1、模块综合测评 (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1过点A(3，4)，B(2，m)的直线l的斜率为2，则m的值为()A6B1C2D4【解析】由题意知kAB2，m6.【答案】A2在x轴、y轴上的截距分别是2、3的直线方程是()A2x3y60B3x2y60C3x2y60D2x3y60【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为1，即3x2y60.【答案】C3已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于()A2 B.C. D.【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为R，则R3，R2.又a2R4，a.【答
2、案】D4关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：点P到坐标原点的距离为；OP的中点坐标为；与点P关于x轴对称的点的坐标为(1，2，3)；与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，3)；与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，3)其中正确的个数是()A2B3C4D5【解析】点P到坐标原点的距离为，故错；正确；与点P关于x轴对称的点的坐标为(1，2，3)，故错；与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1，2，3)，故错；正确，故选A.【答案】A5如图1，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD2AB4，EFBA，则EF与CD所成的角为()图1A90B4
3、5C60D30【解析】取BC的中点H，连接EH，FH，则EFH为所求，可证EFH为直角三角形，EHEF，FH2，EH1，从而可得EFH30.【答案】D6某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为()图2A.BC.D2【解析】由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积VV柱2V半球122213，选A.【答案】A7已知圆x2y22x2yk0和定点P(1，1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是()A(2，)B(，2)C(2,2)D(，2)(2，)【解析】因为方程x2y22x2yk0表示一个圆，所以 444k0，所以k2.由题意知点P(1，1)在
4、圆外，所以12(1)2212(1)k0，解得k2，所以2k2.【答案】C8如图3，在斜三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，BAC90，且BC1AC，过C1作C1H底面ABC，垂足为H，则点H在()图3A直线AC上B直线AB上C直线BC上DABC内部【解析】因为BC1AC，BAAC，BC1BAB，所以AC平面BC1A.所以平面BAC平面BC1A.因为C1H平面ABC，且H为垂足，平面ABC平面BC1AAB，所以HAB.【答案】B9已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A.B2C.D3【解析】如图所示，由球心作平面A
5、BC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径为ROA.【答案】C10过点P(2,4)作圆O：(x2)2(y1)225的切线l，直线m：ax3y0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A4B2C. D.【解析】P为圆上一点，则有kOPkl1，而kOP，kl，a4，m的直线方程为4x3y0，l的直线方程为4x3y200.l与m的距离为4.【答案】A11已知P(x，y)是直线kxy40(k0)上一点，PA是圆C：x2y22y0的一条切线，A是切点，若PA长度的最小值为2，则k的值是() A3 B.C2D2【解析】圆C：x2y22y0的圆心是(0,1)，半径是r1，PA是
6、圆C：x2y22y0的一条切线，A是切点，PA长度的最小值为2，圆心到直线kxy40的最小距离为，由点到直线的距离公式可得，k0，k2，故选D.【答案】D12将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BDa，则三棱锥DABC的体积为()A.a3 B.C.a3 D.【解析】取AC的中点O，如图，则BODOa，又BDa，所以BODO，又DOAC，所以DO平面ACB，VDABCSABCDOa2aa3.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13已知两条平行直线的方程分别是2x3y10，mx6y50，则实数m_.【解析】由于两直线平行，所以，m4.【答
7、案】414一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为_【解析】设圆柱形水桶的底面半径为R，高为h，桶直立时，水的高度为x.横放时水桶底面在水内的面积为，水的体积为V水h.直立时水的体积不变，则有V水R2x，xh(2)4.【答案】(2)415已知一个等腰三角形的顶点A(3,20)，一底角顶点B(3，5)，另一顶点C的轨迹方程是_【解析】设点C的坐标为(x，y)，则由|AB|AC|得，化简得(x3)2(y20)2225.因此顶点C的轨迹方程为(x3)2(y20)2225(x3)【答案】(x3)2(y20)2225(x3)16已知直线l：xy60与
8、圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|_.【解析】如图所示，直线AB的方程为xy60，kAB，BPD30，从而BDP60.在RtBOD中，|OB|2，|OD|2.取AB的中点H，连接OH，则OHAB，OH为直角梯形ABDC的中位线，|OC|OD|，|CD|2|OD|224.【答案】4三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1l2且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程【解】若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x0，l2的方程
9、为x5，此时l1，l2之间距离为5，符合题意；若l1，l2的斜率均存在，设直线的斜率为k，由斜截式方程得直线l1的方程为ykx1，即kxy10，由点斜式可得直线l2的方程为yk(x5)，即kxy5k0，在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d5，25k210k125k225，k.l1的方程为12x5y50，l2的方程为12x5y600.综上知，满足条件的直线方程为l1：x0，l2：x5或l1：12x5y50，l2：12x5y600.18(本小题满分12分)已知圆C1：x2y24x2y0与圆C2：x2y22y40.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程【解】(1)证
10、明：圆C1：x2y24x2y0与圆C2：x2y22y40化为标准方程分别为圆C1：(x2)2(y1)25与圆C2：x2(y1)25，则圆心坐标分别为C1(2，1)与C2(0,1)，半径都为，故圆心距为2，又022，故两圆相交(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x2y24x2y)(x2y22y4)0，得xy10.19(本小题满分12分)如图4，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：图4(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.【证明】(1)B1C1CB为正方形，E为B1C的中点，又D为AB1中点，DE为
11、B1AC的中位线，DEAC，又DE平面A1C1CA，AC平面A1C1CA，DE平面AA1C1C.(2)在直三棱柱中，平面ACB平面B1C1CB，又平面ACB平面B1C1CBBC，AC平面ABC，且ACBC，AC平面B1C1CB，ACBC1，又B1C1CB为正方形，B1CBC1，ACB1CC，BC1平面ACB1，又AB1平面ACB1，BC1AB1.20(本小题满分12分)已知ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在的直线方程为2x2y10，AC边上的高BH所在直线的方程为y0.(1)求ABC的顶点B、C的坐标；(2)若圆M经过A、B且与直线xy30相切于点P(3,0)，求圆M的方程【解】
12、(1)AC边上的高BH所在直线的方程为y0，所以AC边所在直线的方程为x0，又CD边所在直线的方程为2x2y10，所以C，设B(b,0)，又A(0,1)，则AB的中点D，代入方程2x2y10，解得b2，所以B(2,0)(2)由A(0,1)，B(2,0)可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4x2y30，由与xy30相切，切点为(3,0)可得，圆心所在直线方程为yx30，联立可得，M，半径|MA|，所以所求圆方程为.21(本小题满分12分)如图5，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点图5(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(
13、2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积【解】(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又因为ABBC，所以AB平面B1BCC1，又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(3)因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCA
14、A112.22(本小题满分12分)已知圆M过两点A(1，1)，B(1，1)，且圆心M在xy20上(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x4y80上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值. 【解】(1)法一线段AB的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为xy0.解方程组解得所以圆M的圆心坐标为(1,1)，半径r2.故所求圆M的方程为(x1)2(y1)24.法二设圆M的方程为(xa)2(yb)2r2，(r0)，根据题意得解得ab1，r2.故所求圆M的方程为(x1)2(y1)24.(2)由题知，四边形PCMD的面积为SSPMCSPMD|CM|PC|DM|PD|.又|CM|DM|2，|PC|PD|，所以S2|PC|，而|PC|，即S2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x4y80上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min3，所以四边形PCMD面积的最小值为S222.