1、课时提升作业(二十四)函数的最大(小)值与导数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015绵阳高二检测)设函数f(x)=ax3+3bx(a,b为实数,a0),当x0,1时,有f(x)0,1,则b的最大值是()A.B.C.D.【解析】选C.因为f(x)=3ax2+3b,所以令f(x)=3ax2+3b=0,可得x=,1时,f(x)max=f(1)=1,所以b,00)的导数f(x)的最大值为5,则在函数f(x)图象上的点(1,f(1)处的切线方程是()A.3x-15y+4=0B.15x-3y-2=0C.15x-3y+2=0D.3x-y+1=0【解题指南】首先由导函数的最大值可以
2、求出a值,再求切线方程.【解析】选B.因为f(x)=-x3+2ax2+3x,所以f(x)=-2x2+4ax+3=-2(x-a)2+2a2+3,因为导数f(x)的最大值为5,所以2a2+3=5,因为a0,所以a=1,所以f(1)=5,f(1)=,所以在函数f(x)图象上的点(1,f(1)处的切线方程是y-=5(x-1),即15x-3y-2=0.5.(2015银川高二检测)已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在-2,2上有最大值3,那么此函数在-2,2上的最小值是()A.-37B.-29C.-5D.以上都不对【解题指南】利用已知的最大值可以求出m值,再求函数的最小值.【解析】选A.因为f(
3、x)=6x2-12x=6x(x-2),因此f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,所以当x=0时,f(x)=m最大,所以m=3,从而f(-2)=-37,f(2)=-5.所以最小值为-37.【补偿训练】若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是()A.1,+)B.C.1,2)D.【解析】选B.因为f(x)的定义域为(0,+),又f(x)=4x-,由f(x)=0,得x=.根据函数在区间(k-1,k+1)内存在最小值,可得函数在区间内是减函数,在区间内是增函数,即函数f(x)在区间内小于零,在区间内大于零.故有解得1k.
4、二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2014湖州高二检测)当x-1,1时,函数f(x)=的值域是.【解析】f(x)=,故当-1x0时,f(x)0,当0x0,故当x=0时,函数取极小值,也是最小值,f(0)=0,又f(-1)=e,f(1)=.故函数的值域为0,e.答案:0,e7.函数f(x)=ax4-4ax2+b(a0,1x2)的最大值为3,最小值为-5.则a=,b=.【解析】因为f(x)=4ax3-8ax=4ax(x2-2),令f(x)=0,解得x=0,-,.因为1,2,且当x=时,函数取极小值,故f()=4a-8a+b=-4a+b=-5,又f(1)=-3a+b,f(2)=b,a0,故f(
5、2)=b=3,故a=2.答案:238.若函数f(x)=(a0)在1,+)上的最大值为,则a的值为.【解析】f(x)=,当x时,f(x)0,f(x)单调递减;当-x0,f(x)单调递增;当x=时,f(x)=,解得=1不合题意,所以f(x)max=f(1)=,所以a=-1.答案:-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间.(2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.【解析】(1)f(x)=-3x2+6x+9.令f(x)0,解得x3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-,-1)和(3,+).(2)
6、因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)f(-2).因为在(-1,3)上f(x)0,所以f(x)在-1,2上单调递增,又由于f(x)在-2,-1上单调递减,因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7.【补偿训练】已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex在点(0,f(0)处的切线方程是y=-2x+1,其中e是自然对数的底数.(1)求实数a,b的值.(2)求
7、函数f(x)在区间-2,3上的值域.【解析】(1)由f(x)=(x2+ax+b)ex,得f(x)=x2+(a+2)x+a+bex,因为函数f(x)在点(0,f(0)处的切线方程是y=-2x+1,所以即解得a=-3,b=1.(2)由(1)知f(x)=(x2-3x+1)ex,f(x)=(x2-x-2)ex=(x+1)(x-2)ex,令f(x)=0,得x1=-1或x2=2.f(x)与f(x)的关系如表:x-2(-2,-1)-1(-1,2)2(2,3)3f(x)+0-0+f(x)11e-2-e2e3由上表可知,函数f(x)在区间-2,3上的值域是-e2,e3.10.(2015全国卷)已知f(x)=ln
8、x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性.(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-a.若a0,则f(x)0,所以f(x)在(0,+)上单调递增.若a0,则当x时,f(x)0;x时,f(x)0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.因此f2a-2等价于lna+a-10,令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+)上单调递增,g(1)=0.于是,当0a1时,g(a)1时,g(a)0.因此,a的取值范围是(0,1).(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.函数y
