1、 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司 13.2 命题与证明专题一 三角形中的计算与证明题1.已知ABC的高为AD，BAD=70，CAD=20，求BAC的度数。2.如图，已知ABDE，试求证：A+ACD+D=3600（你有几种证法?）3.在研究三角形内角和等于180的证明方法时，小明和小虎分别给出了下列证法.小明：在ABC中，延长BC到D，ABCDACD=A+B（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.又ACD+ACB=180（平角定义），A+B+ACB=180（等式的性质）.小虎：在ABC中，作CDAB（如图9），CDAB（已知），ADC=BDC=90（直角定义）.A+ACD=90，B+BCD=
2、90（直角三角形两锐角互余）.A+ACD+B+BCD=180（等式的性质）.A+B+ACB=180.请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法，与同伴交流.专题二 证明中的探究题4.（1）如图12与BC有什么关系？为什么？（2）把图ABC沿DE折叠，得到图，填空：12_BC(填“”“”“=”)，当A40时，BC12_.（3）如图,是由图的ABC沿DE折叠得到的,如果A30,则xy360（BC12）360 ,猜想BDACEA与A的关系为 .图 图 图 5.如图，已知，探究之间的关系，并写出证明过程【知识要点】1.判断一件事情的语句叫命题,命题
3、都由题设和结论两部分构成,分为真命题和假命题,都可以改写成“如果那么”的形式,任何一个命题都有逆命题.2.三角形内角和等于180,可利用平行线的有关知识证明.三角形三个外角的和等于360,每个外角等于和其不相邻的两个内角的和,因此三角形的外角大于和它不相邻的任一个内角.【温馨提示】1.命题有逆命题,但定理不一定有逆定理.2.要说明一个命题不成立,只要举出一个反例即可,反例满足命题的题设,但不满足结论.3.“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”不能说成“三角形的一个外角大于一个内角”.4.在证明一个命题的正确性时,每步都要有根据,根据可以是公理、定义、已知条件或已经证明的定理等.【方法
4、技巧】1.要会判断一个语句是否为命题，需注意两点：（1）命题必须是一个完整的语句,通常是陈述句(包括肯定句和否定句);(2)必须对某件事情做出肯定或否定的判断.两者缺一不可.2.在证明或计算三角形的角度大小关系时,要注意“三角形三个内角的和等于180”这一隐含条件,合理地构造方程或方程组,以便正确求解.3.要证明角的不等关系时,经常用三角形的外角性质来证明,在证明时,如果直接证明有难度,可连接两点,或延长某边,构造三角形,使求证的大角(或它的一部分)处于某个三角形的外角的位置上,小角处在内角的位置上,再结合不等式的性质证明.参考答案1.（1）当高AD在ABC的内部时，因为BAD=70，CAD=
5、20，所以BAC=BAD+CAD=70+20=90;（2）当高AD在ABC的外部时，因为BAD=70，CAD=20，所以BAC=BAD-CAD=70-20=50.综合（1）、（2）可知BAC的度数为90或50.2.证法一：如图1，过点C作CFAB。ABCD（已知），CFDE（两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），A+1=1800 D+2=1800（ 两直线平行，同旁内角互补），A+1 +2+D=3600（等式性质），即A+ACD+D =3600证法二：如图2，过点C作CFAB。ABCD（已知），CFDE（两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），A=ACF D=
6、DCF（ 两直线平行，内错角相等），ACD +ACF+DCF=3600（ 周角定义），A+ACD+D =3600（ 等式性质） 3.两名同学的证法都不对.因为“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和”与“直角三角形两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导的.另证：已知：如图10,ABC，求证：A+B+C=180.证明：过点A作EFBC，EAB=B，FAC=C(两直线平行，内错角相等).EAB+BAC+FAC=180(平角定义)，B+BAC+C=180.4.(1)1+2+A=180, A+B+C=180(三角形内角和等于180),1+2=B+C(等式的性质);(2) = 280(3)300 60 BDACEA=2A5.证明：如图6，连接（已知），（两直线平行，同旁内角互补）又（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），也就是，即