积,已知2Sn+1bn=2.(1)证明:数列bn是等差数列;(2)求an的通项公式.解析(1)证明:由bn=S1S2Sn可得,Sn=b1,n=1,bnbn-1,n2.由2Sn+1bn=2知,当n=1时,2S1+1b1=2,即2b1+1b1=2,所以b1=S1=32,当n2时,2bnbn-1+1bn=2,即2bn=2bn-1+1,即bn-bn-1=12,故数列bn是首项为32,公差为12的等差数列.(2)由(1)知,bn=32+(n-1)12=n+22,故当n2时,Sn=bnbn-1=n+2n+1,S1也符合该式,即Sn=n+2n+1(nN*),从而a1=S1=32,当
17、n2时,an=Sn-Sn-1=n+2n+1-n+1n=-1n(n+1),a1不符合该式,所以an=32,n=1,-1n(n+1),n2.考法二等差数列前n项和最值问题1.(2022八省八校联考二,3)记Sn为等差数列an的前n项和,且满足a10,S4 0440,则Sn最小时,n=()A.4 045B.4 044C.2 023D.2 022答案D3.(2022长沙雅礼中学月考,7)设等差数列an的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于()A.6B.7C.8D.9答案A4.(多选)(2022广东珠海二中月考,11)等差数列an的前n项和为Sn,已知S10=0,
18、S15=25,则()A.a5=0B.an的前n项和中S5最小C.nSn的最小值为-49D.Snn的最大值为0答案BC5.(2019北京理,10,5分)设等差数列an的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=,Sn的最小值为.答案0-106.(2022湖南衡阳八中月考,14)已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn,若a4,S5,S7-10,0,则Sn的最小值为.答案-127.(2022湖南湘潭模拟,17)已知Sn为数列an的前n项和,且an+1=an+d(nN*,d为常数),若S3=12,a3a5+2a3-5a5-10=0.求:(1)数列an的通项公式;(2)Sn的最值.解析(
19、1)由an+1=an+d(d为常数)知数列an是等差数列,且d为公差.由S3=a1+a2+a3=3a2=12得a2=4,由a3a5+2a3-5a5-10=0得(a3-5)(a5+2)=0,所以a3=5或a5=-2,由a2=4,a3=5得a1=3,d=1,此时an=n+2.由a2=4,a5=-2得a1=6,d=-2,此时an=-2n+8.所以an=n+2或an=-2n+8.(2)当an=n+2时,Sn=n2+5n2,因为Sn=n2+5n2是关于正整数n的增函数,所以S1=3为Sn的最小值,Sn无最大值;当an=-2n+8时,Sn=-n2+7n=-n-722+494,因为n为正整数,所以当n=3或n=4时,Sn取最大值S3=S4=12,Sn无最小值.8.(2018课标,17,12分)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解析(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.第 9 页 共 9 页