1、2015年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）1（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A1+iB1iC1+iD1i2（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是（）A3B4C5D63（5分）设xR，则“x1“是“x31”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2xy的最小值为（）A1B0C1D25（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3
2、，则输出的S=（）ABCD6（5分）若双曲线=1的一条渐近线经过点（3，4），则此双曲线的离心率为（）ABCD7（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）AB2C2D48（5分）设函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），则f（x）是（）A奇函数，且在（0，1）上是增函数B奇函数，且在（0，1）上是减函数C偶函数，且在（0，1）上是增函数D偶函数，且在（0，1）上是减函数9（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则|的最大值为（）A6B7C8D910（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并
3、使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）ABCD二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）已知集合U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，则A（UB）= 12（5分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为=2sin，则曲线C的直角坐标方程为 13（5分）若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）相交于A，B两点，且AOB=120，（O为坐标原点），则r= 14（5分）已知函数f（x）=|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是 15（5分）已知0，在函数y=2s
4、inx与y=2cosx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则= 三、解答题16（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖（）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由17（12分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA（）证明：sinB=cosA；（）若sinCsinAcosB=，且B
5、为钝角，求A，B，C18（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（）证明：平面AEF平面B1BCC1；（）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积19（13分）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=2，an+2=3SnSn+1+3，nN*，（）证明an+2=3an；（）求Sn20（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（ab0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向（）求C2的方程；（）若|AC|=|
6、BD|，求直线l的斜率21（13分）已知a0，函数f（x）=aexcosx（x0，+），记xn为f（x）的从小到大的第n（nN*）个极值点（）证明：数列f（xn）是等比数列；（）若对一切nN*，xn|f（xn）|恒成立，求a的取值范围2015年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A1+iB1iC1+iD1i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值【解答】解：已知=1+i（i为虚数单位），z=1i，故选：D【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题2（5分）在
7、一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是（）A3B4C5D6【分析】对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是130，138，139，151，152，153，根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，所以成绩在区间139，151中共有20名运动员，抽取人数为20=4；故选：B【点评】本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽
8、取比例3（5分）设xR，则“x1“是“x31”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用充要条件的判断方法判断选项即可【解答】解：因为xR，“x1“x31”，所以“x1“是“x31”的充要条件故选：C【点评】本题考查充要条件的判断，基本知识的考查4（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2xy的最小值为（）A1B0C1D2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（0，1）z=2xy的最小值为201=1故选：A【点评】本题考查了简单的线性规划，考查
9、了数形结合的解题思想方法，是中档题5（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）ABCD【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，in，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S=故选：B【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力6（5分）若双曲线=1的一条渐近线经过点（3，4），则此双曲线的离心率为（）ABCD【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可【解答】解
10、：双曲线=1的一条渐近线经过点（3，4），可得3b=4a，即9（c2a2）=16a2，解得=故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查7（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）AB2C2D4【分析】由+=，可判断a0，b0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值【解答】解：+=，a0，b0，（当且仅当b=2a时取等号），解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题8（5分）设函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），则f（x）是（）A奇函数，且在（0，1）上是增函数B奇函数，且在（0，1）上是减函数
11、C偶函数，且在（0，1）上是增函数D偶函数，且在（0，1）上是减函数【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），函数的定义域为（1，1），函数f（x）=ln（1x）ln（1+x）=ln（1+x）ln（1x）=f（x），所以函数是奇函数排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）ln（1）=ln31，显然f（0）f（），函数是增函数，所以B错误，A正确故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力9（5分）已知A
12、，B，C在圆x2+y2=1上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则|的最大值为（）A6B7C8D9【分析】由题意，AC为直径，所以|=|2+|B为（1，0）时，|2+|7，即可得出结论【解答】解：由题意，AC为直径，所以|=|2+|所以B为（1，0）时，|2+|7所以|的最大值为7另解：设B（cos，sin），|2+|=|2（2，0）+（cos2，sin）|=|（cos6，sin）|=，当cos=1时，B为（1，0），取得最大值7故选：B【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础10（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正
13、方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）ABCD【分析】由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求【解答】解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为3，所以圆锥的高为2，圆锥是体积为；其内接正方体的棱长为x，则，解得x=，所以正方体的体积为，所以原工件材料的利用率为：=；故选：A【点评】本题考查了由几何体的三视图得到几何体的体积以及几何体的内接正方体棱长的求法；正确还原几何体以及计算内接正方体的体积是关键，属于中档题二、填空题（本大题共5小题，
14、每小题5分，共25分）11（5分）已知集合U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，则A（UB）=1，2，3【分析】首先求出集合B的补集，然后再与集合A取并集【解答】解：集合U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，所以UB=2，所以A（UB）=1，2，3故答案为：1，2，3【点评】本题考查了集合的交集、补集、并集的运算；根据定义解答，属于基础题12（5分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为=2sin，则曲线C的直角坐标方程为x2+（y1）2=1【分析】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可【解答】解：曲线C的极坐标方程为
