1、教 案教学基本信息课题正方形的判定学科数学学段： 第三学段年级八年级教材书名： 数学 八年级下册 出版社：北京出版社 出版日期：2016 年4 月姓名单位设计者杨臻荣北京市第一六一中学回龙观学校实施者杨臻荣北京市第一六一中学回龙观学校指导者吴春霞北京市昌平区教师进修学校李娟北京市昌平区回龙观学校课件制作者杨臻荣北京市第一六一中学回龙观学校教学目标及教学重点、难点本节课的内容为正方形的判定方法，是在学习了平行四边形、矩形、菱形等有关知识的基础上，进一步掌握正方形的判定方法.通过对比理解正方形判定方法与平行四边形，矩形，菱形判定方法的联系和区别，提高学生的逻辑推理能力.教学重点：正方形的判定方法教
2、学难点：正方形的判定方法的探究及应用教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入复习引入：我们已经学习了平行四边形，矩形和菱形，它们是如何判定的？矩形和菱形都是特殊的平行四边形。我们知道，把平行四边形的角特殊化，使其有一个角是直角得到了矩形，边特殊化使其有一组邻边相等得到了菱形。那么如果平行四边形的边和角一起特殊化，使其既有一个角是直角，又有一组邻边相等能够得到什么呢？当平行四边形有一个角是直角，又有一组邻边相等时，我们会得到正方形。我们知道正方形的定义是：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。正方形的定义既是性质也是判定。有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行
3、四边形是矩形，由正方形，矩形，菱形的定义我们知道，判定一个四边形是正方形的关键就在于判定它既是菱形又是矩形. 下面我们来一起探究一下正方形有哪些判定方法。复习回顾，唤起动机新课我们一起来看一个实际问题。明明在商场中想买一块正方形纱巾，但不知是否是正方形的，只见售货员阿姨拉起纱巾的一组对角，能完全重合，重合后变成三角形，在此基础上，将另两个顶点再对折，也能完全重合. 阿姨认为这样能够证明是正方形，把纱巾给了明明，你认为明明手上的纱巾一定是正方形吗？思考：“对折两次，能够完全重合”实际上告诉了我们什么？（图形演示）答：四边相等，对角线互相垂直平分，即纱巾的两条对角线所在的直线是对称轴.由此我们只能
4、保证纱巾是菱形.问题1：如果要判断纱巾是正方形，还需要检验什么？也就是要使一个菱形成为正方形，还需要添加什么条件？答：我们由定义出发，改变菱形的角，当菱形的一个角变成直角时，菱形就变成了正方形。如果从对角线来考虑，在菱形的基础上，对角线满足什么条件可以得到正方形？在菱形的基础上要想说明它是正方形，就需要判断它还是矩形，我们知道对角线相等是矩形的特性，那么菱形加上对角线相等能否得到正方形？猜想：对角线相等的菱形是正方形。先把文字语言转化为图形语言和符号语言，画出图形，然后写出已知和求证。已知:四边形ABCD是菱形，AC=BD.求证:四边形ABCD是正方形.证明：四边形ABCD是菱形， 四边形AB
5、CD是平行四边形， AC=BD， 四边形ABCD是矩形. DAB=90. 四边形ABCD是正方形. AB=AD.由此我们得到正方形第一个判定途径，在菱形的基础上，判定有一个角是直角或对角线相等。注意这里“或”字表示二者满足其一即可，也就是在证明的时候，满足有一个角是直角或对角线相等中的一个即可。我们将它由文字语言转化为符号语言：四边形ABCD是菱形，BAD=90度（或AC=BD），四边形ABCD是正方形.这是正方形的第一个判定途径. 问题2：如果要使一个矩形成为正方形，需要添加什么条件？答：由定义出发，实际上改变矩形的边，当矩形有一组邻边相等时，就得到了正方形。在矩形的基础上，对角线满足什么条
6、件可以得到正方形？实际上就是让我们判断它还是菱形，我们知道对角线互相垂直是菱形的特性，那么矩形加上对角线互相垂直能否得到正方形？猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形.画出图形，写出已知求证。已知:四边形ABCD是矩形，ACBD.求证:四边形ABCD是正方形.证明：四边形ABCD是平行四边形， DAB=90.ACBD， 四边形ABCD是菱形，依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 AB=AD. 四边形ABCD是正方形.由此我们得到正方形第二个判定途径，在矩形的基础上：判定有一组邻边相等或者对角线互相垂直. 它的符号语言是：四边形ABCD是矩形，BA=BC（或ACBD），四边形ABCD是正方形.问
7、题3：在四边形的基础上，添加什么条件可以得到正方形？判断一个正方形的关键就是判断它既是矩形又是菱形。我们知道对角线互相平分是平行四边形的性质，对角线相等是矩形的特性，对角线互相垂直是菱形的特性，那么四边形加上对角线相等且互相垂直平分能否得到正方形？猜想：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形. 画出图形，写出已知求证。已知:在四边形ABCD中，AC=BD，ACBD，OA=OC，OB=OD.求证:四边形ABCD是正方形.证明：OA=OC，OB=OD，四边形ABCD是平行四边形.AC=BD， 四边形ABCD是矩形.DAB=90.ACBD，四边形ABCD是菱形AB=AD， 四边形ABCD是正方形.
