1、3.1.2两条直线平行与垂直的判定1理解两条直线平行或垂直的判断条件(重点)2会利用斜率判断两条直线平行或垂直(难点)3能利用直线的斜率来判断含字母参数的两直线的平行或垂直(易错点)基础初探教材整理1两条直线平行与斜率的关系阅读教材P86“练习”以下至P87“例3”以上部分，完成下列问题设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为1，2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：前提条件12901290对应关系l1l2k1k2l1l2两直线斜率都不存在图示判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两条直线斜率相等，则两直线平行()(2)若l1l2，则k1k2.()(3)若两直线中有一条直线
2、的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交()(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行()【解析】(1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2两条直线垂直与斜率的关系阅读教材P88“例5”以上部分，完成下列问题对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1l2k1k21l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1l2图示直线l1，l2的斜率是方程x23x10的两根，则l1与l2的位置关系是()A平行B重合C相交但不垂直D垂直【解析】设两直
3、线的斜率分别为k1，k2，则k1k21，故l1与l2垂直【答案】D小组合作型两条直线平行的判定根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行(1)l1经过点A(2,1)，B(3,5)，l2经过点C(3，3)，D(8，7)；(2)l1经过点E(0,1)，F(2，1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；(3)l1的倾斜角为60，l2经过点M(1，)，N(2，2)；(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，2)，Q(0,5)【精彩点拨】先确定各题中直线的斜率是否存在，斜率存在的直线利用斜率公式求出斜率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行【自主解答】(1)由题意知，k1，k2，所以直线l1
4、与直线l2平行或重合，又kBC，故l1l2.(2)由题意知，k11，k21，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG1，故直线l1与直线l2重合(3)由题意知，k1tan 60，k2，k1k2，所以直线l1与直线l2平行或重合(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1l2.1判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特殊判断在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行因为斜率相等也可以推出两条直线重合2应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解再练一
5、题1已知P(2，m)，Q(m,4)，M(m2,3)，N(1,1)，若直线PQ直线MN，求m的值. 【解】当m2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；当m1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；当m2且m1时，kPQ，kMN.因为直线PQ直线MN，所以kPQkMN，即，解得m0或m1.当m0或1时，由图形知，两直线不重合综上，m的值为0或1.两条直线垂直的判定(1)l1经过点A(3,2)，B(3，1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a2,3)，直线
6、l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，若l1l2，求a的值【精彩点拨】(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0，则垂直；(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解【自主解答】(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1l2.(2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在当l1的斜率不存在时，3a2，即a5，此时k20，则l1l2，满足题意当l1的斜率k1存在时，a5，由斜率公式，得k1，k2.由l1l2，知k1k21，即1，解得a0.综上所述，
7、a的值为0或5.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法1一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步2二代：就是将点的坐标代入斜率公式3三求：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论再练一题2(1)l1经过点A(3,4)和B(3,6)，l2经过点P(5,20)和Q(5,20)，判断l1与l2是否垂直；(2)直线l1过点(2m,1)，(3，m)，直线l2过点(m，m)，(1，2)，若l1与l2垂直，求实数m的值【解】(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，l
8、1l2.(2)当两直线斜率都存在，即m且m1时，有k1，k2.两直线互相垂直，1.m1.当m1时，k10，k2不存在，此时亦有两直线垂直当2m3，m时，k1不存在，k2，l1与l2不垂直综上可知，实数m1.探究共研型直线平行与垂直的综合应用探究1已知ABC的三个顶点坐标A(5，1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断ABC的形状吗？【提示】如图，AB边所在的直线的斜率kAB，BC边所在直线的斜率kBC2.由kABkBC1，得ABBC，即ABC90.ABC是以点B为直角顶点的直角三角形探究2已知定点A(1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，若圆与x轴有交点C.如何确定点C的坐标？【提示】
9、以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则ACBC.设C(x,0)，则kAC，kBC，所以1，得x1或2，所以C(1,0)或(2,0)已知四点A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状. 【精彩点拨】画出图形，由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明【自主解答】A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图由斜率公式可得kAB，kCD，kAD3，kBC，kABkCD，由图可知AB与CD不重合，ABCD.由kADkBC，AD与BC不平行又kABkAD(3)1，ABAD.故四边形ABCD为直角梯形1利用直
10、线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定2由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形再练一题3已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足ABCD，且ADBC，试求点D的坐标【解】设D(x，y)，则kAB1，kBC，kCD，kDA.因为ABCD，ADBC，所以kABkCD1，kDAkBC，所以解得即D(10，6).1已知A(2,0)，B(3,3)，直线lAB，则直线l的斜率k等于()A3B3C D.【解析】因为直线lAB，所以kkAB
11、3.【答案】B2过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为()A垂直B平行C重合D以上都不正确【解析】过点(，)，(0,3)的直线的斜率k1；过点(，)，(2,0)的直线的斜率k2.因为k1k21，所以两条直线垂直【答案】A3已知直线l1的倾斜角为60，直线l2的斜率k2m24，若l1l2，则m的值为_【解析】由题意得m24tan 60，解得m2.【答案】24直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(1，y)，若l1l2，则x_，y_.【解析】l1l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为，x1，y7.【答案】175已知四点A(2,22)，B(2,2)，C(0,22)，D(4,2)，顺次连接这四点，试判断四边形ABCD的形状(说明理由) 【解】kAB，kBC，kAD，kCD，kABkCD，kBCkAD.ABCD且BCAD，四边形ABCD是平行四边形，又kABkBC1，ABBC，四边形ABCD是矩形