1、绝密启用前 2004年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1若tg=,则tg(+)= .2设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=1,则它的焦点坐标为 .3设集合
2、A=5,log2(a+3),集合B=a,b.若AB=2,则AB= .4设等比数列an(nN)的公比q=,且(a1+a3+a5+a2n-1)=,则a1= .5设奇函数f(x)的定义域为5,5.若当x0,5时, f(x)的图象如右图,则不等式f(x)0的解是 .6已知点A(1, 2),若向量与=2,3同向, =2,则点B的坐标为 .7在极坐标系中,点M(4,)到直线l: (2cos+sin)=4的距离d= .8圆心在直线2xy7=0上的圆C与y轴交于两点A(0, 4),B(0, 2),则圆C的方程为 .9若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结果用分数表示)
3、10若函数f(x)=a在0,+上为增函数,则实数a、b的取值范围是 .11教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 .12若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设an是公比为q的无穷等比数列,下列an的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号) S1与S2; a2与S3; a1与an; q与an. 其中n为大于1的整数, Sn为an的前n项和.二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13在下列关于直线l、m与平面、的命题中,真命题是（ ）A若l且,则l. B若l且,则l.C若l且,则l. D若=m且lm,则l.14已
4、知是周期为2的函数，当的解集为 （ ） Axx=2k+,kZ. Bx|x=2k+,kZ.Cxx=2k,kZ. Dx|x=2k+(1)K,kZ.15若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到,则f(x)=（ ） A10x1. B10x1. C110x. D110x.16某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280 行业名称计算机来营销机械建筑化工招聘人数来 124620102935891157651670436 若用同一行业中应聘人数与招聘人
5、数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是（ ） A计算机行业好于化工行业. B建筑行业好于物流行业.C机械行业最紧张. D营销行业比贸易行业紧张.三、解答题(本大题满分86分)17(本题满分12分) 已知复数z1满足(1+i)z1=1+5i, z2=a2i, 其中i为虚数单位,aR, 若,求a的取值范围.18(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8m2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 19(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满
6、分8分. 记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg(xa1)(2ax)(a3时,关于x的方程f(x)= f(a) 有三个实数解. 21(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分 如图，PABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF底面ABC, 且棱台DEFABC与棱锥PABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1)证明：PABC为正四面体；(2)若PD=PA, 求二面角DBCA的大小；(结果用反三角函数值表示)(3)设棱台DEFABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,
7、使得它与棱台DEFABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由. 22(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分, 第3小题满分4分. 设P1(x1,y1), P1(x2,y2), Pn(xn,yn)(n3,nN) 是二次曲线C上的点, 且a1=2, a2=2, , an=2构成了一个公差为d(d0) 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记Sn=a1+a2+an.(1)若C的方程为=1,n=3. 点P1(10,0) 及S3=255, 求点P3的坐标； (只需写出一个)(2)若C的方程为(ab0). 点P1(a,0), 对于给定
8、的自然数n, 当公差d变化时, 求Sn的最小值；(3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1, P2,，Pn存在的充要条件,并说明理由.符号意义本试卷所用符号等同于实验教材符号向量坐标 =x,y=(x,y)正切tgtan 2004年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案（理工类）（上海卷）一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)13 2(5,0) 31,2,5 42 5(2,0)(2,5 6(5,4)7 8(x2)2+(y+3)2=5 9 10a0且b0 11用代数的方法研究图形的几何性质 12、二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)1
9、3B 14C 15A 16B三、解答题(本大题满分86分)17【解】由题意得 z1=2+3i, 于是=,=. 由,得a28a+70,1a7.18【解】由题意得 xy+x2=8,y=(0x4). 于是, 框架用料长度为 l=2x+2y+2()=(+)x+=4. 当(+)x=,即x=84时等号成立. 此时, x2.343,y=22.828. 故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.19【解】(1)20, 得0, x0, 得(xa1)(x2a)0.a2a, B=(2a,a+1).BA, 2a1或a+11, 即a或a2, 而a1,a0),它的图象与直线y=x的交点分别为 A(,)B(,)
10、 由=8,得k=8,. f2(x)=.故f(x)=x2+. (2) 【证法一】f(x)=f(a),得x2+=a2+, 即=x2+a2+. 在同一坐标系内作出f2(x)=和f3(x)= x2+a2+的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)的图象是以(0, a2+)为顶点,开口向下的抛物线. 因此, f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点, 即f(x)=f(a)有一个负数解. 又f2(2)=4, f3(2)= 4+a2+ 当a3时,. f3(2)f2(2)= a2+80， 当a3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f3(2)在
11、f2(x)图象的上方. f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解. 因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解. 【证法二】由f(x)=f(a),得x2+=a2+, 即(xa)(x+a)=0,得方程的一个解x1=a. 方程x+a=0化为ax2+a2x8=0, 由a3,=a4+32a0,得 x2=, x3=, x20, x1 x2,且x2 x3. 若x1= x3,即a=,则3a2=, a4=4a, 得a=0或a=,这与a3矛盾, x1 x3. 故原方程有三个实数解.21【证明】(1) 棱台DEFABC与棱锥PABC的棱长和相等, DE+EF+FD=PD+P
12、E+PF. 又截面DEF底面ABC, DE=EF=FD=PD=PE=PF,DPE=EPF=FPD=60, PABC是正四面体. 【解】(2)取BC的中点M,连接PM,DM.AM. BCPM,BCAM, BC平面PAM,BCDM, 则DMA为二面角DBCA的平面角. 由(1)知,PABC的各棱长均为1, PM=AM=,由D是PA的中点,得 sinDMA=,DMA=arcsin.(3)存在满足条件的直平行六面体. 棱台DEFABC的棱长和为定值6,体积为V. 设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为, 则该六面体棱长和为6, 体积为sin=V. 正四面体PABC的体积是,0V,08Vb0)上各
13、点的最小距离为b,最大距离为a. a1=2=a2, d0,且an=2=a2+(n1)db2, d0 Sn=na2+d在,0)上递增, 故Sn的最小值为na2+=. 【解法二】对每个自然数k(2kn), 由x+y=a2+(k1)d,解得y=+=1 0 yb2,得d0 d0. 原点O到双曲线C上各点的距离h,+,且=a2, 点P1, P2,，Pn存在当且仅当22,即d0. 【解法二】若抛物线C:y2=2Px,点P1(0,0), 则对于给定的n, 点P1, P2,Pn存在的充要条件是d0.理由同上 【解法三】若圆C:(xa)2+y2=a2(a0), P1(0,0), 则对于给定的n, 点P1, P2,，Pn存在的充要条件是00且2=(n1)d4a2.即0d. 即