8、由此我们得到正方形第三个判定途径，在四边形的基础上：判定对角线相等，并且互相垂直平分. 它的符号语言是：AC=BD，ACBD，AO=CO，BO=DO，四边形ABCD是正方形.问题4： 菱形，矩形，正方形间有怎样的联系与区别？比较菱形，矩形，正方形间的联系与区别，归纳正方形判定方法，培养归纳能力.例题例题 ：判断下列说法是否正确？为什么？（1）如果一个菱形的两条对角线相等，那么它一定是正方形.（2）如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么它一定是正方形.（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形，一定是正方形.（4）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形.分析：（1）在菱形基础上加对角线相等就得
9、到了正方形.因此这道题是正确的.（2） 在矩形的基础上加上对角线互相垂直就得到了正方形.因此这道题也是正确的.（3） 平行四边形加上菱形的特性得到菱形，加上矩形的特性，得到矩形，矩形加菱形得到正方形。因此这道题也是正确的.（4） 这样利用菱形加上矩形就得到了正方形。所以是正确的。通过上面这4道判断题，我们可以更深刻的感受到，判断一个四边形是不是正方形的关键就在于判定它既是菱形又是矩形。例 如图，在Rt CBD中，CF为ACB的平分线，FDAC于D，FEBC于点E，试说明四边形CDFE是正方形.分析：要想证明四边形CDFE是正方形，关键在于判定它既是矩形又是菱形。我们来分析一下题目中的已知条件。
10、由FDAC，FEBC，ACB=90o ，根据矩形的判定定理，我们可以判定四边形CDFE是矩形. 由此我们思考：矩形加什么条件可以得到正方形呢？ 我们知道判定正方形的关键在于判定它既是矩形又是菱形。在矩形的基础上添加一组邻边相等，或对角线互相垂直可以得到正方形。 由题目我们知道CF为ACB的平分线，利用角平分线定理，角平分线上一点到角两边的距离相等，可以得到FD=FE. 这样在矩形的基础上加一组邻边相等就得到了正方形。 解：EFBC，FDAC， ACB=90o 四边形EFDC为矩形.又CF平分ACB， FD=FE . 矩形ECDF为正方形（此题用有一组邻边相等的矩形判定）例题 如图，在平面直角坐
11、标系中，顺次连接点A（-2，0），B（0，-2），C（2，0），D（0，2）所得到的四边形ABCD是怎样的四边形？并说明理由.分析：我们先猜想一下四边形ABCD的形状，通过观察图形，容易猜想四边形ABCD是正方形，那么如何验证这个猜想呢？在平面直角坐标系中， A，B，C，D四个点的位置有什么关系？通过分析A，B，C，D四个点的坐标，我们可以知道这四个点到原点的距离都是2.也就是OA=OB=OC=OD=2，那么AC=OA+OC=4，BD=OB+OD也等于4。因此我们可以得到对角线AC，BD是相等的，且互相平分。如果能够证明对角线还互相垂直，就能说明四边形ABCD是正方形。事实上平面直角坐标系中，
12、x轴和y轴互相垂直，因此我们容易得到对角线AC，BD还互相垂直。这样利用对角线相等且互相垂直平分，就可以判定四边形ABCD是正方形了。解：A（-2，0），B（0，-2）， C（2，0），D（0，2） OA=OB=OC=OD=2 四边形ABCD是平行四边形又AC=BD，且ACBD四边形ABCD是正方形（此题用对角线判定）用所学知识解决问题总结1. 本节课你学习了什么知识？正方形的判定方法：（1）定义法：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.（2）有一个角是直角或者对角线相等的菱形是正方形.（3）有一组邻边相等或对角线相互垂直的矩形是正方形.（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形是
13、平行四边形.2. 本节课你感受到了哪些数学思想方法？（1）一般到特殊：任意四边形到平行四边形，再到特殊平行四边形的化归.（2）用运动的观点看问题：让菱形的边运动起来，改变菱形的一个角，使其变成一个直角，菱形成为正方形.让矩形的边运动起来，使其一组邻边相等时，矩形就成了正方形.3. 本节课你感悟到的解题思路是什么？判定一个四边形是正方形的关键是判断它既是矩形又是菱形。矩形加有一组邻边相等或对角线相互垂直得到正方形，菱形加有一个角是直角或对角线相等得到正方形。或者利用四边形对角线相等且互相垂直平分，得到四边形是正方形。同学们在解决问题的时候要根据题目的已知条件灵活选择解题思路，每个题目可能不只有一种方法，同学们可以多多开拓思路.归纳提升作业实施应用