1、高考数学,专题三函数的概念与基本初等函数3.2二次函数与幂函数,考点一二次函数,1.(2023届兰州五十五中开学考,8)函数f(x)=x2-2|x|+5的单调增区间是()A.(-,-1)和(0,1)B.(-,-1)和(1,+)C.-1,0和1,+)D.(-1,0)和(0,1)答案C,2.(2022湖南三湘名校、五市十校联考,5)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,则“abc”是“函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A,3.(多选)(2022广东普宁段考,10)已知函数f(x)=x2-3x-4,则()A.函
2、数f(x)的图象与x轴有两个不同交点B.函数f(x)有最大值C.对任意xR,f(x)-恒成立D.xR,使得函数f(x)=答案ACD,4.(2021广东深圳一模,13)已知函数的图象关于y轴对称,且与直线y=x相切,则满足上述条件的二次函数可以为f(x)=.答案x2+(答案不唯一),5.(2022北京,14,5分)设函数f(x)=若f(x)存在最小值,则a的一个取值为;a的最大值为.答案(0,1中任意一个实数都可以,答案不唯一)1,6.(2023届安徽六安新安中学开学考,22)已知函数f(x)=x2+ax-2,aR.(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若关于x的不等式f(x)(2a
3、-1)x-6在(0,2上恒成立,求a的最大值.解析(1)当a=1时,由f(x)0得x2+x-20,即(x-1)(x+2)0,解得-2x1,所以不等式的解集为(-2,1).(2)由f(x)(2a-1)x-6得x2+(1-a)x+40,所以问题转化为x2+(1-a)x+40在(0,2上恒成立,即ax+1在(0,2上恒成立,因为x(0,2,所以x+12+1=5,当且仅当x=,即x=2时取等号,所以x+1的最小值为5,所以a5,所以a的最大值为5.,考点二幂函数,考向一幂函数的图象问题,1.(多选)(2022江苏盐城阜宁中学段测,9)若点A(m,n)在幂函数y=xa(aR)的图象上,则下列结论可能成立
4、的是()A.B.C.D.答案ABC,2.(2021河北唐山二模,3)不等式的解集是()A.B.C.D.答案B,3.(2022广东普通高中质检,15)若幂函数y=f(x)的图象过点(8,2),则函数f(x-1)-f 2(x)的最大值为.答案-,4.(2022河北保定重点高中月考,14)若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数,且其图象过点(2,4),则函数g(x)=loga(x+m)的单调增区间为.答案(1,+),考向二幂函数性质的应用,1.(2021北京延庆一模,7)已知定义在R上的幂函数f(x)=xm(m为实数)的图象过点A(2,8),记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(
5、m),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.acbC.cabD.cba答案A,2.(2022湖南邵阳、郴州二模,4)“”是“-2a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A,3.(2023届兰州五十五中开学考,15)幂函数f(x)=(mZ)为偶函数,且在区间(0,+)上是减函数,则m=.答案1,4.(2018上海,7,5分)已知-2,-1,-,1,2,3.若幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,则=.答案-1,5.(2021新高考,14,5分)写出一个同时具有下列性质的函数f(x):.f(x1x2)=f(x1)f(x2);当x(0,+
6、)时,f(x)0;f(x)是奇函数.答案f(x)=x4(xR)(答案不唯一),考法一求二次函数在闭区间上的最值(值域)的方法,1.(2023届江西上饶、景德镇六校联考,19)函数f(x)=ax2+bx-3的图象与x轴交于点(3,0)且f(1-x)=f(1+x).(1)求该函数的解析式;(2)当x-1,m时,函数f(x)=ax2+bx-3有最小值2m,求m的值.解析(1)因为f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)=ax2+bx-3的图象关于直线x=1对称,所以-=1,即b=-2a,又函数f(x)=ax2+bx-3的图象与x轴交于点(3,0),所以9a+3b-3=0,解得a=1,b=-2,所
7、以f(x)=x2-2x-3.,(2)f(x)=x2-2x-3图象的对称轴为直线x=1且开口向上.若-1m1,则当x=m时,函数f(x)=x2-2x-3取得最小值,即m2-2m-3=2m,解得m=2-或m=2+(舍去),若m1,则当x=1时,函数f(x)=x2-2x-3取得最小值,即2m=-4,解得m=-2(舍,去).综上所述,m的值为2-.,2.(2022河北保定重点高中月考,20)设函数f(x)=x2+bx+c(b,cR),已知f(x)0的解集为(-1,3).(1)求b,c的值;(2)若函数g(x)=f(x)-ax在区间0,2上的最小值为-4,求实数a的值.解析(1)由f(x)0的解集为(-
8、1,3)可知x=-1和x=3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的解,故解得b=-2,c=-3.(2)g(x)=f(x)-ax=x2-(a+2)x-3的图象开口向上,对称轴为直线x=.(i)当2,即a2时,函数g(x)在0,2上单调递减,g(x)min=g(2)=-2a-3=-4,解得a=(舍);(ii)当0,即a-2时,函数g(x)在0,2上单调递增,g(x)min=g(0)=-3-4,(舍);(iii)当02,即-2a2时,函数g(x)在0,2上先减后增,g(x)min=g=-3-=-4,解得a=-4(舍)或a=0.综上,a=0.,3.(2022山东烟台莱州一中测试,21)已知二次函数
9、f(x)=ax2+bx+c,且满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若关于x的方程f(x)-m=0在x-1,2上有解,求实数m的取值范围;(3)当xt,t+2(tR)时,求函数f(x)的最小值(用t表示).解析(1)f(x+1)-f(x)=2x+1,a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2ax+a+b=2x+1,解得a=1,b=0,又f(0)=2,c=2,f(x)=x2+2.,(2)由f(x)-m=0得,方程x2+2=m在x-1,2上有解,如图,由图可知2m6,m的取值范围为2,6.(3)xt,t+2,t0时,f(x)的最小值为f(t)=t2+2;t0,即-2t0时,f(x)的最小值为f(0)=2;t+20,即t-2时,f(x)的最小值为f(t+2)=(t+2)2+2=t2+4t+6.综上,t0时,f(x)的最小值为t2+2;-2t0时,f(x)的最小值为2;t-2时,f(x)的最小值为t2+4t+6.,考法二一元二次方程根的分布(2022重庆模拟,4)已知二次函数y=x2-4x+a的两个零点都在区间(1,+)内,则a的取值范围是()A.(-,4)B.(3,+)C.(3,4)D.(-,3)答案C,