1、2019年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）1（3分）（2019长沙）下列各数中，比小的数是ABC0D12（3分）（2019长沙）根据长沙市电网供电能力提升三年行动计划，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求数据15000000000用科学记数法表示为ABCD3（3分）（2019长沙）下列计算正确的是ABCD4（3分）（2019长沙）下列事件中，是必然事件的是A购买一张彩票，中奖B射击运动员射击一次，命中靶心C经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D任意画一个三角形，其内角和是5（3分）（2019长沙）如图，平
2、行线，被直线所截，则的度数是ABCD6（3分）（2019长沙）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是ABCD7（3分）（2019长沙）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的A平均数B中位数C众数D方差8（3分）（2019长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积是ABCD9（3分）（2019长沙）如图，中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是ABCD10（3分）（2019长沙）如图，一艘轮船从位于
3、灯塔的北偏东方向，距离灯塔的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时轮船与小岛的距离是ABCD11（3分）（2019长沙）孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是ABCD12（3分）（2019长沙）如图，中，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是ABCD10二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13（3分）
4、（2019长沙）式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是14（3分）（2019长沙）分解因式： 15（3分）（2019长沙）不等式组的解集是16（3分）（2019长沙）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数100100050001000050000100000“摸出黑球”的次数36387201940091997040008“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）0.3600.3870.4040.4010.3990.400根据
5、试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是（结果保留小数点后一位）17（3分）（2019长沙）如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，分别取，的中点，测得，则的长是18（3分）（2019长沙）如图，函数为常数，的图象与过原点的的直线相交于，两点，点是第一象限内双曲线上的动点（点在点的左侧），直线分别交轴，轴于，两点，连接分别交轴，轴于点，现有以下四个结论：与的面积相等；若于点，则；若点的横坐标为1，为等边三角形，则；若，则其中正确的结论的序号是（只填序号）三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、
6、26题每小题6分，共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）19（6分）（2019长沙）计算：20（6分）（2019长沙）先化简，再求值：，其中21（8分）（2019长沙）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图等级频数频率优秀21良好合格6待合格3（1）本次调查随机抽取了名学生；表中，；（2）补全条形统计图；（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和
7、“良好”等级的学生共有多少人22（8分）（2019长沙）如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点（1）求证：；（2）若，求的长23（9分）（2019长沙）近日，长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见，鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？24（9分）（2019长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四
8、边形叫做相似四边形相似四边形对应边的比叫做相似比（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假” 四条边成比例的两个凸四边形相似；命题）三个角分别相等的两个凸四边形相似；命题）两个大小不同的正方形相似命题）（2）如图1，在四边形和四边形中，求证：四边形与四边形相似（3）如图2，四边形中，与相交于点，过点作分别交，于点，记四边形的面积为，四边形的面积为，若四边形与四边形相似，求的值25（10分）（2019长沙）已知抛物线，为常数）（1）若抛物线的顶点坐标为，求，的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求的取值范围；（3）在
9、（1）的条件下，存在正实数，当时，恰好，求，的值26（10分）（2019长沙）如图，抛物线为常数，与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点的坐标为，连接并延长与过，三点的相交于点（1）求点的坐标；（2）过点作的切线交轴于点如图1，求证：；如图2，连接，当，时，求的值2019年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）1（3分）下列各数中，比小的数是ABC0D1【分析】有理数大小比较的法则：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可【解答】解：，所以比小的数是，故选：2（3分）根据长沙市电网供电能力提升三
10、年行动计划，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求数据15000000000用科学记数法表示为ABCD【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数【解答】解：数据150 0000 0000用科学记数法表示为故选：3（3分）下列计算正确的是ABCD【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答即可【解答】解：、与不是同类项，故不能合并，故选项不合题意；、，故选项符合题意；、
11、，故选项不符合题意；、，故选项不合题意故选：4（3分）下列事件中，是必然事件的是A购买一张彩票，中奖B射击运动员射击一次，命中靶心C经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D任意画一个三角形，其内角和是【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的【解答】解：购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；任意画一个三角形，其内角和是，属于必然事件，符合题意；故选：5（3分）如图，平行线，被直线所截，则的度数是ABCD【
12、分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案【解答】解：，故选：6（3分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是ABCD【分析】根据几何体的三视图判断即可【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥故选：7（3分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的A平均数B中位数C众数D方差【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可【解答】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，故只要知道自己的成绩和中
13、位数就可以知道是否进入决赛了故选：8（3分）一个扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积是ABCD【分析】根据扇形的面积公式计算即可【解答】解：，故选：9（3分）如图，中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是ABCD【分析】根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案【解答】解：在中，由作图可知为的中垂线，故选：10（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时轮船与小岛的距离是ABCD【分析】过点作，则在中易得的长，再在直角中求出，相加可得的长【解答
