1、北京曲一线图书策划有限公司 2024版5年高考3年模拟A版7.3等比数列考点一等比数列及其前n项和1.(2021全国甲文,9,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=()A.7B.8C.9D.10答案A解题指导:思路一:直接利用求和公式解关于首项和公比两个基本量的方程组.思路二:根据等比数列前n项和的性质(依次每n项和仍然成等比数列且Sn0)求解.解析解法一(基本量法):设an的首项为a1,公比为q(q1),则a1(1q2)1q=4,a1(1q4)1q=6,解得q2=12,a11q=8,S6=a1(1q6)1q=8118=7,故选A.解法二(利用等比数列前n项和的性
2、质):由题意知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,则(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7,故选A.2.(2021全国甲理,7,5分)等比数列an的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q0,乙:Sn是递增数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B当q=1,a10时,等比数列an的前n项和Sn=na10,即a1qn-10恒成立,而只有当a10,q0时,a1qn-10恒成立,所以可得q0,因此甲是乙的必要条件.综上,甲是乙的必要条件但不是充分条件.故
3、选B.方法总结:研究数列Sn的单调性只需考虑SnSn-1或SnSn-1(n2)成立,不需讨论对任意n,mN*且nm,有SnSm恒成立.3.(2022全国乙,理8,文10,5分)已知等比数列an的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=()A.14B.12C.6D.3答案D解法一:设an的公比为q,则a2a5=a1(qq4)=42,a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=168,得q(1q3)1+q+q2=q(1q)(1+q+q2)1+q+q2=q(1-q)=14,4q2-4q+1=0,即(2q-1)2=0,q=12,代入得a1=96,故a6=a1q5=96132=3,故选D.解法二:设数列
4、an的公比为q,前n项和为Sn.由a2-a5=42,得q1.由题意得S3=a1(1q3)1q=168,a2a5=a1q(1q3)=42,得1q(1q)=4,即4q2-4q+1=0,(2q-1)2=0,得q=12,代入得a1=96,a6=a1q5=96125=3,故选D.4.(2013课标文,6,5分)设首项为1,公比为23的等比数列an的前n项和为Sn,则()A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an答案D因为a1=1,公比q=23,所以an=23n1,Sn=a1(1qn)1q=31-23n=3-223n1=3-2an,故选D.5.(2013课标理,3,5
5、分)等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.13B.-13C.19D.-19答案C由已知条件及S3=a1+a2+a3得a3=9a1,设数列an的公比为q,则q2=9.所以a5=9=a1q4=81a1,得a1=19,故选C.6.(2019课标文,14,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,S3=34,则S4=.答案58解析本题主要考查等比数列的有关概念;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.设公比为q(q0),则S3=a1+a2+a3=1+q+q2=34,解得q=-12,a4=a1q3=-18,S4=S3+a4=34-18=58.
6、7.(2017课标理,14,5分)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4 =.答案-8解析本题考查等比数列的通项.设等比数列an的公比为q,由题意得a1+a1q=1,a1a1q2=3,解得a1=1,q=2,a4=a1q3=-8.8.(2015课标文,13,5分)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=.答案6解析由已知得an为等比数列,公比q=2,由首项a1=2,Sn=126得2(12n)12=126,解得2n+1=128,n=6.评析本题主要考查等比数列的定义及前n项和公式,属容易题,注意运算要准确哦!9.(2015湖南理,
7、14,5分)设Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.答案3n-1解析设等比数列an的公比为q(q0),依题意得a2=a1q=q,a3=a1q2=q2,S1=a1=1,S2=1+q,S3=1+q+q2.又3S1,2S2,S3成等差数列,所以4S2=3S1+S3,即4(1+q)=3+1+q+q2,所以q=3(q=0舍去).所以an=a1qn-1=3n-1.10.(2013辽宁理,14,5分)已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.答案63解析a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根且
8、an是递增数列,故a3=4,a1=1,故公比q=2,S6=a1(1q6)1q=63.评析本题考查了等比数列的求和公式.数列an递增是解题的关键,没考虑到q0是失分的主因.11.(2012课标文,14,5分)等比数列an的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=.答案-2解析由S3+3S2=0得4a1+4a2+a3=0,有4+4q+q2=0,解得q=-2.评析本题考查了等比数列的运算,直接利用定义求解可达到事半功倍的效果.12.(2020课标理,17,12分)设an是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求an的公比;(2)若a1=1,求数列nan的前n项和.解析(1)设
9、an的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q1=1(舍去),q2=-2.故an的公比为-2.(2)记Sn为nan的前n项和.由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2(-2)+n(-2)n-1,-2Sn=-2+2(-2)2+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n.可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n(-2)n=1(2)n3-n(-2)n.所以Sn=19(3n+1)(2)n9.13.(2020新高考,18,12分)已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8.(1)求an的通项公式;(2)记
