1、1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的集合描述：设点M是椭圆上任意一点，点F1，F2是椭圆的焦点，则由椭圆的定义，椭圆就是集合PM|MF1|MF2|2a，0|F1F2|2a2椭圆的标准方程的推导过程如图，给定椭圆，它的焦点为F1，F2，焦距|F1F2|2c(c0)，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a(ac).（1）建系：以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy那么焦点F1，F2的坐标分别为_，_（2）列式：设M(x，y)是
2、椭圆上任意一点，由椭圆的定义得|MF1|MF2|2a，即 （3）化简：上式整理可得令，可得(ab0)3椭圆的标准方程椭圆的标准方程有两种形式：（1）焦点落在x轴上的椭圆的标准方程为(ab0)，焦点为F1 (c，0)，F2 (c，0)，焦距为_，且_，如图1所示；（2）焦点落在y轴上的椭圆的标准方程为(ab0)，焦点为F1 (0，c)，F2 (0，c)，焦距为_，且_，如图2所示图1 图2 图3注：椭圆方程中，a表示椭圆上的点到两焦点的距离的和的一半，可借助于图3记忆正数a，b，c恰好构成一个直角三角形，其中a是斜边，所以ab，ac且，其中c是焦距的一半对于图2中的椭圆，关系式ab，ac且也始终
3、成立4椭圆(ab0)的简单几何性质（1）范围：易知，故，即；同理故椭圆位于直线和所围成的矩形框里（2）对称性：在方程中，以代替或以代替或以代替、以代替，方程都不改变，故椭圆关于x轴、y轴和原点都对称原点为椭圆的对称中心，也称为椭圆的中心（3）顶点：椭圆与x轴、y轴分别有两个交点，这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点，叫做椭圆的顶点其中x轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，y轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，长轴长为_，短轴长为_说明：依据椭圆的四个顶点，可以确定椭圆的具体位置（4）离心率：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的_离心率能够刻画椭圆的扁平程度椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的
4、焦点所在的坐标轴无关，e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆5椭圆，(ab0)的几何性质比较标准方程(ab0)(ab0)图形范围，对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点焦点左焦点F1 (c，0)，右焦点F2 (c，0)下焦点F1 (0，c)，上焦点F2 (0，c)顶点 轴线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长|A1A2|2a，短轴长|B1B2|2b，长半轴长为a，短半轴长为b离心率e6求曲线方程的常用方法求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）坐标表示点M满足的条件；（3）化方程为最简形式若遇到某些点虽适合方程，
5、但不在曲线上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除常用方法如下：方法一 直接法根据题中的已知条件能直接建立所求曲线上的动点(x，y)的横纵坐标x，y满足的关系式，从而得到曲线方程这是求曲线方程最基本的方法方法二 定义法若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出曲线方程方法三 代入法（即相关点法）若动点P(x，y)依赖于另一个动点Q(x1，y1)的变化而变化，且已知动点Q(x1，y1)满足的条件或轨迹方程，则可用x，y表示x1，y1，并代入已知条件或轨迹方程，整理即得动点P的轨迹方程K知识参考答案：1常数 2(c，0) (c，0) 32c b2c2 2c b2c2 4
6、2a 2b 离心率K重点椭圆的定义、标准方程及简单几何性质K难点椭圆标准方程的应用（以椭圆的标准方程为载体，与其他知识综合）K易错忽略椭圆定义中的限制条件、焦点的位置、椭圆的范围而致错1对椭圆的两种标准方程的理解对于方程表示焦点在x轴上的椭圆且表示焦点在y轴上的椭圆且表示椭圆且【例1】对于方程，（1）若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为_；（2）若该方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为_；（3）若该方程表示椭圆，则实数m的取值范围为_【答案】（1）(2，10)；（2）(6，2)；（3）(6，2)(2，10)【解析】（1）由题意可知，解得，故实数m的取值范围为(2，1
7、0)（2）由题意可知，解得，故实数m的取值范围为(6，2)（3）由题意可知，解得且，故实数m的取值范围为(6，2)(2，10)【名师点睛】对于形如：Ax2By21(其中A0，B0，AB)的椭圆的方程，其包含焦点在x轴上和在y轴上两种情况，当BA时，表示焦点在x轴上的椭圆；当BA时，表示焦点在y轴上的椭圆2椭圆的定义及其标准方程的应用椭圆的定义给出了一个结论：椭圆上的点P到两焦点F1，F2的距离的和为常数2a，则已知椭圆上一点到一焦点的距离就可以利用|PF1|PF2|2a求出该点到另一焦点的距离【例2】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上（1）若点P到焦点F1的距离等于1，则点P到焦点F
