1、高考数学,专题五三角函数与解三角形5.4解三角形,考点一正弦定理和余弦定理1.正弦定理1)内容:=2R(R为ABC外接圆半径).2)变形形式a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;sin A=,sin B=,sin C=;abc=sin Asin Bsin C;=2R.,2.余弦定理1)内容:a2=b2+c2-2bccos A;,b2=c2+a2-2cacos B;c2=a2+b2-2abcos C.2)变形形式cos A=;cos B=;cos C=.,考点二解三角形及其应用1.已知两边及一边对角解三角形,如在ABC中,已知a,b和A.1)若利用余弦定理求边长,实质是解一
2、元二次方程,解出后可根据已知条件对方程的根进行取舍.2)用正弦定理解三角形时,会出现如下情形:当A为锐角时,如图,解的个数分别为一解,两解,一解.a=bsin A,bsin Aab ab注:当absin A时无解.,当A为钝角或直角时,如图,此时只有一个解.,注:当ab时无解.,2.三角形中常用的结论在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,常见的结论有:1)A+B+C=;2)在ABC中,大角对大边,大边对大角,如:abABsin Asin B;3)在斜ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C;4)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=s
3、in C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C;sin=cos;cos=sin.5)三角形中的射影定理:a=bcos C+ccos B,b=acos C+ccos A,c=acos B+bcos A.,6)sin 15=,cos 15=,tan 15=2-.,3.三角形的面积公式设ABC的三边为a,b,c,所对的三个内角分别为A,B,C,其面积为S,ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r.1)S=ah(h为BC边上的高);2)S=absin C=acsin B=bcsin A;3)S=2R2sin Asin Bsin C;4)S=;,5)S=.6)S=r(a+b+c)
4、.,考法一三角形形状的判断要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考.依据已知条件中的边角关系判断时,主要有以下两种途径:1.化角为边:利用正、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.2.化边为角:利用正、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用“ABC中,A+B+C=”.提醒:在两种途径的等式变形中,一般两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,以免漏解.,例1(2022江苏徐州期中,8)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足
5、cos2A-cos2B+cos2C=1+sin Asin C,且sin A+sin C=1,则ABC的形状为()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.顶角为120的非等腰三角形D.顶角为120的等腰三角形,解析因为cos2A-cos2B+cos2C=1+sin Asin C,所以sin2A+sin2C-sin2B=-sin Asin C,由正弦定理可得a2+c2-b2=-ac,所以=-,所以cos B=-,因为0B180,所以B=120,所以A+C=60,由sin A+sin C=1得sin A+sin(60-A)=1,得sin A+sin 60cos A-cos 60sin A=1,即sin
6、A+cos A=1,所以sin(A+60)=1,因为A为三角形的内角,所以A=30,则C=30,所以ABC是顶角为120的等腰三角形.故选D.,答案D,考法二与三角形的最值、范围有关的问题1.三角形中的最值、范围问题的解题策略1)定基本量:根据题意画出图形,找出三角形中的边、角,利用正弦、余弦定理求出相关的边、角,并选择边、角作为基本量,确定基本量的范围.2)构建函数:根据正弦、余弦定理或三角恒等变换,将所求范围的变量表示成函数形式.3)求最值:利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值.2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点1)涉及求范围的问题,一定要搞清变量的范围;若已知边的范围,求角的
7、范围可利用余弦定理进行转化.2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=,0A,|b-c|ab+c,三角形中大边,对大角等.,例2(2019课标理,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.,解析(1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A.因为sin A0,所以sin=sin B.由A+B+C=180,可得sin=cos,故cos=2sincos.因为cos0,故sin=,因此B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=a.由正弦定理得a=+.由AB
8、C为锐角三角形,知0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故a2,从而 SABC.,因此，C面积的取值范围是.,考法三解三角形的实际应用1.有关概念1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图a).,2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角,如B点的方位角为(如图b).3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图c).北偏东:指北方向顺时针旋转到达目标方向.东北方向:指北偏东45方向.4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(如图d,角为坡角).坡度:坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度(或坡比)(如图d
9、,i为坡比).,2.利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤,例3(2021全国甲,8,5分),2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A,B,C满足ACB=45,ABC=60.由C点测得B点的仰角为15,BB与CC的差为100;由B点测得A点的仰角为45,则A,C两点到水平面ABC的高度差AA-CC约为(1.732)()A.346B.373C.446D.473,解析如图,过点C分别作AC,BC的平行线,分别交AA与BB于
10、点D和E,连接DE,则DEAB,过点B作DE的平行线BF,交AA于点F.,故ABCDEC,DCE=ACB=45,CDE=CAB=180-ACB-ABC=75.在RtBCE中,可得tan 15=,即2-=,CE=100(2+),在CDE中,由正弦定理可得=,DE=CE=100(+1),又知在RtABF中,ABF=45,所以AF=BF,所以AA-CC=AD=AF+DF=AF+BE=BF+BE=DE+BE=100(2+)373.故选B.,答案B,例4(2022广东惠州一模,16)如图,曲柄连杆机构中,曲柄CB绕C点旋转时,通过连杆AB的传递,活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时,曲柄和连杆成一条
11、直线,连杆的端点A在A0处.设连杆AB长200 mm,曲柄CB长70 mm,则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2时,活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)约为mm.(结果保留整数)(参考数据:sin 53.2=0.8),解析在ABC中,AB=200,BC=70,ACB=53.2,由正弦定理,得sinBAC=,ABBC,ACBBAC,故BAC为锐角,cosBAC=,又cosACB=,sinABC=sin(ACB+BAC)=sinACBcosBAC+cosACBsinBAC=+=,AC=200=234,故A0A=(A0B0+B0C)-AC=(200+70)-234=36(mm).故曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2时活塞移动的距离约为36 mm.,答案36,