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3.2立体几何中的向量方法第2课时.doc

1、3.2.2空间角与距离的计算举例【学情分析】:教学对象是高二的学生,学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,上次课已经学习了直线的方向向量和平面的法向量,所以本节课是通过举例来求空间的距离和角。我们可以将空间中的有关距离和角的问题,转化为空间向量的数量积来解决。【教学目标】:(1)知识与技能:能用向量方法进行有关距离的计算;能用向量方法解决线线、线面与面面的夹角的计算问题.(2)过程与方法:在解决问题中,通过数形结合的思想方法,加深对相关知识的理解。(3)情感态度与价值观:体会把立方体几何几何转化为向量问题优势,培养探索精神。【教学重点】:将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算.【

2、教学难点】:将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算.【课前准备】:Powerpoint课件【教学过程设计】:教学环节教学活动设计意图一、复习引入1 两个向量的数量积如何运算?2 向量的模与向量的数量积是什么关系?3 向量的加法法则。为探索新知识做准备.二、探究与练习一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”,与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它

3、们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(回到图形问题)二、例题例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系? 解:如图1,设化为向量问题依据向量的加法法则,进行向量运算A1B1C1D1ABCD图1 回到图形问题 这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。思考:(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系? 分析: (2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确

4、定棱长吗?分析: 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。 (3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(提示:求两个平行平面的距离,通常归结为求两点间的距离) 分析:面面距离 点面距离 向量的模 回归图形解: 所求的距离是练习:如图2,空间四边形OABC各边以及AC,BO的长都是1,点D,E分别是边OA,BC的中点,连结DE,计算DE的长 OABCDE图2例2:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处。从A,B到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b,CD的长为c, AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值 ABCD图3解:如图 化为向量问题 根据向量

5、的加法法则进行向量运算 设向量与的夹角为,就是库底与水坝所成的二面角。因此回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为思考: (1)本题中如果夹角 可以测出,而AB未知,其他条件不变,可以计算出AB的长吗?分析: 可算出 AB 的长。(2)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长,并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等,那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗? 分析:如图,设以顶点A为端点的对角线长为d,三条棱长分别为 a,b,c,各棱间夹角为. A1B1C1D1ABCD(3)如果已知一个四棱柱的各棱长都等a,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗

6、? 分析:二面角 平面角 向量的夹角 回归图形C1C A1B1D1ADEFB解:如图,在平面 AB1 内过 A1 作 A1EAB 于点 E,在平面 AC 内作 CFAB 于 F。 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。练习: (1)如图4,60的二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB4,AC6,BD8,求CD的长。 B图4ACD 2)三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,A1AB45,A1AC60,求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。 ABCA1B1C1图5让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。例

7、1的图形比较规范,容易把握,可以让学生很好地体会向量解题的优势。提醒学生不能缺少这一步。转化为向量。这是例题1的推广,方法类似,学生进一步体会.让学生体会空间距离的转化。及时进行类比训练,巩固所学方法和技能。例2是关于角的有关问题,引导学生找到相应的向量进行转化。以下设计与例1类似。三、拓展与提高如图6,在棱长为a的正方体 中,E,F分别是棱 AB,BC上的动点,且AE=BF。(1)求证: ;(2)当三棱锥 的体积取最大值时,求二面角 的正切值。 OCBAOAB CEF图6 学生进行提高训练应用.四、小结1 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。2 面面距离点面距离向量的模回归图形 二面角平

8、面角向量的夹角回归图形反思归纳五、作业课本P121 第 2、4 题。练习与测试:(基础题)1 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为( )A75 B60 C45 D30答:C。2如图,在棱长为2的正方体中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是、AD的中点。那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于( )A B C D答:B。3,把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为 )A90 B 60 C,45 D 30答:C。4,已知是两条异面直线的公垂线段,则所成的角为 答:或。(中等题)5,一条线段夹在一个直二面角的两个面内,它和两个面所成的角都是30,这条线段与这个二面角的棱所成的角为 。 答:B1PACDA1C1D1BOH6,棱长为4的正方体中,是正方形的中心,点在棱上,且()求直线与平面所成的角的三角函数值;()设点在平面上的射影是,求证:解:(1)连BP,则角APB为直线与平面所成的角, (2) 所以

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