9、=的最大值为()A.e-1B.eC.e2D.【解析】选A.函数的定义域为(0,+),y=,令y=0,解得x=e,易知当x=e时,函数取极大值,同时也是最大值,故ymax=e-1.2.(2015重庆高二检测)函数f(x)=-x3+3x在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是()A.(-1,)B.(-1,2)C.(-1,2D.(1,4)【解析】选C.由题f(x)=3-3x2,令f(x)0解得-1x1;令f(x)0解得x1,由此得函数在(-,-1)上是减函数,在(-1,1)上是增函数,在(1,+)上是减函数,故函数在x=-1处取到极小值-2,判断知此极小值必是区间(a2-12,a)上
10、的最小值,所以a2-12-1a,解得-1a,又当x=2时,f(2)=-2,故有a2,综上知a(-1,2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.定义在R上的可导函数f(x)=x2+2xf(2)+15,在闭区间0,m上有最大值15,最小值-1,则m的取值范围是.【解析】函数f(x)=x2+2xf(2)+15的导函数为f(x)=2x+2f(2),所以f(2)=4+2f(2),所以f(2)=-4,所以f(x)=x2-8x+15,且对称轴为x=4.又因为在闭区间0,m上有最大值15,最小值-1,且f(0)=15,f(4)=-1,所以0,40,m,且f(m)f(0)=15,所以4m8.答案:4,8【补偿训
11、练】(2014大庆高二检测)已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n-1,1,则f(m)+f(n)的最小值是.【解析】因为f(x)=-3x2+2ax,函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,所以-12+4a=0,解得a=3,所以f(x)=-3x2+6x,所以n-1,1时,f(n)=-3n2+6n,当n=-1时,f(n)最小,最小为-9,当m-1,1时,f(m)=-m3+3m2-4,f(m)=-3m2+6m,令f(m)=0得m=0或m=2(舍去),所以m=0时,f(m)最小为-4,故f(m)+f(n)的最小值为-9+(-4)=-13.答案:-134.(2015
12、福州高二检测)已知函数f(x)的定义域为-2,6,x与f(x)部分对应值如表,f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示.给出下列说法:x-2056f(x)3-2-23函数f(x)在(0,3)上是增函数;曲线y=f(x)在x=4处的切线可能与y轴垂直;如果当x-2,t时,f(x)的最小值是-2,那么t的最大值为5;x1,x2-2,6,都有|f(x1)-f(x2)|a恒成立,则实数a的最小值是5.正确的个数是.【解析】由图象得:x-2,0时,f(x)0,f(x)递增,f(x)-2,x(3,5)时,f(x)-2,x5,6时,f(x)0,f(x)递增,-2f(x)3,故正确,错误.答案:3三、解答题
13、(每小题10分,共20分)5.已知M(-1,m),N(2,n)是二次函数f(x)=ax2(a0)图象上两点,且MN=3.(1)求a的值.(2)求f(x)的图象在N点处切线的方程.(3)设直线x=t与f(x)和曲线y=lnx的图象分别交于点P,Q,求PQ的最小值.【解析】(1)由题意得:解得a=1.(2)由(1)可得:f(x)=x2,N(2,4),所以f(x)=2x,则f(x)的图象在N点处切线的斜率为4,所以f(x)的图象在N点处的切线方程为y=4x-4,(3)由题意可得:PQ=|t2-lnt|,t0,令g(t)=t2-lnt,t0,g(t)=2t-=,t0,所以当t时,g(t)0,g(t)单
14、调递增.所以g(t)g=+ln2.所以PQ的最小值为+ln2.6.(2015浙江高考)设函数f(x)=x2+ax+b(a,bR).(1)当b=+1时,求函数f(x)在-1,1上的最小值g(a)的表达式.(2)已知函数f(x)在-1,1上存在零点,0b-2a1,求b的取值范围.【解析】(1)当b=+1时,f(x)=+1,故其对称轴为x=-.当a-2时,g(a)=f(1)=+a+2,当-22时,g(a)=f(-1)=-a+2.综上,g(a)=(2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1t1,则由于0b-2a1,因此s(-1t1),当0t1时,b,由于-0和-9-4,所以-b9-4,当-1t0时,b,由于-20和-30,所以-3bx成立,求m的取值范围.【解析】(1)因为g(x)=ex-1,由g(x)=0,得x=0,所以当x0时,g(x)0时,g(x)0,g(x)在(0,+)上为增函数,所以g(x)在x=0时有最小值g(0)=1.(2)x2x-mxg(x)(因为g(x)=ex-x0)2x-mxex-x2m0),则h(x)=2x+2-ex-xex=x(2-ex)+(2-ex)=-(x+1)(ex-2),所以当xln2时,h(x)0,当0x0,所以h(x)max=h(ln2)=ln22,要想存在正数x,使mh(x),则有mh(x)max=ln22,所以所求的m的取值范围是mln22.