1、24正态分布教材分析正态分布是高中数学新增内容之一，是统计中的重要内容一方面，它是在学生学习了总体分布后给出的自然界最常见的一种分布，它是学生进一步应用正态分布解决实际问题的理论依据，因此它起着承上启下的桥梁作用；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近似描述因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位课时分配1课时教学目标知识与技能掌握正态分布在实际生活中的意义和作用结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解归纳正态曲线的性质过程与方法能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生通过观察并探究规律，提高分析问题，解决问题的能力；培养学生数形结合，函数与方程等
2、数学思想方法情感、态度与价值观通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神重点难点教学重点：正态曲线的性质、标准正态曲线N(0,1)教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质1回顾曲边梯形的面积Sf(x)dx的意义；2复习频率分布直方图，频率分布折线图的作法、意义：在频率分布直方图中，区间(a，b)对应的图形的面积表示_在频率分布直方图中，所有小矩形的面积的和为_设计意图：用学过的知识来探究新问题，驱动学生思维的自觉性和主动性，让学生亲身感受知识的发生过程，既反映了数学的发展规律，又符合学生的思维特征和认知规律提出问题：同学们知道高尔顿
3、板试验吗？课本的内容表述了高尔顿板试验，我们将通过小球落入各个小槽中的频率分布情况来认识正态分布活动设计：教师板书课题，学生阅读课本中关于高尔顿板的内容提出问题：(1)运用多媒体画出频率分布直方图(2)当n由1 000增至2 000时，观察频率分布直方图的变化(3)请问当样本容量n无限增大时，频率分布直方图变化的情况如何？(频率分布就会无限接近一条光滑曲线总体密度曲线)(4)样本容量越大，总体估计就越精确活动结果：总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线
4、叫做总体密度曲线它反映了总体在各个范围内取值的概率根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线xa，xb及x轴所围图形的面积观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：，(x)e，x(，)式中的实数、(0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线1一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(，2)如果随机变量X服从正态分布，则记
5、为XN(，2)正态分布密度函数的理解：，(x)e，其中：x是随机变量的取值；是圆周率；e是自然对数的底；参数是正态分布的均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去佑计；参数是正态分布的标准差，是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计2早在1733年，法国数学家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正态分布之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多
6、小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布例如某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等正态分布在概率和统计中占有重要的地位提出问题：下面给出三个正态分布的函数表示式，请找出其均值和标准差.(1)f(x)e；(2)f(x)e；(3)f(x)e2(x1)2.答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)1，0.5.设计意图：概念一旦形成，必须及时加以巩固通
7、过对问题的解答，进一步加深对定义的认识提出问题：正态分布N(，2)是由均值和标准差唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响例如令0.5，1,0,1.活动设计：通过几何画板，作出正态曲线，固定其中一个值，利用几何画板的功能直观地观察正态曲线受到均值或标准差的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质设计意图：通过对两组正态曲线进行分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头低、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质活动结果：(一)
8、正态曲线的性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交，曲线与x轴之间的面积为1.(2)曲线关于直线x对称(3)当x时，曲线位于最高点(4)当x时，曲线上升(增函数)；当x时，曲线下降(减函数)并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近(5)一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移(6)一定时，曲线的形状由确定越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中六条性质中前三条学生较易掌握，后三条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学(二)标准正态曲线：当0、1时，正态分布称为标准正态分布，其相应的函数表示式是f(x)e(x