8、2的距离为_；（2）过F1作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为_；（3）若，则点P到焦点F1的距离为_【答案】（1）3；（2）8；（3）【解析】由椭圆的标准方程可知：，故，（1）由椭圆的定义可得|PF1|PF2|2a，又|PF1|1，所以|PF2|413（2）的周长（3）在中，由余弦定理可得，即，由椭圆的定义可得，两式联立解得【名师点睛】在椭圆中，由三条线段，围成的三角形称为椭圆的焦点三角形，涉及椭圆的焦点三角形的问题，可结合椭圆的定义：求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法同时应注意勾股定理、正弦定理、余弦定理等的灵活应用3由椭圆方程研究简单几何性质描点法画椭圆的步骤：
9、（1）依据椭圆的范围变形方程，得到椭圆在第一象限内的图象对应的函数关系式；（2）取点(x，y)，列表、描点；（3）用平滑的曲线连接各点，即得到椭圆在第一象限内的图象；（4）利用椭圆的对称性画出整个椭圆【例3】求椭圆9x225y2225的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆【解析】将椭圆的方程化为标准形式得，得a5，b3，则因此，长轴2a10，短轴长2b6，离心率焦点为F1(4，0)和F2(4，0)，顶点为A1(5，0)，A2(5，0)，B1(0，3)，B2(0，3)将方程变形为，根据可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(x，y)，列表如下：x01234
10、5y32.942.752.41.80先描点，再用光滑曲线顺次连接这些点，得到椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆，如图所示【名师点睛】解决此类问题时，应先把椭圆方程化成标准形式，注意分清焦点的位置，这样便于写出a，b的值，再根据c2a2b2求出c，进而求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质4求椭圆的标准方程（1）定义法求椭圆的标准方程的步骤：由焦点坐标确定方程形式；由椭圆的定义求出a；由求出b（也可采用待定系数法进行求解，主要步骤可归纳为：先定型，再定量）（2）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的步骤(通常采用待定系数法)：确定焦点位置；设出相应椭圆的方
11、程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数.列方程(组)时常用的关系式有，等【例4】求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点分别为，且经过点；（2）经过点，；（3）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；（4）经过点，且离心率；（5）经过点，且与椭圆有相同的焦点；（6）经过点，且与椭圆有相同的离心率【解析】（1）因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为方法一 由椭圆的定义知，所以又，所以，所以所求椭圆的标准方程为方法二 因为所求椭圆过点，所以又，联立解得，所以所求椭圆的标准方程为（2）方法一 若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为由
12、已知条件得，解得，所以所求椭圆的标准方程为若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为由已知条件得，解得，由于，与矛盾，故舍去综上，所求椭圆的标准方程为方法二 设椭圆的一般方程为将点，代入一般方程，得，解得，所以所求椭圆的标准方程为（3）设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题意可知，结合可解得a5，b4，c3因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为或（4）当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为，由题意，得，因为，所以，从而，所以所求椭圆的标准方程为；当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为，由题意，得，因为，解得，从而，所以所求椭圆的标准方程为综上，所以所求椭圆的标准方
13、程为或（5）方法一 求出焦点坐标，则可转化为（1）的形式，此处不再赘述方法二 设所求椭圆的方程为，将点M的坐标代入可得，解得舍去故所求椭圆的标准方程为（6）方法一 求出离心率，由a，b，c之间的关系及方程过点N，列方程组即可求解，此处不再赘述方法二 设所求椭圆的方程为或，将点N的坐标代入可得或，即，故所求椭圆的标准方程为或，即或【名师点睛】（1）若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为，从而避免讨论（2）在椭圆的简单几何性质的应用中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个（3）与椭圆有相同焦点的椭圆方程可设为且
14、，与椭圆有相同离心率的椭圆方程可设为，焦点在x轴上或，焦点在y轴上5求椭圆的离心率离心率是椭圆的重要几何性质，也是高考命题的重点，求解方法一般有两种：（1）易求a，c，代入求解；易求b，c，由求解；易求a，b，由求解（2）列出含a，c的齐次方程，列式时常用公式代替式子中的b，然后将等式两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2)，从而利用转化为含e的方程，解方程即可但应注意【例5】（1）设F1，F2是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率为_；（2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B
