1、高考数学,专题十三应用与创新,应用创新一数学与实际生活解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情境”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化,形式化,抽象成数学问题,再化为常规问题,选择合适的数学方法求解.1.解答应用题的基本思想从熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发,进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理,得出数学概念和规律,通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化,找到有效的解题途径构建数学模型,将实际生活问题抽象为数学问题.用框图表示如下:,2.解决实际问题的步骤1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数
2、学模型;2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;,3)解模:求解数学模型,得出数学结论;4)还原:将数学问题还原为实际问题.,例1(2021全国乙,9,5分)魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=()A.+表高B.-表高,C.+表距D.-表距,信息提取由四个选项结构形式可知,将所求的海岛高度用已知的线段长表示出
3、来,由图可知此题使用解三角形知识解决,重新读题,在题中寻找包含这些量的三角形;“海岛的高AB=”意思是将海岛的高AB放在可解的三角形中,在ABH或ABC中虽有AB,但由选项可知,这两个三角形中均未有给出的量“表高”“表距”“表目距”“表目距的差”,故应通过作辅助线,将所给的各量包含在所作的三角形中;“DE=FG=表高”为两个直角三角形的直角边长;“GC与EH”的差称为“表目距的差”即表目距的差=GC-EH;线段EG的长度称为“表距”.,解题导引题目的实际背景为海岛算经中测海岛的高的方法.读题时要抓住本题中的三个关键词“表高”“表距”“表目距的差”,由选项可知,将海岛的高用给出的这几个量表示出.
4、明确考查的内容与解三角形相关后,再确定要解的三角形是哪几个,则需寻找这些量间的关系.从实际背景的描述中通过添加辅助线构造出含有已知量的三角形,通过求解这几个三角形,把岛高表示出来即可,最后还原回用给定的这几个量表示.,解析连接FD并延长交AB于点M,则AB=AM+BM,MFAC.设BDM=,BFM=,则-=MF-MD=DF.又tan=,tan=,所以-=MB=MB,因为GF=ED,所以-=,所以-=MB=DF,又易知DF=EG,所以MB=,所以海岛的高AB=+表高(注意将各线段用专用的术语表示出来),故选A.,答案A,应用创新二数学中的新定义问题新定义问题是相对于高中教材而言的,指在高中教材中
5、不曾出现过的概念、定义、定理以及性质.它的一般形式是由命题者先给出一个新的概念,新的运算法则或者给出一个抽象函数的性质等,然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.新定义问题的解题步骤:1.对新定义进行信息提取,明确新定义的名称和符号.2.理解新定义的概念、法则,对新定义所提取的信息进行加工,探求解决方法,有时可以寻求相近知识点,明确它们的共同点和不同点.3.对新定义中提取的知识进行转换,有效的输出,其中对新定义信息的提取和化归是解题的关键,也是解题的难点.如果是新定义的运算、法则,直,接按照运算法则计算即可;如果是新定义的性质,一般就要判断性质的适用性,能否利用定义的外延,有时也用特值排
6、除等方法解决.,例2(多选)(2020新高考,12,5分)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,n,且P(X=i)=pi0(i=1,2,n),pi=1,定义X的信息熵H(X)=-pilog2pi.()A.若n=1,则H(X)=0B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大C.若pi=(i=1,2,n),则H(X)随着n的增大而增大D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,m),则H(X)H(Y),信息提取“设随机变量X所有可能的取值为1,2,n”意味着题目给出一个随机变量可以取到的值,形式上是一个概率问
7、题;“P(X=i)=pi0(i=1,2,n),pi=1”意思是随机变量取每一个值时的概率,这实际上是给出了一个分布列;“定义X的信息熵H(X)=-pilog2pi”是一个用求和符号给出的新定义,可以依据求和符号的意义,将其展开为H(X)=-pilog2pi=-(p1log2p1+p2log2p2+pn-1log2pn-1+pnlog2pn),通过展开式找到H(X)与H(Y)之间的联系.解题导引:题目的实际背景虽然为概率问题,但实际上是给出一个新定义“信息熵”.由所给出的四个选项可知,本题实质上考查对数的运算、对数型函数的单调性及对数式的大小比较等内容,四个选项引导学生由浅,入深,层层深入考查对
8、数的运算及转化思想;其中B选项需要构造一个函数,通过导数的符号来判断函数的单调性,从而进行选择,对于D选项,需明确给出的式子“P(Y=j)=pj+p2m+1-j”的含义,由特殊到一般的思想归纳出其意义,从而得到H(Y)=-(p1+p2m)log2(p1+p2m)+(p2+p2m-1)log2(p2+p2m-1)+(pm+pm+1)log2(pm+pm+1),H(X)=-(p1log2p1+p2log2p2+p2m-1log2p2m-1+p2mlog2p2m),然后再比较H(X)、H(Y)的大小(也可用特例法).,解析对于A,若n=1,则p1=1,H(X)=-1log21=0,A正确.对于B,若
