1、湘阴县知源高级中学2023届高三第二次月考数学科试卷满分：150分 考试时量：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x1，B=x|x1B. x|x1C. x|x1D. x|1b”是“ac2bc2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3三个数50.6，0.65，log0.65的大小顺序是()A. 0.65log0.6550.6B. 0.6550.6log0.65C. log0.650.6550.6D. log0.6550.60,3xyxy1=0，则xy的最小
2、值为（）A1B2C3D45函数fx=2xx21的图象大致为()A. B. C. D. 6设函数f(x)=x2+4x3,x2log2x,x2，则满足不等式f2x103x,x0，若函数gx=fx2m+2fx+2m恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A0,1B0,1C1,+D1,+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9下列求导错误的是()A. (e3x)=3exB. x22x+1=xC. (2sinx3)=2cosxD. (xcosx)=cosxxsinx10已知关于x的不等式ax2+bx+
3、c0的解集为(,2)(3,+)，则()A. a0B. 不等式bx+c0的解集是x|x0D. 不等式cx2bx+a1则经过t分钟后物体的温度将满足=ft=1+01ekt(kR且k0）.现有一杯80C的热红茶置于20C的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（）（参考数值ln20.7)A若f3=50C，则f6=35CB若k=110，则红茶下降到50C所需时间大约为7分钟C若f3=5，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C的速率下降D红茶温度从80C下降到60C所需的时间比从60C下降到40C所需的时间多12函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，且f(x)是奇
4、函数，设g(x)=f(x)，(x)=f(x4)+x，则以下结论正确的有（）A函数g(x2)的图象关于直线x=2对称B若g(x)的导函数为g(x)，定义域为R，则g(0)=0C(x)的图象关于点(4,4)中心对称D设an为等差数列，若a1+a2+a11=44，则a1+a2+a11=44三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若函数fx=2m1xm是幂函数，则实数m=_.14求值：2log214(827)23+lg1100+(21)lg1=15已知点P为曲线y=lnx上的动点，则P到直线y=x+4的最小距离为_.16设定义域为(0,+)的单调函数f(x)，对任意的x(0,+)，都有ff(
5、x)log3x=4，若x0是方程f(x)2f(x)=3的一个解，且x0(a,a+1),aN，则实数a=_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知函数f(x)=sin(4+x)sin(4x)+3sinxcosx(1)求f(6)的值；(2)在ABC中，若f(A2)=1，求sinB+sinC的最大值18（本小题满分12分）已知在数列an中，a1=3，且an+an+1=3n+1.(1)证明：数列an3n34是等比数列.(2)求an的前n项和Sn.19 （本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=22，AD=2，M为DC的中点，将AD
6、M沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM (1)求证：ADBM (2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角EAMD的余弦值为5520（本小题满分12分）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格Px（元）与时间x（天）的函数关系近似满足Px=1+kx（k为正常数）该商品的日销售量Qx（个）与时间x（天）的部分数据如下表所示：x/天10202530Qx/个110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元(1)求k的值；(2)给出以下四种函数模型：Qx=ax+b，Qx=ax25+b，Qx=
7、abx，Qx=alogbx请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Qx与时间x的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入fx1x30,xN+（元）的最小值21（本小题满分12分）已知函数fx=log141axx1的图象关于原点对称，其中a为常数(1)求a的值；(2)当x1,+时，fx+log14x1ln3.湘阴县知源高级中学2023届高三第二次月考数学科试卷（答案）一、单选题1【答案】A【详解】已知集合A=x|x1，B=x|x1.故选A2【答案】B【详解】当ab时，不能推出ac2bc2，当ac2bc2，可推出ab故“ab”是“ac2bc2”的必要
8、不充分条件故选：B3【答案】C【详解】50.61，10.650，log0.650.65log0.65，故选C4【答案】A【详解】因为3xyxy1=0，所以3xy1=x+y，由基本不等式可得3xy1=x+y2xy，故3xy2xy10，解得xy1或xy13（舍），即xy1当且仅当x=y=1时等号成立，故xy的最小值为1，故选：A.5【答案】A【详解】函数fx=2xx21，定义域为x|x1，由f(x)=f(x)，故f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B，D；当0x1时，f(x)0，排除C故本题选A6【答案】D【详解】函数fx的图象如下图所示：由图可知：函数fx在R上单调递增，因为f4=2，所以
9、f2x12等价于f2x1f(4)，故2x14，即x0(0)0(1)0，解得：00，2+3=ba，(2)3=ca，b=a，c=6a，a0，即选项A正确；不等式bx+c0等价于a(x+6)0，x0的解集为(,2)(3,+)，当x=1时，有a+b+c0，即选项C错误；不等式cx2bx+a0，即a(3x+1)(2x1)0，x12，即选项D正确故选：ABD11【答案】ABC【详解】由题知=ft=20+60ekt，A：若f3=50C，即50=20+60e3k，所以e3k=12，则f6=20+60e6k=20+60e3k2=20+60122=35C，A正确；B：若k=110，则20+60e110t=50，则