15、1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为_【答案】（1）；（2）【解析】（1）如图2，设直线交x轴于D点，因为是底角为的等腰三角形，则有，因为，所以，所以，即，即，即，所以椭圆E的离心率图1 图2（2）设F(c，0)，则由题意，易得直线A1B2，B1F的方程分别为，将上述两个方程联立，求解可得点T的坐标为T，则M又点M在椭圆上，所以，整理得，两边同时除以，可得，解得或(舍去)【名师点睛】在解一元二次方程时得出的根一般有两个，此时要根据椭圆的离心率进行根的取舍，否则易产生增根6与椭圆有关的轨迹问题求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：（1）首先通过题干中
16、给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；（2）首先分析几何图形所揭示的几何关系，然后对比椭圆的定义，设出对应椭圆的标准方程，求出其中a，b的值，得到标准方程【例6】 如图1，在圆C：(x1)2y236内有一点A(1，0)，点Q为圆C上一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程图1 图2【解析】如图2，连接MA由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|MQ|MC|又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|MQ|，故|MA|MC|CQ|6又A(1，0)，C(1，0)，故点M的轨迹是以(1，0)，(1，0)为焦点的椭圆，且，故，故点M的轨迹方程为7直线与椭圆的位置关
17、系（1）判断直线与椭圆的位置关系时，一般把二者方程联立得到方程组，判断方程组解的个数，方程组有几个解，直线与椭圆有几个公共点，方程组的解对应公共点的坐标由直线与椭圆的公共点个数求参数的取值范围时，联立二者方程消元化为一元方程，对于二次方程依据判别式与0的大小关系求解（2）求直线与椭圆的相交弦长时，可以先求出两个公共点的坐标，代入两点间距离公式，也可以联立方程消元为二次方程，利用根与系数的关系得到【例7】已知直线，椭圆C：试问当m取何值时，直线l与椭圆C： （1）有两个不重合的公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点【解析】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组，消去y，得 ，判别
18、式（1）当，即时，方程有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点（2）当，即时，方程有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点（3）当，即或时，方程没有实数解，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点【名师点睛】联立方程组后，消去x还是消去y都可以，这是不影响最终计算结果的【例8】如图，已知斜率为1的直线l过椭圆C：的下焦点，交椭圆C于A，B两点，求弦AB的长【解析】设A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由椭圆方程知，所以，所以椭圆的下焦点F的坐标为F(0，2)，故直线l的
19、方程为yx2将其代入，化简整理得，所以，所以【名师点睛】解决直线与椭圆的交点问题常常利用设而不求和整体代入的方法，解题步骤为：（1）设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；（2）联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x或y的一元二次方程；（3）利用根与系数的关系设而不求；（4）利用题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，进而求解8忽略椭圆定义中的限制条件，从而导致错误【例9】（1）已知F1，F2为两定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，则动点M的轨迹是A椭圆B直线C圆D线段（2）若方程表示椭圆，则实数k的取值范围为_【错解】（1）由椭圆的定义知点M
20、的轨迹是椭圆，故选A（2）由，可得，所以实数k的取值范围为(6，8)【正解】（1）虽然动点M到两个定点F1，F2的距离为常数6，但由于这个常数等于|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2，故选D（2）由，可得且，所以实数k的取值范围为(6，7)(7，8)【错因分析】（1）中忽略了椭圆定义中|F1F2|2a这一隐含条件；（2）中忽略了椭圆标准方程中ab0这一限制条件，当ab0时表示的是圆的方程【名师点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证解题的正确性9忽略对椭圆焦点位置的讨论，从而导致错误【例10】已知椭圆的标准方程为，并且焦距为8，则实数k的值为
21、_【错解1】因为2c8，所以c4，由椭圆的标准方程知a236，b2k2，a2b2c2，所以36k242，即k220，又k0，故【错解2】因为2c8，所以c4，由椭圆的标准方程知a2k2，b236，a2b2c2，所以k23642，即k252，又k0，故【正解】因为2c8，所以c4，当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a236，b2k2，a2b2c2，所以36k242，即k220，又k0，故；当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2k2，b236，a2b2c2，所以k23642，即k252，又k0，故综上，或【错因分析】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭
