1、1.3.2球的体积和表面积1了解并掌握球的体积和表面积公式2会用球的体积与表面积公式解决实际问题(重点)3会解决球的组合体及三视图中球的有关问题(难点、易混点)基础初探教材整理球的表面积与体积公式阅读教材P27“练习”以下至P28“练习”以上内容，完成下列问题1球的体积设球的半径为R，则球的体积VR3.2球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S4R2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)球的体积之比等于半径比的平方()(2)长方体既有外接球又有内切球()(3)球面展开一定是平面的圆面()(4)球的三视图都是圆()【解析】(1)错误球的体积之比等于半径比的立
2、方(2)错误长方体只有外接球，没有内切球(3)错误球的表面不能展开成平面图形，故错误(4)正确球的三视图都是圆【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型球的表面积和体积(1)已知球的表面积为64，求它的体积；(2)已知球的体积为，求它的表面积【精彩点拨】借助公式，求出球的半径，再根据表面积与体积公式求解【自主解答】(1)设球的半径为r，则由已知得4r264，r4.所以球的体积：Vr3.(2)设球的半径为R，由已知得R3，所以R5，所以球的表面积为：S4R2452100.1一个关键抓住球的表面积公式S球4R2，球的体积公式V球R3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件把握住公式，
3、球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了2两个结论(1)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方；(2)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方再练一题1(1)球的体积是，则此球的表面积是()A12B16C. D.(2)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为()A. B.C8 D.【解析】(1)设球的半径为R，则由已知得VR3，R2.球的表面积S4R216.(2)设截面圆的半径为r，则r2，故r1，由勾股定理求得球的半径为，所以球的体积为()3.【答案】(1)B(2)D与球有关的组合体的表面积与体积(1)如图1315是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()
4、图1315A.12B.18C942D3618(2)一个几何体的三视图(单位：cm)如图1316所示，则该几何体的表面积是_cm2.图1316【精彩点拨】先根据三视图还原组合体，再利用有关数据计算【自主解答】(1)由三视图可得这个几何体是由上面一个直径为3的球，下面一个底面为正方形且边长为3，高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为：VV1V2333218.(2)由三视图知该几何体为一个四棱柱，一个半圆柱和一个半球的组合体，其中四棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为12122，四棱柱中不重合的表面积为2122221212，半圆柱中不重合的表面积为22，半球的表面积为42，所以该几何体的表面积为4
5、12.【答案】(1)B(2)4121由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆2计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠或交叉再练一题2如图1317是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为()图1317A18B30C33D40【解析】由三视图知该几何体由圆锥和半球组成球半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积S2323533.【答案】C探究共研型有关球的切、接
6、问题探究1若球的半径为R，则球的内接正方体的棱长是多少？【提示】设正方体的棱长为a，由于正方体的体对角线长等于球的直径，所以a2R，故aR，即球的内接正方体的棱长为R.探究2正方体的外接球、内切球的半径与正方体的棱长分别有什么数量关系？【提示】设正方体的棱长为a，外接球、内切球的半径分别为R、r，则2Ra,2ra.一个高为16的圆锥外接于一个体积为972的球，在圆锥里又有一个内切球求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥里内切球的体积【精彩点拨】有关球的切、接问题，作出轴截面求解【自主解答】(1)如图所示，作出轴截面，则等腰SAB内接于O，而O1内切于SAB.设O的半径为R，则有R3972，R372
7、9，R9.SE2R18.SD16，ED2.连接AE，又SE是直径，SAAE，SA2SDSE1618288，SA12.ABSD，AD2SDDE16232，AD4.S圆锥侧41296.(2)设内切球O1的半径为r，SAB的周长为2(124)32，r32816.r4.内切球O1的体积V球r3.1在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等2几个常用结论(1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；(2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；(3)球与
8、圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(4)球与棱锥相切，则可利用V棱锥S底hS表R，求球的半径R.再练一题3设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2B.a2C.a2D5a2B由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a，如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知APaa，OPa，所以球的半径ROA满足R222a2，故S球4R2a2.1直径为6的球的表面积和体积分别是()A144，144B144，36C36，144D36，36【解析】R3，S4R236，VR336.【答案】D2设长方体的长、宽、
9、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A3a2B6a2C12a2D24a2【解析】设该球的半径为R，(2R)2(2a)2a2a26a2，即4R26a2.球的表面积为S4R26a2.【答案】B3已知一个球的体积为，则此球的表面积为_【解析】设球的半径为R，则VR3，R1，球的表面积S4.【答案】44某几何体的三视图如图1318所示，则其表面积为_图1318【解析】由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即43.【答案】35圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r，圆柱、圆锥的高都是2r，(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比；(2)求圆柱
10、、圆锥、球的表面积之比【解】(1)V圆柱r22r2r3，V圆锥r22rr3，V球r3，所以V圆柱V圆锥V球312.(2)S圆柱2r2r2r26r2，S圆锥rr2(1)r2，S球4r2，所以S圆柱S圆锥S球6(1)4.学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()A.B.C4D32【解析】设正方体边长为a，由题意可知，6a224，a2.设正方体外接球的半径为R，则a2R，R，V球R34.【答案】C2两个球的体积之比为827，那么这两个球的表面积之比为()A23B49C. D.【解析】r3R3827，rR23，S1S2r2R249.【答
11、案】B3体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12 B.C8D4A设正方体棱长为a，则a38，所以a2.所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4()212，故选A.4一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是() A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3【解析】根据球的截面性质，有R5，V球R3(cm3)【答案】C5等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是()AS球S圆柱S正方体BS正方体S球S圆柱CS圆柱S球S正方体DS球S正方体S圆柱【解析】设等边圆
12、柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a，则r22rR3a3，3，32，S圆柱6r2，S球4R2，S正方体6a2，21，故选A.【答案】A二、填空题6一个几何体的三视图(单位：m)如图1319所示，则该几何体的体积为_m3.图1319【解析】由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V32136918.【答案】9187湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球半径是_cm，表面积是_cm2.【解析】设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直
13、径，设球的半径为R，则ODR1，则(R1)232R2，解得R5 cm，所以该球表面积为S4R2452100(cm2)【答案】5100三、解答题8如图1320，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，求钢球的半径图1320【解】设球的半径为R，由题意可得R3320.5，解得R1.5(cm)，所以所求球的半径为1.5 cm.9如图1321所示(单位：cm)四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积图1321【解】S球4228(cm2)，S圆台侧(25)35(cm2)，S圆台下底522
14、5(cm2)，即该几何体的表面积为8352568(cm2)又V圆台(222552)452(cm3)，V半球23(cm3)所以该几何体的体积为V圆台V半球52(cm3)能力提升10如图1322，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是()图1322A17B18C20D28A由三视图可知其对应几何体应为一个切去了部分的球，由r3，得r2，所以此几何体的表面积为4r23r217，故选A.11轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积. 【解】如图所示，作出轴截面，因为ABC是正三角形，所以CDAC2，所以AC4，AD42，因为RtAOERtACD，所以.设OER，则AO2R，所以，所以R.所以V球R33.所以球的体积等于.