1、2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武汉赛区）决赛试卷（小高组）一、填空题1（10分）计算：20172019+ 2（10分）如图，圆周上有12个点，将圆周12等分以这些等分点为四个顶点的矩形共有 个3（10分）如图，已知ABCDEFGHI为正九边形，那么DIG 度4（10分）在黑板上按照从小到大的顺序写出所有能被17或20整除的非零自然数；17，20，34，40，51，60，那么这列数中排在第289位的数是 5（10分）甲农场有鸡、鸭共625只，乙农场有鸡、鸭共748只其中乙农场的鸡比甲农场多24%，甲农场的鸭比乙农场少15%，那么乙农场有鸡 只6（10分）已知自然数n有10个约
2、数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有 个约数7（10分）甲乙两人进行10公里赛跑，甲跑完全程用了50分钟，此时乙离终点还差500米为了给乙一次机会，两人约定，第二次赛跑时甲退后500米起跑假设两次跑步两人速度都不变，则第二次跑步第一个人到达终点时，另一人离终点还差 米8（10分）对于两位数n，A、B、C、D四人有以下的对话：A：“n能被24整除”B：“n能被33整除”C：“n能被62整除”D：“n的各位数字之和为15”其中只有2人的话是正确的，那么n的取值为 二、解答下列各题9（10分）一个四位数，它本身是一个完全平方数，由它前两位数字及后两位数字组成的两个两位数也都是完全平方数
3、那么这个四位数是多少？10（10分）盒子里有4枚白色棋子和2枚黑色棋子，菲菲分若干次拿走所有棋子，每次至少拿走一枚，共有多少种不同拿法？11（10分）熙熙军团的胸章是如图所示的正八边形图案，已知正八边形的边长为18，那么阴影部分的面积是多少？12（10分）一个机关锁如图所示，锁上共有八卦和太极共九个按键，依次按下其中四个按键后（按键按下便不可再按），若与正确按法一致则开锁，若不一致则机关重置至初始状态已知在太极按下之前不可连续按下正对的两个卦象键（例如图中的乾、坤或兑、艮），且正确按法只有一种，那么打开这个机关锁至多需要试多少次？三、解答下列各题13（15分）已知一个长方体的长、宽、高的比为4
4、：3：2，用平面切割，切割面为六边形（如图所示），已知所有这样的六边形的周长最小为36，求这个长方体的表面积14（15分）如图，A、B、C分别是某学校的北门、西门和东门，从测量地图上看，线段AD、AE、DE均为公路，B、C分别在AD、AE上，DC、BE交于P点，PBC、PBD、PCE的面积分别为73000平方米、163000平方米和694000平方米，小叶和小峰步行速度相同一日，他们放学后同时从北门出发，小叶先跑后走，小峰一直步行，当小叶用3分钟跑到西门时，小峰恰好步行到东门，小叶继续用8分钟跑到D处，然后沿DE步行与从东门到E再往D走的小峰会合，第二天按相同出行方式，如果小峰想在DE路段的中
5、点处于小叶会合，需要比小叶提前多少分钟出发？2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武汉赛区）决赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、填空题1（10分）计算：20172019+1【分析】先把带分数化成假分数，然后把分子变形进行简算即可【解答】解：20172019+1故答案为：12（10分）如图，圆周上有12个点，将圆周12等分以这些等分点为四个顶点的矩形共有15个【分析】12个等分点是6条直径的端点，以这些等分点为顶点的矩形，一定以其中两条直径为对角线，所以共有15个矩形，据此解答即可【解答】解：12个等分点是6条直径的端点，共有：15（个）答：以这些等分点为四个顶点的矩形共有 15