22、圆的焦点位置的讨论，从而导致错误【名师点睛】涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情形，不能顺着思维定式，想当然地认为焦点在x轴上或y轴上去求解10忽略椭圆的范围从而导致错误【例11】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到椭圆的最远距离为，求椭圆的标准方程【错解】由题意可设椭圆的标准方程为，则，故，即设椭圆上的点到点P的距离为d，则，所以当时，取得最大值，从而d取得最大值，所以，解得，故所求椭圆的标准方程为【正解】由题意可设椭圆的标准方程为，则，故，即设椭圆上的点到点P的距离为d，则，若，则当时，取得最大值，从而d取得最大值，于是，解得，与矛盾
23、，故，所以当时，取得最大值，从而d取得最大值，所以，解得，故所求椭圆的标准方程为【错因分析】错解中“当时，取得最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中y的取值范围，事实上，由于点在椭圆上，所以，因此在求的最大值时，应分类讨论【名师点睛】准确把握椭圆定义中的限制条件，是正确解题的前提，在求解时，应做到步步有依据，这样才能避免出错1已知，则该椭圆的标准方程为AB或CD或2椭圆的焦点为F1，F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则的周长是A20B12C10D63已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，离心率是，则椭圆C的方程为ABCD4直线yk(x2)1与椭圆的位置关系是A相离B相交C相切D无法判断5设
24、分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为ABCD6椭圆的焦距是_7直线与椭圆有两个公共点，则实数m的取值范围是_8如图，已知椭圆的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且，的面积为1(其中O为坐标原点)（1）求椭圆的标准方程；（2）若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足，连接，交椭圆于点P，证明：为定值9已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程10直线与椭圆C：交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为A BCD11如果
25、椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是ABCD12斜率不为0的直线l不经过坐标原点O， 且与椭圆交于A，B两点，M是线段AB的中点，则直线AB与直线OM的斜率之积为ABCD 13设斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，若点P，Q在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为_14已知直线l：与椭圆C：交于A，B两点，P为椭圆C上一点，则使的面积S为的点P的个数为_15过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，求的值16已知椭圆C：经过点(1，)，左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的四个顶点所围成的菱形的面积为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设Q为椭圆C上
26、不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不同的点，求的值17(2016新课标I文)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为ABCD18(2016新课标全国III文)已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左、右顶点为上一点，且轴过点的直线与线段交于点，与轴交于点若直线经过的中点，则的离心率为ABCD19(2016高考新课标I)设圆的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E（1）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交
27、C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围20(2016新课标全国II文)已知是椭圆：的左顶点，斜率为的直线交与，两点，点在上，（1）当时，求的面积；（2）当时，证明：1D 【解析】由题可知，当焦点在x轴上时，椭圆方程为；当焦点在y轴上时，椭圆方程为故选D2A 【解析】因为弦AB过点F1，所以由椭圆的定义可知，所以|AB|AF2|BF2|4a20，故的周长为20故选A3A 【解析】因为，所以，所以椭圆C的方程为故选A4B 【解析】直线yk(x2)1过定点P(2，1)，由于，所以点P(2，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交故选B5B 【解析】因为线段
