1、第 1 页 共 4 页姓 名：报 考 专 业：准 考 证 号 码：密封线内不要写题2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案科目名称：高等代数（A 卷 B 卷）科目代码：601一、填空题(共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)1、2 2、24 3、12340aaaa二、选择题(共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分)1、D 2、A 3、C 4、C 5、C 6、D 7、B 8、D 9、A三、解答与证明题(90 分)1、（本题满分 10 分）（本题满分 10 分）解：111212111112001(1)!.1030100nnkAAAnkn
2、 2、(本题满分 12 分)(本题满分 12 分)解：在BABA21两边同时左乘以矩阵A，得到 .1011100114124211AEAEAB3、(本题满分 12 分)(本题满分 12 分)解：（1）知基321,到基321,的过度矩阵为,120111210A则基321,到基321,的过度矩阵为.3/103/23/203/11111A（2）设 向 量在 基321,，基321,下 的 坐 标 分 别 为TTzyxzyx),(,),(，则第 2 页 共 4 页,0)(zyxEAzyxzyxA它的通解为),(),(),(RkkkkzyxTT故所求的向量.321kkk4、（本题满分 10 分）（本题满分
3、 10 分）证明：设),.,(21nmnB有一组数nxxx,.,21，使得,0.2211nnxxx即.00),.,(0),.,(4321432121432121xxxxxxxxAxxxxnnB的列向量线性无关.5、（本题满分 12 分）（本题满分 12 分）(1)由题意知,0)(EAA 解之得.0,3,1ba(2),201335212A矩阵A的特征多项式为.1013213AE当1321时，只能得到特征向量为,21故矩阵A不可以对角化.6、（本题满分 12 分）（本题满分 12 分）(1)证明：显然321,是1V的基，可以得到21,是2V的基，令),3,2,1()(ifii验证432132143
4、2)32()(ff，故存在唯一的线性映射,:21VVf满足).4,3,2,1()(ifii第 3 页 共 4 页(2)解：,0)(321321zyxzyxfzyxf解得,121kzyx于是核),()ker(Lf零度.1)(fN7、（本题满分 12 分）（本题满分 12 分）解：(1)二次型矩阵为321,200011011aaaaA是其特征值，因为2)(Ar.0041111aaaaaa(2)矩阵A的特征多项式为.0,2023212AE当221时，得到两个正交的单位特征向量为,100,02/12/121当33时，得到单位特征向量为.02/12/13取,),(321QyxQ则.222221yyf(3
5、)因为.),0,0(,0223212221TTkyyyyyf 所以.)0,1,1(0,2/1,2/1TTkxQyx8、（本题满分 10 分）（本题满分 10 分）(1)证明：,),(111111111111111),(),(543215432154321Axxxxxxxxxxggggg第 4 页 共 4 页而01A,从而54321,ggggg线性无关，它是4xR的一组基；(2)4321043244332210),1()(aaaaaxxxxxaxaxaxaaxf ,),(44332211043210154321aaaaaaaaaaaaaaAggggg在此基下的坐标.443322110aaaaaa
6、aaa第 1 页 共 4 页姓 名：报 考 专 业：准 考 证 号 码：密封线内不要写题2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目名称：高等代数（A 卷 B 卷）科目代码：601考试时间：3 小时 满分 150 分可使用的常用工具：无 计算器 直尺 圆规（请在使用工具前打）1.注意：所有答题内容必须写在答题纸上，写在试题或草稿纸上的一律无效；考完后试题随答题纸交回。一、填空题(共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)1、设矩阵21,12AE为二阶单位矩阵，矩阵B满足2,BABE则B _.2、四 阶 矩 阵A与B相 似，矩 阵A的 特 征 值 为
7、1/2,1/3,1/4,1/5，则1BE_.3、已 知 线 性 方 程 组121232343144xxaxxaxxaxxa 有 解，则 常 数1234,a a a a的 关 系 为 _.二、选择题(共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分)1、设A是n阶矩阵,A是A的伴随矩阵，若1A，则行列式020AA等于 （）A.-1 B.-1 C.(1)2n D.(1)2nn2、设A是 4 阶可逆矩阵,E为 4 阶单位矩阵，若1()(),BEAEA则1()EB 等于 （）A./2EA B.EA C./2EA D.EA3、,A B都是m阶非零矩阵,若0AB ，则它们的秩 （）A.必有一个等于 0 B.一个
8、小于m，一个等于m C.都小于m D.都等于m 第 2 页 共 4 页4、向量组)1(,.,21ss的秩为r，向量组s,.,21的秩为t，向量组ss,.,.,2121的秩为m，则不正确的是 （）A.tm B.rm C.rtm,min D.rtm5、向量空间RzyxzyxxyxV,|,的维数是 （）A.0 B.不确定 C.3 D.66、若 3 维向量4不可以由向量组321,线性表出，则 （）A.向量组321,线性无关 B.向量组434241,线性相关 C.向量组434241,线性无关 D.向量组321,线性相关7、设有齐次线性方程组0m nAx，0m nBx，现在有四个命题：(1)若0m nAx
9、的解都是0m nBx的解，则.m nm nr Ar B(2)若,m nm nr Ar B则0m nAx的解都是0m nBx的解.(3)若0m nAx与0m nBx的同解，则.m nm nr Ar B(4)若,m nm nr Ar B则0m nAx与0m nBx的同解.其中正确的是 （）A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)8、设123(1,2,3)Tiiiiaaai，则三条直线1230(1,2,3)iiia xa yai（其中22120(1,2,3)iiaai）交于一点的充分必要条件是 （）A.123,线性无关 B.123,线性相关C.12312,rr D.123,线
10、性相关，12,线性无关必9、二次型323112xxxxxxf的规范性为 （）A.232221yyy B.232221yyy C.232221yyy D.232221yyy三、解答与证明题(90 分)1、（本题满分 10 分）（本题满分 10 分）第 3 页 共 4 页设n阶行列式12312001030100nn求其第一行各元素的代数余子式之和.2、(本题满分 12 分)(本题满分 12 分)设矩阵111111111A，矩阵B满足,21BABA求矩阵B.3、(本题满分 12 分)(本题满分 12 分)若向量组（1）321,，（2）321,都是某向量空间的基，且,21,23212,23213求（1
11、）基（2）到基（1）的过度矩阵；（2）在基（2）与基（1）下坐标相反的全体向量.4、（本题满分 10 分）（本题满分 10 分）若,mmnnmEBA证明B的列向量线性无关.5、（本题满分 12 分）（本题满分 12 分）已知1,1,1T是矩阵2125312Aab的一个特征向量，(1)求参数,a b以及特征向量对应的特征值;(2)问矩阵A能否对角化？说明理由.6、（本题满分 12 分）（本题满分 12 分）设,312,100,010,0014321,02050,1401,1011,14214321第 4 页 共 4 页记).,(),(4321243211LVLV(1)证明存在唯一的线性映射,:21VVf满足).4,3,2,1()(ifii(2)求).(),ker(fNf7、（本题满分 12 分）（本题满分 12 分）设二次型21232221)1(2211xxaxxaxaAxxfT的秩是 2.(1)求a的值；(2)求一个正交变换将此二次型变成标准型；(3)求0f的解.8、（本题满分 10 分）（本题满分 10 分）对于次数不超过 4 的实系数多项式线性空间,4xR(1)证明：432532423211,1,1,1,1xxxxgxxxgxxgxgg是它的一组基；(2)(2)求44332210)(xaxaxaxaaxf4xR在此基下的坐标.