10、e110t=12，两边同时取对数得110t=ln12=ln2，所以t=10ln27，所以红茶下降到50C所需时间大约为7分钟，B正确；C：f3表示t=3处的函数值的变化情况，若f3=50，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C的速率下降，故C正确；D:ft为指数型函数，如图，可得红茶温度从80C下降到60C所需的时间t2t1比从60C下降到40C所需的时间t3t2少，故D错误.故选：ABC12【答案】BCD【详解】由导数的几何意义及fx的对称性，fx在x和x处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故gx=gx,gx是偶函数，gx2对称轴为x=2,A错；由gx的对称性，gx在x和x
11、处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故gx=gx,gx为奇函数，又定义域为R,g0=0，B对；x=fx4+x4+4，由fx为奇函数知ux=fx+x为奇函数，图像关于0,0对称，x可以看作由ux按向量4,4平移而得，故C对；由C选项知，当x1+x2=8时，x1+x2=8，由等差数列性质a1+a11=8,a1+a11=8，以此类推倒序相加，D正确.故选：BCD三、填空题13【答案】1【详解】因为fx=2m1xm是幂函数，所以2m1=1，解得m=1.故答案为：114【答案】3【详解】2log214(827)23+lg1100+(21)lg1=1423323lg100+210=14942+1=3故
12、答案为315【答案】522【详解】解：设y=x+mm4与y=lnx相切与点Qx0,lnx0，则 y=1x0，令y=1x0=1，得x0=1，则切点Q1,0，代入y=x+mm4，得m=1，即直线方程为y=x1，所以与直线y=x+4间的距离为d=4+12=522，即为P到直线y=x+4的最小距离，故答案为：52216【答案】2【详解】对任意的x(0,+)，都有ff(x)log3x=4，且f(x)是(0,+)上的单调函数，因此fxlog3x为定值，设t=fxlog3x，则fx=t+log3x，显然ft=4，即t+log3t=4，而函数(t)=t+log3t在(0,+)上单调递增，且(3)=4，于是得t
13、=3，从而fx=log3x+3，求导得fx=1xln3，方程f(x)2f(x)=3log3x2xln3=0，依题意，x0是函数g(x)=log3x2xln3的零点，而函数g(x)在(0,+)上单调递增，且g(2)=log321ln3=ln21ln30，即函数g(x)的零点x0(2,3)，又x0(a,a+1),aN，所以a=2.故答案为：2四、解答题17【答案】(1)f(x)=sin4+xsin4x+3sinxcosx=sin4+xsin24+x+3sinxcosx=sin4+xcos4+x+3sinxcosx=12cos2x+32sin2x=sin2x+6，f6=sin26+6=1(2)由fA
14、2=sinA+6=1，而0A，可得A+6=2，即A=3，sinB+sinC=sinB+sin23B=32sinB+32cosB=3sinB+6，0B23，6B+656，12sinB+61，则323sinB+63，故当B=3时，sinB+sinC取最大值，最大值为318【答案】（1）因为an+an+1=3n+1，所以an+13n+134an3n34=3n+1an3n+134an3n34=14an3n+1an3n34=13又a1334=14，所以an3n34是以a1334=14为首项，13为公比的等比数列.（2）由（1）可知an3n34=1413n1，则an=3n+14+34(1)n1.Sn=14
15、32+33+3n+1+34(1)0+(1)1+(1)n1=14323n+213+341(1)n1(1)=3n+26+3(1)n+18.19 【答案】()证明：长方形ABCD中，AB=22，AD=2，M为DC的中点，AM=BM=2，可得AM2+BM2=AB2，BMAM平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCM=AM，BM平面ABCM，BM平面ADM，AD平面ADM，ADBM. ()建立如图所示的直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，D(0,0,1)，M(1,0,0)设DE=DB，则平面AMD的一个法向量n=(0,1,0)，ME=MD+DB=(1,2,1)，AM=(2,0,0)，设
16、平面AME的一个法向量为m=(x,y,z)，则mAM=2x=0mME=1x+2y+1z=0,取y=1，得x=0，z=21，则m=(0,1,21)，|cos|=mnmn=55，解得=12，故E为BD的中点20【答案】（1）由题意得P10Q10=1+k10110=121，解得k=1（2）由题表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而，中的函数为单调函数，故只能选，即Qx=ax25+b由题表可得Q10=110，Q20=120，即15a+b=110,5a+b=120,解得a=1,b=125,故Qx=125x251x30,xN+（3）由（2）知Qx=125x25=100+x,1x
17、25,xN+,150x,25x30,xN+,fx=PxQx=x+100x+101,1x25,xN+,150xx+149,25x30,xN+.当1x25时，y=x+100x在区间1,10上单调递减，在区间10,25上单调递增，当x=10时，fx取得最小值，且fxmin=121；当25x30时，y=150xx是单调递减的，当x=30时，fx取得最小值，且fxmin=124综上所述，当x=10时，fx取得最小值，且fxmin=121故该商品的日销售收入fx的最小值为121元21【答案】（1）解：因为函数fx=log141axx1的图象关于原点对称，所以fx+fx=0，即log141axx1+log1
18、41+axx1=0，所以log141axx11+axx1=0恒成立，所以1axx11+axx1=1恒成立，即1a2x2=1x2恒成立，即a21x2=0恒成立，所以a21=0，解得a=1又a=1时，fx=log141axx1无意义，故a=1（2）因为x1,+时，fx+log14x1m恒成立，所以log141+xx1+log14x1m恒成立，所以log14x+10，f(x)=exm1x，x=1是函数f(x)的极值点，f1=e1m1=0，解得m=1，f(x)=ex11x，设gx=ex11x，则gx=ex1+1x20，x=1是f(x)=0的唯一零点，当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增.（2）当m2，x(0,+)时，exmex2，设x=exx1，则x=ex1，所以当x(0,+)时x0，x单调递增，所以x=exx10=0，即exx+1，exmex2x1，取函数(x)=x1+ln3x (x0)，则(x)=11x，当0x1时，(x)1时，(x)0，(x)单调递增，所以函数(x)在x=1处取得唯一的极小值，即最小值为1=ln3，f(x)=exm+ln3xex2+ln3xx1+ln3xln3，故f(x)ln3.学科网（北京）股份有限公司