28、的中点在y轴上，所以与x轴垂直，且点P的坐标为(2，)，所以，则，故选B62 【解析】由题意得椭圆的标准方程为，进而得，所以椭圆的焦距为2故填27 【解析】由，得，解得或(舍去)又，所以实数m的取值范围为故填8【解析】（1）因为，所以，而的面积为1，所以，解得，所以，所以椭圆的标准方程为（2）由题意可知直线MC的斜率存在，设其方程为，代入，得，所以又，所以，为定值9【解析】（1）由已知得椭圆的长半轴长，则短半轴长又椭圆的焦点在x轴上，椭圆的标准方程为（2）设线段PA的中点为M，点P的坐标为，由，得，由点P在椭圆上，得，线段PA的中点M的轨迹方程为10C 【解析】设椭圆的左、右焦点分别为F1，F
29、2，由题意可得，由得AOF2=，AOF1=，由椭圆定义知，故选C11B 【解析】设弦的端点为，代入椭圆方程，得 ， ，得 由中点坐标公式得，代入式，得，所以直线AB的斜率，直线AB的方程为，即故选B12C 【解析】根据题意，由于直线l不经过坐标原点O，可设l：，与椭圆联立，消去y得，即，设，由根与系数的关系可得，则，所以，故直线AB与直线OM的斜率之积故选C13 【解析】如图所示，焦点，由点P，Q在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，可得，而直线l的斜率为，所以，联立，可得，解得 142 【解析】如图，作出椭圆C和直线l，显然直线l经过椭圆的左顶点和下顶点，故设点到直线l的距离为d，则，则的面积
30、，解得，即或由图显然可知，直线与椭圆C有两个交点由，消去y得，即，故直线与椭圆C没有公共点综上，椭圆上存在2个点，使得的面积为，故填215【解析】依题意，得椭圆的右焦点为，当直线的斜率不存在时，直线AB的方程为，此时直线CD的方程为，由此可得，则；当直线AB的斜率存在时，设AB的直线方程为，则CD的方程，设，联立，得，所以，则，同理可得，则综上，16【解析】（1）由题意可知，解得，故椭圆C的标准方程为（2）设，直线OQ：，则直线MN：，由，得， 所以，所以，由，得，故，所以，所以17B 【解析】设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，过原点O作ODBF于点D，由题意得，在中，且，代入解得，所以椭圆得离
31、心率得，故选B18A 【解析】由题意设直线的方程为，分别令与得点，由，可得，即，整理得，所以椭圆C的离心率故选A19【解析】（1）因为，故，所以，故又圆的标准方程为，从而，所以由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为，由，消去y得，故，所以过点且与垂直的直线：，点到的距离为，所以故四边形的面积可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为当与轴垂直时，其方程为，四边形的面积为12综上，四边形面积的取值范围为20【解析】（1）设，则由题意知由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为，又，因此直线的方程为将代入得，解得或，所以因此的面积（2）将直线的方程代入得由得，故由题
32、设，直线的方程为，故同理可得由得，即设，则是的零点，所以在单调递增，又，因此在有唯一的零点，且零点在内，所以1双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于_(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距双曲线的集合描述：设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合PM|MF1|MF2|2a，02a|F1F2|2双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程为(a0，b0)，焦点分别为F1 (c，0)，F2 (c，0)，焦距为2c，且_，如
33、图1所示；（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程为(a0，b0)，焦点分别为F1 (0，c)，F2 (0，c)，焦距为2c，且_，如图2所示图1 图2注：双曲线方程中a，b的大小关系是不确定的，但必有ca0，cb03双曲线(a0，b0)的简单几何性质（1）范围：易知，故，即或故双曲线在不等式与所表示的区域内（2）对称性：双曲线关于_、_和_都对称原点为双曲线的对称中心，也称为双曲线的中心（3）顶点：双曲线与x轴有两个交点，这两个交点即为双曲线与它的对称轴的交点，叫做双曲线的顶点两个顶点的连线段称为双曲线的实轴，长为2a注：双曲线(a0，b0)与y轴没有交点，我们将两点(0，b)，(0，b)间的连
34、线段称为双曲线的虚轴，长为2b（4）渐近线：当双曲线的各支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永不相交，这两条直线称为双曲线的渐近线（5）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率注：离心率e反映双曲线开口的程度，e越大，双曲线的开口越大；e越小，双曲线的开口越小4双曲线，(a0，b0)的几何性质比较标准方程(a0，b0)(a0，b0)图形范围，对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点焦点左焦点F1 (c，0)，右焦点F2 (c，0)下焦点F1 (0，c)，上焦点F2 (0，c)顶点 轴线段A1A2是双曲线的实轴，线段B1B2是双曲线虚轴；实轴长|A1A2|2a，虚轴长|B1B2|2b渐
35、近线离心率e5等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为；（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3）实轴长和虚轴长都等于，离心率_K知识参考答案：1常数 2 3x轴 y轴 原点 4 5K重点双曲线的定义、标准方程及简单几何性质K难点双曲线标准方程的应用（以双曲线的标准方程为载体，与其他知识综合）K易错忽略双曲线定义中的限制条件及隐含条件、忽略方程表示双曲线的条件、忽略对焦点所在位置的讨论、忽略直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况1方程表示双曲线的条件对于方程表示焦点在x轴上的双曲线 表示焦点在y轴上的双曲线 表示双曲