14、】解：过作于点，（海里）在中，（海里）在中，（海里），答：此时轮船所在的处与灯塔的距离是海里故选：11（3分）孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是ABCD【分析】根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决【解答】解：由题意可得，故选：12（3分）如图，中，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是ABCD10【分析】如图，作于，于由，设，利用勾股定理
15、构建方程求出，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题【解答】解：如图，作于，于，设，则有：，或（舍弃），（等腰三角形两腰上的高相等），的最小值为故选：二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13（3分）式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案【解答】解：式子在实数范围内有意义，则，故实数的取值范围是：故答案为：14（3分）分解因式：【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【解答】解：故答案为：15（3分）不等式组的解集是【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集【解答】解：解不
16、等式得：，解不等式得：，不等式组的解集为：，故答案为：16（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数100100050001000050000100000“摸出黑球”的次数36387201940091997040008“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）0.3600.3870.4040.4010.3990.400根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是0.4（结果保留小数点后一位）【分析】大量重复试验下摸球的频率可以
17、估计摸球的概率，据此求解；【解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近，故摸到白球的频率估计值为0.4；故答案为：0.417（3分）如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，分别取，的中点，测得，则的长是100【分析】先判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，问题得解【解答】解：点，分别是，的中点，是的中位线，米故答案为：10018（3分）如图，函数为常数，的图象与过原点的的直线相交于，两点，点是第一象限内双曲线上的动点（点在点的左侧），直线分别交轴，轴于，两点，连接分别交轴，轴于点，现有以下四个结论：与的面积相等
18、；若于点，则；若点的横坐标为1，为等边三角形，则；若，则其中正确的结论的序号是（只填序号）【分析】设点，构建一次函数求出，坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断不一定是等边三角形，故结论不一定成立设，由为等边三角形，推出，可得，推出，根据，构建方程求出即可判断如图，作交于利用平行线分线段成比例定理解决问题即可【解答】解：设点，则直线的解析式为，与的面积相等，故正确；反比例函数与正比例函数关于原点对称，是的中点，不一定等于，不一定是，不一定是故错误，点的横坐标为1，可以假设，为等边三角形，故正确，如图，作交于，故正确故答案为三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每
19、小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）19（6分）计算：【分析】根据绝对值的意义、二次根式的除法法则、负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算【解答】解：原式20（6分）先化简，再求值：，其中【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将的值代入进行计算即可【解答】解：原式，当时，原式21（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制
20、了如下不完整的统计表和条形统计图等级频数频率优秀21良好合格6待合格3（1）本次调查随机抽取了50名学生；表中，；（2）补全条形统计图；（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人【分析】（1）用优秀的人数除以优秀的人数所占的百分比即可得到总人数；（2）根据题意补全条形统计图即可得到结果；（3）全校2000名乘以“优秀”和“良好”等级的学生数所占的百分比即可得到结论【解答】解：（1）本次调查随机抽取了名学生，故答案为：50，20，12；（2）补全条形统计图如图所示；（3）人，答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有16
21、40人22（8分）如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点（1）求证：；（2）若，求的长【分析】（1）由正方形的性质得出，得出，由证明，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出，得出，因此，由勾股定理得出，在中，由三角形面积即可得出结果【解答】（1）证明：四边形是正方形，在和中，；（2）解：由（1）得：，在中，23（9分）近日，长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见，鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，
22、求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？【分析】（1）设增长率为，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解；（2）用增长率），计算即可求解【解答】解：（1）设增长率为，根据题意，得，解得（舍去），答：增长率为（2）（万人）答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次24（9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形相似四边形对应边的比叫做相似比（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假” 四条边成比例的两
23、个凸四边形相似；假命题）三个角分别相等的两个凸四边形相似；命题）两个大小不同的正方形相似命题）（2）如图1，在四边形和四边形中，求证：四边形与四边形相似（3）如图2，四边形中，与相交于点，过点作分别交，于点，记四边形的面积为，四边形的面积为，若四边形与四边形相似，求的值【分析】（1）根据相似多边形的定义即可判断（2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可（3）四边形与四边形相似，证明相似比是1即可解决问题，即证明即可【解答】（1）解：四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例两个大小不同的正方形相似是真命题故答案
24、为假，假，真（2）证明：如图1中，连接，且，四边形与四边形相似（3）如图2中，四边形与四边形相似，25（10分）已知抛物线，为常数）（1）若抛物线的顶点坐标为，求，的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数，当时，恰好，求，的值【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式可知，易得、的值；（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是，代入函数解析式，经过化简得到，易得；（3）由题意知，抛物线为，则利用不等式的性质推知：，易得由二次函数图象的性质得到：当时，当时，所以，通过解方程求得、的值【解答】解：（1）由题可知，抛
25、物线解析式是：，（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是，代入解析式可得：两式相加可得：，；（3）由（1）可知抛物线为，当时，恰好，即抛物线的对称轴是，且开口向下，当时，随的增大而减小当时，当时，又，将整理，得，变形，得，解得（舍去），同理，由得到：，解得，（舍去），（舍去）综上所述，26（10分）如图，抛物线为常数，与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点的坐标为，连接并延长与过，三点的相交于点（1）求点的坐标；（2）过点作的切线交轴于点如图1，求证：；如图2，连接，当，时，求的值【分析】（1）令，可得，则点坐标可求出；（2）连接，连接延长交轴于点，由切线的性质可证得，则；设，由，可得，由可得，则，综合整理代入可求出的值【解答】解：（1）令，；（2）证明：如图，连接，连接延长交轴于点，过、三点，为顶点，又，为切线，又，解：设，即，由切割线定理得：，由角平分线定理：，即：，由得，整理得：，声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/7/9 8:47:46；用户：数学；邮箱：85886818-2；学号：27755521第30页（共30页）