9、)，其相应的曲线称为标准正态曲线教师指出：标准正态分布N(0,1)在正态分布的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题1N(，2)与N(0,1)的关系：若N(，2)，则N(0,1)，有P(x0)F(x0)()；若N(，2)，则P(x1x2)()()2在标准正态分布表中相应于x0的值(x0)是指总体取值小于x0的概率，即(x0)P(x0)两个重要公式：(x0)1(x0)，P(x10，P(a4)1P(4)0.16.答案：A例2设随机变量服从标准正态分布N(0,1)，已知(1.96)0.025，则P(|1.96)等于()A0.025 B0.050 C0.950 D0
10、.975解析：解法一N(0,1)，P(|1.96)P(1.961.96)P(1.96)(1.96)0.025，P(|0)和N(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则有()A12，12 B12C12，12，12解析：正态分布函数的图象关于x对称，的大小表示变量的集中程度，越大，数据分布越分散，曲线越“矮胖”；越小，数据分布越集中，曲线越“瘦高”答案：A3以(x)表示标准正态总体在区间(，x)内取值的概率，若随机变量服从正态分布N(，2)，则概率P(|)等于()A()() B(1)(1)C() D2()解析：考查N(，2)与N(0,1)的关系：若N(，2)，则P(|)P()()()(1)(1)答
11、案为B.答案：B【达标检测】 1若随机变量XN(，2)，a为一个实数，证明P(Xa)0.证明：对于任意实数a和自然数n有aXaXaaXa因为事件Xa与事件aXa互斥，由概率加法公式得P(aXa)P(Xa)P(aXa)P(Xa)因为XN(，2)，所以0P(Xa)P(aXa)a，(x)dxadx，n1,2，故P(Xa)0.点评：本题涉及知识范围较广，是一道综合性较强的题目2若XN(5,1)，求P(6X7)解：由XN(5,1)知，5，1.因为正态密度曲线关于x5对称，所以P(5X7)P(3X7)0.954 40.477 2；P(5X6)P(4X6)0.682 60.341 3；P(6X7)P(5X7
12、)P(5X6)0.135 9.3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体落入区间(1.2,0.2)之间的概率解：正态分布的概率密度函数是f(x)e，x(，)，它是偶函数，说明0，f(x)的最大值为f()，所以1，这个正态分布就是标准正态分布P(1.2x0.2)(0.2)(1.2)(0.2)1(1.2)(0.2)(1.2)1.1正态分布2正态分布密度曲线及其特点3标准正态曲线4了解3原则【基础练习】1关于正态曲线性质的叙述：(1)曲线关于直线x对称，整条曲线在x轴的上方；(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；(3)曲线在x处处于最高点，由这一点向左右两侧延伸时，
13、曲线逐渐降低；(4)曲线的对称位置由确定，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”上述叙述中，正确的有_答案：(1)(3)(4)2设某长度变量XN(1,1)，则下列结论正确的是()AE(X)D(X) BD(X)CE(X) DE(X)D(X)答案：A3把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是()A曲线b仍然是正态曲线B曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等C以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2D以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2答案：D【拓展练习】1设XN(
14、0,1)P(X0)P(0X)；P(X0)0.5；已知P(X1)0.682 6，则P(X1)0.158 7；若P(X2)0.954 4，则P(X2)0.977 2；若P(X3)0.997 4，则P(X3)0.998 7；其中正确的有()A2个 B3个 C4个 D5个答案：D2已知XN(0,1)，则X在区间(，2)内取值的概率等于()A0.022 8 B0.045 6 C0.977 2 D0.954 4答案：A3设随机变量N(，2)，且P(C)P(C)p，那么p的值为()A0 B.C1 D不确定，与有关答案：A4已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度N(200,18)，则取得的这件材料的
15、强度不低于180的概率为()A0.997 3 B0.866 5 C0.841 3 D0.815 9答案：A本节课的教学设计力求体现教师主导，学生主体的原则，体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教学思想，突出以下几点：1注重目标控制，面向全体学生，启发式教学2学生通过自主探究参与知识的形成过程，让学生真正地学会学习，也就是让学生主动建构式的学习，真正掌握学习方法备选例题：1若XN(，2)，问X位于区域(，)内的概率是多少？解：P(X)P(X)0.682 60.341 3.2某年级的一次信息技术测验成绩近似地服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在8090内的学生占多少？解：(1)设学生的得分情况为随机变量X，XN(70,102)，其中70，10，在60到80之间的学生占的比例为P(7010X7010)0.68368.3%，所以不及格的学生占的比例为0.5(10.683)0.15915.9%；(2)成绩在80到90之间的学生占的比例为05P(70210X70210)P(7010X7010)0.5(0.9540.683)0.13613.6%.(设计者：刘鹏)