6、个故答案为：153（10分）如图，已知ABCDEFGHI为正九边形，那么DIG60度【分析】可以利用九边形的内角和，以及三角形的内角和，作辅助线，连接正九边形的中心，则OIODOG，从而可以求得DIG的度数【解答】解：根据分析，如图，O为正九边形中心，则OIODOG，DIGDIO+OIGDOG（36093）60故答案是：604（10分）在黑板上按照从小到大的顺序写出所有能被17或20整除的非零自然数；17，20，34，40，51，60，那么这列数中排在第289位的数是2737【分析】先根据17和20的公倍数，算出数列的周期，再算出每个周期有多少个数，即可求出第289位数是多少【解答】解：根据分
7、析，17和20的倍数交替出现，17和20的最小公倍数为340，易知，1340为一个周期，每个周期中列出了17+201个数，289368+1数列中第289个数是：3408+172737故答案为：27375（10分）甲农场有鸡、鸭共625只，乙农场有鸡、鸭共748只其中乙农场的鸡比甲农场多24%，甲农场的鸭比乙农场少15%，那么乙农场有鸡248只【分析】根据“乙农场的鸡比甲农场多24%，”可得：甲农场的鸡是乙农场的鸡的1（1+24%）；根据“甲农场的鸭比乙农场少15%”可得：甲农场的鸭是乙农场的鸭的115%；假设甲农场的鸡鸭都是乙农场的鸡鸭的，则多算了（748625），对应着分率也多了鸡的（），由
8、此用除法解答即可求出乙农场的鸡的只数【解答】解：1（1+24%）115%（748625）（）10.8248（只）答：乙农场有鸡 248只故答案为：2486（10分）已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有30个约数【分析】n有10个约数，而2n有20个约数，按约数和定理，得知n的分解式中不含有2，3n有15个约数，假设3n的分解式中不含有3，则3n的约数应该是（1+1）1020个，则n的分解式中含有一个3，6n分成23n，再根据约数和定理，可以求得约数的个数【解答】解：根据分析，n有10个约数，2n有20个约数，按约数和定理，又，n的质因数分解式中含有0个2；设
9、n3amx，又，n的质因数分解式中含有一个3，根据约数和定理，得n的约数和为：（a+1）（x+1）10，解得：a1，x4，此时n3m4；故6n23n233m4232m4，其约数和为：（1+1）（2+1）（4+1）23530，故答案是：307（10分）甲乙两人进行10公里赛跑，甲跑完全程用了50分钟，此时乙离终点还差500米为了给乙一次机会，两人约定，第二次赛跑时甲退后500米起跑假设两次跑步两人速度都不变，则第二次跑步第一个人到达终点时，另一人离终点还差25米【分析】首先找到不变量是时间，两人两次赛跑的时间是相同的，路程是成比例关系【解答】解：依题意可知：当甲跑全程10公里时即10000米，乙
10、跑全程的100005009500米，两人跑的时间相同，路程成比例关系即10000：950020：19（10000+500）：9975当甲跑完10500米时，乙跑9975米还差10000997525（米）故答案为：258（10分）对于两位数n，A、B、C、D四人有以下的对话：A：“n能被24整除”B：“n能被33整除”C：“n能被62整除”D：“n的各位数字之和为15”其中只有2人的话是正确的，那么n的取值为96【分析】四个人只有两个人的话是正确的，B、C的话都要求n的数字和是9的倍数，与的D的话矛盾，从四个人的话中找到共同点和不同的，以及矛盾的点，即可判断谁的话是正确的【解答】解：根据分析，B
11、、C的话都要求n的数字和是9的倍数，而C要求n的数字之和为15，若D正确，则B、C错误，所以A正确，n24396若D错误，则24 和 33、62和33、24 和62的最小公倍数均大于100，矛盾综上所述，n的取值为96故答案为：96二、解答下列各题9（10分）一个四位数，它本身是一个完全平方数，由它前两位数字及后两位数字组成的两个两位数也都是完全平方数那么这个四位数是多少？【分析】可以先假设这个四位数为，分两半，前两位和后两位，再根据完全平方数的性质，可以在两位数里缩小范围，最后分别确定这两个两位数【解答】解：根据分析，设这个四位数为n2，前两位是完全平方数，故16，n41，又，均为完全平方数
