1、1广东省广东省 2019 年普通高校本科插班生招生考试年普通高校本科插班生招生考试高等数学试题答案及评分参考高等数学试题答案及评分参考一、单项选择题一、单项选择题（本大题共本大题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,共共 15 分分）1B对于非分段函数，主要通过确定定义域的方式来寻找间断点。该题中，定义域是2x 和1x，两点均是间断点；22226lim()lim20 xxxxf xxx，因此2x 是第二类间断点；221111(1)1lim()limlimlim2(1)(2)23xxxxxxx xxf xxxxxx，因此，1x 是可去间断点2A求分段函数的极限，需要分别求左右极限。右极限：0
2、lim cos1xx；左极限0lim(1)1xx，左极限等于右极限，因此极限存在且等于 13D在不定积分的加减乘除和复合运算中，只有加减运算是可以简单的分开积分。该题也可以通过对积分结果求导，看是否等于被积函数来验证。4C选项 A 对级数的一般项求极限，10lim10nnee，根据级数的必要条件，选项 A 发散；选项 B 是等比级数，公比312q，发散；选项 C 由两部分构成，123nn是等比级数，公比113q，收敛；311nn是 p 级数，p=31，收敛；两个收敛级数相加仍然收敛；选项 D 由两部分构成，12()3nn等比级数，公比213q，收敛；11nn是调和级数，发散；收敛级数加上发散级
3、数是发散5B极大值要求函数的一阶导数为 0，同时二阶导数小于 0。2()bfxax；(1)00fabab ；32()bfxx；2(1)001bfb 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分）613x【解析】切线方程需要知道切点坐标和切线的斜率。当0t 时，切点坐标为303 00arctan00 xy；2该题为参数方程，切线斜率为y对x的导数，221133dydytdtdxdxtdt，把0t 代入，可得13dydx；代入切线方程10(0)3yx，化简后可得13yx72x【解析】题目为微分方程，可考虑采用分离变量来求解。ydxxdy，1
4、1dxdyxy，11dxdyxy，lnlnlnyxC，lnlnxCCyex；把1x，2y 代入，得到2C，因此，2yx8cosxey【解析】对比全微分的公式zzdzdxdyxy和原题中的全微分sincosxxdzeydxeydy，可知，sinxzeyx；cosxzeyy，将zx的结果再对y求偏导，即可得到2cosxzeyx y 913【解析】将二重积分转化为二次积分，先积y，再积x，1111230000001133xxdxxdyxy dxx dxx10【解析】根据无穷区间广义积分的公式进行计算，把上界无穷看成t，11()lim()lim sinlimttttf x dxf x dxtttt三、
5、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 48 分）分）11原式00cossin1limlim222xxxxexexx12解：21xxyx，lnlnlnln(21)lnln(21)21xxxyxxxxxx，112ln21yxxyxx，2(ln1)2121xdyxxdxxx 313解：221xdxx22211xdxdxxx22221112(1)12 112arctanln(1).2dxdxxxxxC14解：令21xt，则21122xt，dxtdt；12x ，0t；0 x，1t；0122102120142014201530111121()()222211
6、()2211()221()21 11()2 531.15xxdxttdttttdtttdtttdttt 15解：设(,)xyzf x y zxze，(,)1(,)(,)1xyzxxyzyxyzzfx y zyzefx y zxzefx y zxye 11xyzxxyzzfzyzexfxye，1xyzyxyzzfzxzeyfxye 16解：由题意得12r，0，22222220101ln()ln2 lnDxy ddr rdrdrrdr2222222222210101011lnlnlnln2 4drdrr rr dr drdr dr220033(4ln2)(4ln2)|(8ln23)22d17解：由
7、题意得414(1)321nnbnbnn，44414341(1)(1)1limlimlim111321332nnnnnbnnbnnnn，由比值判别法可知1nnb收敛，0nnab，由比较判别法可知1nna也收敛18解()xdf xxde，()xdf xxde，()xfx dxxe dx，()xfxxe，()(1)xfxex令()0fx，得1x 当1x 时，()0fx；当1x 时，()0fx()f x的凹区间为(1,)，凸区间为(,1)四、综合题（本大题共四、综合题（本大题共 2 小题，第小题，第 19 小题小题 10 分，第分，第 20 小题小题 12 分，共分，共 22 分）分）19（1）由题意
8、得00()1()()()1()xxxxxt dtxxt dt ，()()()()0 xxxx，即0yy；特征方程210r ，解得ri，因此，通解为12()cossinxCxCx，12()sincosxCxCx，0000(0)10()0()1tt dtt dt，121cos0sin011CCC 00(0)1()1t dt，122sin0cos011CCC 因此，()cossinxxx（2）由题意，得222220022200(cossin)(cos2sin cossin)1(1sin2)(cos2).22xVxx dxxxxx dxx dxxx520证明（1）()ln(1)(1)lnf xxxxx，1()ln(1)ln1xxfxxxxx222211(1)(1)()11111111xxxxfxxxxxxxxx222222(1)(1)11xxxxxxxx22222213()124.11xxxxxxx因为213()024x，2210 xx，()0fx，所以()fx单调增加，11()lim()limlnln1 1 101xxxxxfxfxxxx 因此，()f x单调减少（2）34(3)ln4ln3ln64ln810f因为()f x单调减少，所以20182019(2018)ln2019ln2018(3)0ff20182019ln2019ln2018因此，2019201820182019