1、高考数学,专题五三角函数与解三角形5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式,考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式一、三角函数的概念1.象限角,2.终边相同的角所有与角终边相同的角,连同角在内,构成的角的集合是|=k360+,kZ或|=+2k,kZ.3.弧长与扇形面积公式1)弧长公式:l=|r;2)扇形面积公式:S=lr=|r2.(其中|为圆心角弧度数的绝对值,r为扇形半径)4.三角函数的定义1)任意角三角函数的定义借助单位圆:设是一个任意角,R,它的终边OP与单位圆交于点P(x,y),那么sin=y;cos=x;tan=(x0).,借助终边上点的坐标:设角终边上任
2、意一点P(原点除外)的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则sin=,cos=,tan=(x0).2)三角函数值在各象限内的符号记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.二、同角三角函数的基本关系1.平方关系:sin2+cos2=1.2.商数关系:tan=.,三、三角函数的诱导公式,考法一三角函数定义的应用1.已知角终边上一点P的坐标,求三角函数值:先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义求解;若含参数,则需对参数进行讨论.2.已知角的终边所在直线的方程(角的终边为射线,此处给的是直线方程),求三角函数值:一般地,由于不确定终边所在象限,故在终边上任取一个异于原点的点时应分两种情况,
3、然后利用三角函数的定义求解;若直线的倾斜角为特殊角,则可直接写出角的三角函数值.,例1(2011课标,5,5分)已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2=()A.-B.-C.D.,解析解法一:由三角函数定义知,tan=2,则cos 2=-.解法二:由三角函数定义知,tan=2,即sin=2cos,则sin2=4cos2.从而有cos2=.故cos 2=2cos2-1=-.,答案B,例2(2022 江苏盐城开学测,14)在平面直角坐标系中,角的终边过点A(3,4),则tan=;将射线OA(O为坐标原点)按逆时针方向旋转后得到角的终边,则sin=.,解析
4、角的终边过点A(3,4),则tan=.将射线OA(O为坐标原点)按逆时针方向旋转后得到角的终边,则=+,则sin=sin=cos=.,答案,考法二同角三角函数基本关系式的应用1.利用sin2+cos2=1可以实现角的正弦、余弦的互化,利用=tan 可以实现角的弦切互化.2.sin,cos 的齐次式的应用1)已知tan 的值,求关于sin 与cos 的齐n次分式的值:分子、分母同除以cosn,转化为关于tan 的式子求解.2)“1”的代换问题:含有sin2,cos2及sin cos 的整式求值问题,可将所求式子的分母看作“1”,利用“sin2+cos2=1”代换后转化为“切”,然后求解.3.同角三角函数基本关系式的常用变形1)sin2=1-cos2,cos2=1-sin2.,2)(sin cos)2=12sin cos.3)sin=cos tan.4)sin2=.5)cos2=.,例3(2021全国甲,理9,文11,5分)若,tan 2=,则tan=()A.B.C.D.,解析tan 2=,且,=,2sin 2=cos cos 2+sin sin 2,即4sin cos=cos(2-)=cos,又cos 0,4sin=1,即sin=,cos=,tan=.故选A.,答案A,