9、n=2,则p1+p2=1,H(X)=-pilog2pi=-(p1log2p1+p2log2p2),p1+p2=1,p2=1-p1,p1(0,1),H(X)=-p1log2p1+(1-p1)log2(1-p1),令f(p1)=-p1log2p1+(1-p1)log2(1-p1),f(p1)=-p1+log2p1+(1-p1)-log2(1-p1)=-log2p1-log2(1-p1)=log2,令f(p1)0,得0p1;令f(p1)0,得p11.y=f(p1)在上为增函数,在上为减函数,H(X)随着p1的增大先,增大后减小,B不正确.对于C,由pi=(i=1,2,n)可知,H(X)=-pilog
10、2pi=-log2=log2n,H(X)随着n的增大而增大,C正确.对于D,解法一(特例法):不妨设m=1,n=2,则H(X)=-pilog2pi=-(p1log2p1+p2log2p2),由于p1+p2=1,不妨设p1=p2=,则H(X)=-=log22=1,H(Y)=-1log21=0,故H(X)H(Y),D不正确.解法二:由P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,m),得P(Y=1)=p1+p2m,P(Y=2)=p2+p2m-1,P(Y=m)=pm+pm+1,H(Y)=-(p1+p2m)log2(p1+p2m)+(p2+p2m-1)log2(p2+p2m-1)+(pm+pm+1)
11、log2(pm+pm+1),由n=2m,得H(X)=-pilog2pi=-(p1log2p1+p2log2p2+p2mlog2p2m),不妨设0H(Y),D不正确.,答案AC,应用创新三数学文化高考对数学文化的考查主要有三个方面:一是利用古代数学文化为背景命制与核心考点相结合的题目;二是利用相关数学知识直接解答古代数学问题;三是利用古代数学成果解决实际问题.解决的关键是从中提取出数学问题,利用相关的数学知识进行求解.,例3(2020课标理,4,5分)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9
12、块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块,信息提取从题中体会“层”与“环”的区别与联系;结合图形,明确“三层且每层的环数相同”的实际意义;自上而下的各环的石板数下一环均比上一环多9块,意味着这道题使用等差数列的知识解决,且等差数列的公差为9;等差数列的首项为9;若设第n环扇面形石板块数为an,第一层共有n环,第二层为第n+1环至第2n环,第三层为第2n+1环至第3n环,并且设Sn为an的前n项和,也就是S3n-S2n=S2n
13、-Sn+729;求三层共有扇面形石板数,也就是求等差数列前3n项的和S3n.,解析设第n环扇面形石板块数为an,第一层共有n环,则an是以9为首项,9为公差的等差数列,(将题中的各量用字母表示出来)an=9+(n-1)9=9n,设Sn为an的前n项和,则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n(用等差数列的前n项和表示出“上、中、下”三层的每层石板总数),因为下层比中层多729块,所以S3n-S2n=S2n-Sn+729,即-=-+729,即9n2=729,解得n=9,所以S3n=S27=3 402.故选C.,答案C,应用创新四跨学科交汇数学是研究数量关系和空间形式
14、的科学,高度的抽象性、结论的确定性和广泛的应用性是数学的特点.目前在高中数学教材中出现越来越多的跨学科融合试题,更多的体现了数学在其他学科中的应用,主要体现在平面向量、导数与物理学的应用,立体几何在化学物质结构的应用,排列组合在生物学中的应用等.,例4(2021新高考,4,5分)卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36 000 km(轨道高度指卫星到地球表面的最短距离),把地球看成一个球心为O,半径r为6 400 km的球,其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度数,地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为,该卫星信号覆盖
15、的地球表面面积S=2r2(1-cos)(单位:km2),则S占地球表面积的百分比约为()A.26%B.34%C.42%D.50%,信息提取题目背景新颖,出现较多“陌生词”,可以考虑从所求入手.求S占地球表面积的百分比,即=,求解即可.为纬度的最大值,需在题中找“纬度”.根据纬度定义画出图形,过B作球O竖截面的切线,切点为A,则A处的纬度即为,即=AOB.在RtAOB中,cos=.轨道高度BC=36 000 km,则OB=r+BC=36 000+6 400=42 400 km.,解析如图,由题意知OB=OC+BC=36 000+6 400=42 400(km),OA=6 400 km,OAAB,(将题中所给的几何条件通过空间几何图形表示出来,找到地球表面上A点能观测到卫星点B的纬度最大值,为)在RtAOB中,cos=.又卫星信号覆盖的地球表面面积为S=2r2(1-cos)km2,地球表面积为4r2 km2,S占地球表面积的百分比为=0.42=42%,故选C.,答案C,