10、bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数,求数列bm的前100项和S100.解析(1)设an的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q1=12(舍去),q2=2.由题设得a1=2.所以an的通项公式为an=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2nm2n+1时,bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+(b32+b33+b63)+(b64+b65+b100)=0+12+222+323+424+525+6(100-63)=480.思路分析(1)设出公比q,由题设条件求得a1和q,利用等比数列的通项公式得出结果.(2)由题设及(1)推
11、导出bm,再计算数列bm的前100项和,即先给m赋值,推导出规律,再进行运算,得到S100的值.14.(2022新高考,17,10分)已知an是等差数列,bn是公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)证明:a1=b1;(2)求集合k|bk=am+a1,1m500中元素的个数.解析(1)证明:设等差数列an的公差为d.由a2-b2=a3-b3得a1+d-2b1=a1+2d-4b1,故d=2b1,由a3-b3=b4-a4得a1+2d-4b1=8b1-a1-3d,故2a1+5d=12b1,由得2a1+10b1=12b1,即a1=b1.(2)由(1)知d=2b1=2a1,由bk
12、=am+a1,1m500得b12k-1=2a1+(m-1)d,即a12k-1=2a1+2(m-1)a1,其中a10,2k-1=2m,即2k-2=m,12k-2500,0k-28,2k10.故集合k|bk=am+a1,1m500中元素个数为9个.15.(2018课标文,17,12分)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=ann.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列bn是不是等比数列,并说明理由;(3)求an的通项公式.解析(1)由条件可得an+1=2(n+1)nan.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12
13、.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn,又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得ann=2n-1,所以an=n2n-1.方法规律等比数列的判定方法:证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法,通项公式法及前n项和公式法只用于选择题、填空题中的判定.若证明某数列不是等比数列,则只需证明存在连续三项不成等比数列即可.16.(2014课标理,17,12分)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明an+12是等比数列,并求an的通项公式;(2)证明1a1+1a
14、2+1an32.解析(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12.又a1+12=32,所以an+12是首项为32,公比为3的等比数列.an+12=3n2,因此an的通项公式为an=3n12.(2)由(1)知1an=23n1.因为当n1时,3n-123n-1,所以13n1123n1.于是1a1+1a2+1an1+13+13n1=32113n32.所以1a1+1a2+1an1,则()A.a1a3,a2a3,a2a4C.a1a4D.a1a3,a2a4答案B本题考查等比数列的概念和性质,利用导数求函数的单调性和最值,不等式的性质和分类讨论思想.设f(x)=ln x-x(x0),则f (x
15、)=1x-1=1xx,令f (x)0,得0x1,令f (x)1,f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+)上为减函数,f(x)f(1)=-1,即有ln xx-1.从而a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)a1+a2+a3-1,a41,公比q0,矛盾.若q-1,则a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+q)(1+q2)0,ln(a1+a2+a3)ln a10,也矛盾.-1q0.从而a3a1=q20,a1a3.同理,a4a2=q21,a2a2.选B.思路分析(1)由题中的选项可知要判断0q21.(2)由条件可知要利用不等式ln xx-1(x0),得a40,进而得q
16、0.(3)直接求q的取值范围较难,转化为判断q=-1和q-1时,等式a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)左、右两边的正负,进而得出矛盾,从而得-1q0,而a20,利用-1q0得结论.2.(2015课标文,9,5分)已知等比数列an满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.12D.18答案C设an的公比为q,由等比数列的性质可知a3a5=a42,a42=4(a4-1),即(a4-2)2=0,得a4=2,则q3=a4a1=214=8,得q=2,则a2=a1q=142=12,故选C.3.(2014大纲全国文,8,5分)设等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3
17、,S4=15,则S6=()A.31B.32C.63D.64答案C由等比数列的性质得(S4-S2)2=S2(S6-S4),即122=3(S6-15),解得S6=63.故选C.4.(2012课标理,5,5分)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7答案D由a5a6=a4a7,得a4a7=-8,又a4+a7=2,a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4,q3=-12或q3=-2.当q3=-12时,a1+a10=a4q3+a4q6=412+4122=-7,当q3=-2时,a1+a10=a4q3+a4q6=22+(-2)(-2)2=-7,故选
18、D.评析本题考查了等比数列的基本运算,运用等比数列的性质可简化计算.5.(2014江苏理,7,5分)在各项均为正数的等比数列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.答案4解析由a8=a6+2a4,两边都除以a4,得q4=q2+2,即q4-q2-2=0(q2-2)(q2+1)=0,q2=2.a2=1,a6=a2q4=122=4.6.(2014广东文,13,5分)等比数列an的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.答案5解析由等比数列的性质知a1a5=a2a4=a32=4a3=2,所以log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log2a35=5log22=5.第 8 页 共 8 页