12、，后两位2n1241181，81，16，此四位数为1681，故答案是：168110（10分）盒子里有4枚白色棋子和2枚黑色棋子，菲菲分若干次拿走所有棋子，每次至少拿走一枚，共有多少种不同拿法？【分析】可以将将白棋看作列，黑棋看作行，则每次拿走若干棋子后，转化为左、下某一个点的情况，然后构造图，最后求得不同的拿法【解答】解：根据分析，如图将白棋看作列，黑棋看作行，则每次拿走若干棋子后，转化为左、下某一个点的情况，所以构造如图：每个格点上标的数等于这点左、下所有格点各数之和，所以4枚白棋2枚黑棋共有208种不同拿法故答案是：20811（10分）熙熙军团的胸章是如图所示的正八边形图案，已知正八边形的
13、边长为18，那么阴影部分的面积是多少？【分析】按题意，将图等积变形，将阴影部分的面积转化为求其它三角形的面积，最后转化为S阴影4SABO182324【解答】解：根据分析，如图，S阴影2SABO+2SCOD，显然SCOESCODSBOA，故：S阴影4SABO182324故答案是：32412（10分）一个机关锁如图所示，锁上共有八卦和太极共九个按键，依次按下其中四个按键后（按键按下便不可再按），若与正确按法一致则开锁，若不一致则机关重置至初始状态已知在太极按下之前不可连续按下正对的两个卦象键（例如图中的乾、坤或兑、艮），且正确按法只有一种，那么打开这个机关锁至多需要试多少次？【分析】从九个按键中依
14、此按4个，有9873024（种），其中前两次相对的有8176336（种），中间两次相对且第一步不是太极的有8616288（种），末两次相对，前两部不相对且部署太极的有8641192（种），最后求和【解答】解：根据分析，从九个按键中依此按4个，有9873024（种）；其中前两次相对的有8176336（种）；中间两次相对且第一步不是太极的有8616288（种）；末两次相对，前两步不相对且不是太极的有8641192（种）；所以所有可以按的方法有：30243362881922208（种）即至多需要试2208次故答案是：2208三、解答下列各题13（15分）已知一个长方体的长、宽、高的比为4：3：2，用
15、平面切割，切割面为六边形（如图所示），已知所有这样的六边形的周长最小为36，求这个长方体的表面积【分析】按题意，长方体的长、宽、高的比为4：3：2，而六边形周长最小，则六边形的六条边在展开图上应构成一条线段，此时可以求出长方体的长、宽、高，表面积也即可求得【解答】解：根据分析，长方体展开图如下图：（AB与CE是同一条棱，P与Q是同一点）所以周长最小时，六边形的六条边在展开图上应构成一条线段，所以长方体表面积为：2（长宽+长高+宽高）2（23+34+42）（）22416，故答案是：41614（15分）如图，A、B、C分别是某学校的北门、西门和东门，从测量地图上看，线段AD、AE、DE均为公路，B
16、、C分别在AD、AE上，DC、BE交于P点，PBC、PBD、PCE的面积分别为73000平方米、163000平方米和694000平方米，小叶和小峰步行速度相同一日，他们放学后同时从北门出发，小叶先跑后走，小峰一直步行，当小叶用3分钟跑到西门时，小峰恰好步行到东门，小叶继续用8分钟跑到D处，然后沿DE步行与从东门到E再往D走的小峰会合，第二天按相同出行方式，如果小峰想在DE路段的中点处于小叶会合，需要比小叶提前多少分钟出发？【分析】首先分析各个线段之间的比例关系，找到两段距离的路程之间的关系，做差即可【解答】解：依题意可知：，；所以小峰走CE需要26分钟，如果小峰想在DE路段的中点处和小叶会和，此时需要小叶提前26818（分）答：如果小峰想在DE路段的中点处于小叶会合，需要比小叶提前18分钟声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:03:18；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02；学号：20913800第11页（共11页）