36、线 【例1】对于方程，（1）若该方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围为_；（2）若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为_；（3）若该方程表示双曲线，则实数m的取值范围为_【答案】（1）(6，10)；（2）(，10)；（3）(6，10)(，10)【解析】（1）由题意可知，解得，故实数m的取值范围为(6，10)（2）由题意可知，解得，故实数m的取值范围为(，10)（3）由题意可知，解得或，故实数m的取值范围为(6，10)(，10)【名师点睛】对于形如：Ax2By21(AB0)的双曲线的方程，其包含焦点在x轴上和在y轴上两种情况，当B0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当A0
37、时，表示焦点在y轴上的双曲线2双曲线的定义及其标准方程的应用求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于)【例2】如图，若F1，F2是双曲线的两个焦点（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； （2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求的面积【解析】双曲线的标准方程为，故，（1）由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于
38、x，则，解得或由于，故点M到另一个焦点的距离为10或22（2）将两边平方，得，所以，在中，由余弦定理得，所以，的面积【名师点睛】在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件的应用；其次是利用正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用3由双曲线的标准方程研究简单几何性质【例3】求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图【解析】将双曲线方程化成标准方程，可知半实轴长，半虚轴长，于是有，所以焦点坐标(，0)，离心率为，渐近线方程为，即首先在坐标系中画出渐近线，顶点(，0)，然后算出双曲线在第一象限内一
39、点的坐标，比如取，算出，可知点(0.94，1)在双曲线上，将三点(0.94，1)，(，0)，(0.94，1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如下图所示【名师点睛】已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等注意与椭圆的相关几何性质进行比较4求双曲线的标准方程（1）一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，
40、则焦点所在的坐标轴易得再结合及列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得双曲线的标准方程（2）已知双曲线的渐近线方程，而不知焦点所在的坐标轴时，双曲线的方程有两个，为避免分类讨论，可设双曲线方程为因此，与双曲线(a0，b0)有共同渐近线的双曲线方程为；与双曲线(a0，b0)有共同渐近线的双曲线方程为【例4】求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点分别为，且经过点；（2），且经过点；（3）经过点，；（4）焦点在x轴上，虚轴长为8，且离心率；（5）一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点；（6）经过点，且与双曲线有共同的渐近线【解析】（1）由题易知焦点在y轴上，且，则，所以所求双曲线的标准方程为
41、（2）当焦点在x轴上时，设双曲线方程为( b0)，又双曲线经过点，所以，则，不符合题意；当焦点在y轴上时，设双曲线方程为(b0)，又双曲线经过点，所以，解得，所以所求双曲线的标准方程为（3）设所求双曲线的方程为Ax2By21(AB0)，由题意得，解得，所以所求双曲线的标准方程为（4）由题意可设双曲线的方程为由，及，可得，所以所求双曲线的标准方程为（5）方法一 椭圆方程可化为，焦点坐标为，故可设双曲线的方程为，其渐近线方程为，则，结合，解得，所以所求双曲线的标准方程为方法二 由于双曲线的一条渐近线方程为，则另一条渐近线方程为故可设双曲线的方程为，即，因为双曲线与椭圆共焦点，所以，解得，所以所求双
42、曲线的标准方程为（6）由题意可设所求双曲线方程为，将点的坐标代入，得，解得，所以所求双曲线的标准方程为【名师点睛】（1）若给出的条件是双曲线的渐近线、离心率，则需根据题意确定焦点所在的坐标轴，若不能确定，则双曲线的方程可能有两种形式，需分类讨论同时应注意渐近线的方程是还是（2）若已知两点坐标，利用Ax2By21(AB0)可避免讨论5求双曲线的渐近线方程由双曲线的标准方程求渐近线方程，关键是求出a，b的值也可把标准方程中的“1”用“0”替换，得出两条直线方程，对于双曲线(a0，b0)，令可得渐近线方程，即；对于双曲线(a0，b0)，令可得渐近线方程，即【例5】（1）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为_；（2）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的渐近线方程为_