15、=2sn，即2=2sn，它的直角坐标方程为：x2+y2=2y，即x2+（y1）2=1故答案为：x2+（y1）2=1【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，基本知识的考查13（5分）若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）相交于A，B两点，且AOB=120，（O为坐标原点），则r=2【分析】若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）交于A、B两点，AOB=120，则AOB为顶角为120的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案【解答】解：若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）交于A、B两
16、点，O为坐标原点，且AOB=120，则圆心（0，0）到直线3x4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x4y+5=0的距离d=r是解答的关键14（5分）已知函数f（x）=|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是0b2【分析】由函数f（x）=|2x2|b有两个零点，可得|2x2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数f（x）=|2x2|b有两个零点，可得|2x2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x2|函数y=
17、b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0b2时符合条件，故答案为：0b2【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质15（5分）已知0，在函数y=2sinx与y=2cosx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则=【分析】根据正弦线，余弦线得出交点（k1，），（k2，），k1，k2都为整数，两个交点在同一个周期内，距离最近，即可得出方程求解即可【解答】解：函数y=2sinx与y=2cosx的图象的交点，根据三角函数线可得出交点（k1，），（k2，），k1，k2都为整数，距离最短的两个交点的距离为
18、2，这两个交点在同一个周期内，12=（）2+（）2，=故答案为：【点评】本题考查了三角函数的图象和性质，三角函数线的运用，属于中档题，计算较麻烦三、解答题16（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖（）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由【分析】（）中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；（）在（）中求出摸出的2
19、个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的【解答】解：（）所有可能的摸出的结果是：A1，a1，A1，a2，A1，b1，A1，b2，A2，a1，A2，a2，A2，b1，A2，b2，B，a1，B，a2，B，b1，B，b2；（）不正确理由如下：由（）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：A1，a1，A1，a2，A2，a1，A2，a2，共4种，中奖的概率为不中奖的概率为：1故这种说法不正确【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求基本事件个数，是基础题17（12分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为
20、a，b，c，a=btanA（）证明：sinB=cosA；（）若sinCsinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C【分析】（）由正弦定理及已知可得=，由sinA0，即可证明sinB=cosA（）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinCsinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C【解答】解：（）证明：a=btanA=tanA，由正弦定理：，又tanA=，=，sinA0，sinB=cosA得证（）sinC=sin（A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，s
21、inCsinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，sin2B=，0B，sinB=，B为钝角，B=，又cosA=sinB=，A=，C=AB=，综上，A=C=，B=【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题18（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（）证明：平面AEF平面B1BCC1；（）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积【分析】（）证明AEBB1，AEBC，BCBB1=B，推出AE平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平
22、面AEF平面B1BCC1；（）取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，就是CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积【解答】（）证明：几何体是直棱柱，BB1底面ABC，AE底面ABC，AEBB1，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，AEBC，BCBB1=B，AE平面B1BCC1，AE平面AEF，平面AEF平面B1BCC1；（）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（）可知CG平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，就是CA1G，则A1G=CG=，AA1=，CF=三棱锥FAEC的体积：=【点评】本题考
23、查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力19（13分）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=2，an+2=3SnSn+1+3，nN*，（）证明an+2=3an；（）求Sn【分析】（）当n2时，通过an+2=3SnSn+1+3与an+1=3Sn1Sn+3作差，然后验证当n=1时命题也成立即可；（）通过（I）写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可【解答】（）证明：当n2时，由an+2=3SnSn+1+3，可得an+1=3Sn1Sn+3，两式相减，得an+2an+1=3anan+1，an+2=3an，当n=1时，有a3=3S
24、1S2+3=31（1+2）+3=3，a3=3a1，命题也成立，综上所述：an+2=3an；（）解：由（I）可得，其中k是任意正整数，S2k1=（a1+a2）+（a3+a4）+（a2k3+a2k2）+a2k1=3+32+3k1+3k1=+3k1=3k1，S2k=S2k1+a2k=3k1+23k1=，综上所述，Sn=【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题20（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（ab0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向（）求C2的
25、方程；（）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率【分析】（）通过C1方程可知a2b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可【解答】解：（）由C1方程可知F（0，1），F也是椭圆C2的一个焦点，a2b2=1，又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，易得C1与C2的公共点的坐标为（，），又a2b2=1，
26、a2=9，b2=8，C2的方程为+=1；（）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），与同向，且|AC|=|BD|，=，x1x2=x3x4，（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，由，可得x24kx4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=4，由，得（9+8k2）x2+16kx64=0，由韦达定理可得x3+x4=，x3x4=，又（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，16（k2+1）=+，化简得16（k2+1）=，（9+8k2）2=169，解得k=，即直线l的斜率为【点评】
27、本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题21（13分）已知a0，函数f（x）=aexcosx（x0，+），记xn为f（x）的从小到大的第n（nN*）个极值点（）证明：数列f（xn）是等比数列；（）若对一切nN*，xn|f（xn）|恒成立，求a的取值范围【分析】（）求出函数的导数，令导数为0，求得极值点，再由等比数列的定义，即可得证；（）由n=1可得a的范围，运用数学归纳法证8n4n+3，当a时，验证得|f（xn+1）|xn+1，即可得到a的范围【解答】（）证明：函数f（x）=aexcosx的导数为f（x）
28、=aex（cosxsinx），a0，x0，则ex1，由f（x）=0，可得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=k+，k=0，1，2，当k为奇数时，f（x）在k+附近左负右正，当k为偶数时，f（x）在k+附近左正右负故x=k+，k=0，1，2，均为极值点，xn=（n1）+=n，f（xn）=acos（n），f（xn+1）=acos（n+），当n为偶数时，f（xn+1）=ef（xn），当n为奇数时，f（xn+1）=ef（xn），即有数列f（xn）是等比数列；（）解：由于x1|f（x1）|，则a，解得a，下面证明8n4n+3当n=1时，87显然成立，假设n=k时，8k4k+3，当n=k+1时，8k+1=88k8（4k+3）=32k+24=4（k+1）+28k+204（k+1）+3，即有n=k+1时，不等式成立综上可得8n4n+3（nN+），由e8，当a时，由（）可得|f（xn+1）|=|（e）|n|f（x1）|8n|f（x1）|=8nf（x1）（4n+3）x1xn+1，nN+，综上可得a成立【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查不等式的恒成立问题，同时考查等比数列的通项公式和数学归纳法证明不等式的方法，以及不等式的性质，属于难题第23页（共23页）