1、课后提升作业 十五抛物线及其标准方程(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016新乡高二检测)设动点C到点M(0,3)的距离比点C到直线y=0的距离大1,则动点C的轨迹是()A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆【解析】选A.由题意,点C到M(0,3)的距离等于点C到直线y=-1的距离,所以点C的轨迹是抛物线.【补偿训练】(2016济南高二检测)若动点P与定点F(1,1)和直线3x+y-4=0的距离相等,则动点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线 D.直线【解析】选D.由于点F(1,1)在直线3x+y-4=0上,故满足条件的动点P的轨迹是一条直线.2.顶点在原点,焦点是
2、F(0,3)的抛物线标准方程是()A.y2=21xB.x2=12yC.y2=xD.x2=y【解析】选B.由=3得p=6,且焦点在y轴正半轴上,故x2=12y.3.焦点在x轴上,且焦点到准线距离为2的抛物线的标准方程是()A.y2=4xB.y2=-4xC.y2=2xD.y2=4x【解析】选D.由抛物线标准方程中p的几何意义知p=2,焦点在x轴的抛物线开口向左,y2=-4x;开口向右,y2=4x.4.抛物线y=ax2的准线方程为y=-1,则实数a的值是()A.B.C.-D.-【解析】选A.由条件知a0,则y=ax2可以变形为x2=y,由于准线是y=-1,可知a0,抛物线标准方程可设为x2=2py(
3、p0),2p=,则p=,又由于-=-1,知p=2,所以=2,解得a=,故选A.【补偿训练】抛物线y2=ax(a0)的焦点到其准线的距离是()A.B.C.|a|D.-【解析】选B.因为y2=ax,所以p=,即焦点到准线的距离为.5.(2016大连高二检测)已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在双曲线-=1上,则抛物线方程为()A.y2=8xB.y2=4xC.y2=2xD.y2=8x【解析】选D.由题意知抛物线的焦点为双曲线-=1的顶点,即为(-2,0)或(2,0),所以抛物线的方程为y2=8x或y2=-8x.6.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y
4、2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有()A.|P1F|+|P2F|=|P3F|B.|P1F|2+|P2F|2=|P3F|2C.2|P2F|=|P1F|+|P3F|D.|P2F|2=|P1F|P3F|【解析】选C.因为P1,P2,P3在抛物线上,且2x2=x1+x3,两边同时加上p,得2=x1+x3+.即2|P2F|=|P1F|+|P3F|.7.已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|MN|=()A.2B.12C.1D.13【解题指南】利用射线FA的斜率和抛物线的定义求解.【解析】选C.射线FA的方
5、程为x+2y-2=0(x0).由条件知tan=,所以sin=,由抛物线的定义知|MF|=|MG|,所以=sin=.8.(2016重庆高二检测)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则POF的面积为()A.2B.2C.2D.4【解题指南】由|PF|=4及抛物线的定义求出点P的坐标,进而求出面积.【解析】选C.抛物线C的准线方程为x=-,焦点F(,0),由|PF|=4及抛物线的定义知,P点的横坐标xP=3,从而yP=2,所以=|OF|yP|=2=2.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016泰安高二检测)已知动点P到点(3,0)的距离比它到直线x=-2的
6、距离大1,则点P的轨迹方程为_.【解析】由题意可知点P到(3,0)的距离与它到x=-3的距离相等,故P的轨迹是抛物线,p=6,所以方程为y2=12x.答案:y2=12x10.若抛物线y2=-2px(p0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,则点M的坐标为_.【解析】由抛物线方程y2=-2px(p0),得其焦点坐标为F,准线方程为x=,设点M到准线的距离为d,则d=|MF|=10,即-(-9)=10,所以p=2,故抛物线方程为y2=-4x.将M(-9,y)代入抛物线方程,得y=6,所以M(-9,6)或M(-9,-6).答案:(-9,-6)或(-9,6)【补偿训练】(2015皖南八校
7、联考)若抛物线y2=2x上一点M到坐标原点O的距离为,则点M到抛物线焦点的距离为_.【解析】设M(x,y),则由得x2+2x-3=0.解得x=1或x=-3(舍).所以点M到抛物线焦点的距离d=1-=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2016吉林高二检测)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.【解题指南】设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,则动圆圆心的轨迹是一条抛物线,其方程易求.【解析】设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到
8、直线y=3的距离相等,则动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y.12.(2016邢台高二检测)如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管OP=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计为多少米?(精确到1m)【解题指南】以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系,则易得P点坐标,再由P在抛物线上求出抛物线方程,再由抛物线方程求出相关点坐标即可获解.【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p0).依题意有P(-1,-1)在此抛物线上,代
9、入得p=.故得抛物线方程为x2=-y.又B在抛物线上,将B(x,-2)代入抛物线方程得x=,即|AB|=,则|OB|=|OA|+|AB|=+1,因此所求水池的直径为2(1+)m,约为5m,即水池的直径至少应设计为5m.【补偿训练】某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成,尺寸如图所示,某卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3米,车与箱共高4.5米,问此车能否通过此隧道?说明理由.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则B(-3,-3),A(3,-3).设抛物线方程为x2=-2py(p0),将B点的坐标代入,得9=-2p(-3),所以p=,所以抛物线方程为x2=-3y(-3y0).因为车与箱共
10、高4.5米,所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5米.设抛物线上点D的坐标为(x0,-0.5),D的坐标为(-x0,-0.5),则=-3(-0.5),解得x0=.所以|DD|=2|x0|=3,故此车不能通过隧道.【能力挑战题】已知抛物线x2=4y,定点A(12,39),点P是此抛物线上的一动点,F是该抛物线的焦点,求|PA|+|PF|的最小值.【解析】将x=12代入x2=4y,得y=3639.所以点A(12,39)在抛物线内部,抛物线的焦点为(0,1),准线l为y=-1.过P作PBl于点B,则|PA|+|PF|=|PA|+|PB|,由图可知,当P,A,B三点共线时,|PA|+|PB|最小.所以|PA|+|PB|的最小值为|AB|=39+1=40.故|PA|+|PF|的最小值为40.