1、专题提升(六)一次函数与反比例函数的综合【经典母题】如图Z61是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围 图Z61【解析】 利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式解：设反比例函数的表达式为y，一个端点B的坐标为(80，10)，k8010800，反比例函数的表达式为y.端点A的纵坐标为80，80，x10，点A的横坐标为10，自变量的取值范围为10x80.【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y，把已知一点代入函数表达式
2、求出k的值即可【中考变形】1已知正比例函数yax与反比例函数y的图象有一个公共点A(1，2)(1)求这两个函数的表达式；(2)在图Z62中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围 图Z62中考变形1答图解：(1)把A(1，2)代入yax，得2a，即y2x；把A(1，2)代入y，得b2，即y；(2)画草图如答图所示由图象可知，当x1或1x0时，正比例函数值大于反比例函数值2如图Z63，已知一次函数yk1xb与反比例函数y的图象交于第一象限内P，Q(4，m)两点，与x轴交于A点(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)写出点P关于原点的对称点P的坐标；(3)求PAO的正弦值图
3、Z63【解析】将P点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q点代入反比例函数关系式，即可求出m的值；将P，Q两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点P的坐标；过点P作PDx轴，垂足为D，可构造出AD，又点A在一次函数的图象上，可求出点A坐标，得到OA长度，利用P 点坐标，可以求出PD，PA，即可得到PAO的正弦值解：(1)点P在反比例函数的图象上，把点P代入y，得k24，反比例函数的表达式为y，Q 点坐标为(4，1)来源:学科网ZXXK把P，Q(4，1)分别代入yk1xb中，得解得
4、一次函数的表达式为y2x9；(2)P；(3)如答图，过点P作PDx轴，垂足为D. P，中考变形2答图OD，PD8.点A在y2x9的图象上，点A坐标为，即OA，DA5，PA.sinPAD.sinPAO.32017成都如图Z64，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数yx与反比例函数y的图象交于A(a，2)，B两点(1)求反比例函数表达式和点B的坐标；(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连结PO，若POC的面积为3，求点P的坐标 图Z64 中考变形3答图解：(1)点A(a，2)在正比例函数yx图象上，2a，a4，点A坐标为(4，2)又点A在反比例函数
5、y的图象上，kxy4(2)8，反比例函数的表达式为y.A，B既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上，A，B两点关于原点O中心对称，点B的坐标为(4，2)；(2)如答图，设点P坐标为(a0)，PCy轴，点C在直线yx上，点C的坐标为，PC，SPOCPCaa3，当3时，解得a2，P.当3时，解得a2，P(2，4)综上所述，符合条件的点P的坐标为，(2，4)4如图Z65，一次函数ykxb与反比例函数y的图象交于A(1，4)，B(4，n)两点(1)求反比例函数的表达式；(2)求一次函数的表达式；(3)P是x轴上的一个动点，试确定点P并求出它的坐标，使得PAPB最小图Z65解：(1)点A(1，4)在
6、函数y上，mxy4，反比例函数的表达式为y；(2)把B(4，n)代入y，4xy4n，得n1，B(4，1)，直线ykxb经过A，B，解得一次函数的表达式为yx5；(3)点B关于x轴的对称点为B(4，1)，设直线AB的表达式为yaxq，解得直线AB的表达式为yx，令y0，解得x，当点P的坐标为时，PAPB最小52017广安如图Z66，一次函数ykxb的图象与反比例函数y的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，图Z66且OB6.(1)求函数y和ykxb的表达式(2)已知直线AB与x轴相交于点C.在第一象限内，求反比例函数y的图象上一点P，使得SPOC9.解：(1)点A(4，2)在
7、反比例函数y的图象上，来源:Z*xx*k.Comm428，反比例函数的表达式为y.点B在y轴的负半轴上，且OB6，点B的坐标为(0，6)，把点A(4，2)和点B(0，6)代入ykxb中，得解得来源:Z*xx*k.Com一次函数的表达式为y2x6；(2)设点P的坐标为(n0)在直线y2x6上，当y0时，x3，点C的坐标为(3，0)，即OC3，SPOC39，解得n.点P的坐标为.62017黄冈如图Z67，一次函数y2x1与反比例函数y的图象有两个交点A(1，m)和B，过点A作AEx轴，垂足为E；过点B作BDy轴，垂足为D，且点D的坐标为(0，2)，连结DE.(1)求k的值；(2)求四边形AEDB的
8、面积 图Z67 中考变形6答图解：(1)将点A(1，m)代入一次函数y2x1，得2(1)1m，解得m3.A点的坐标为(1，3)将A(1，3)代入y，得k(1)33；(2)如答图，设直线AB与y轴相交于点M，则点M的坐标为(0，1)，D(0，2)，则点B的纵坐标为2，代入反比例函数，得DB，MD3.又A(1，3)，AEy轴，E(1，0)，AE3.AEMD，AEMD.四边形AEDM为平行四边形S四边形AEDBSAEDMSMDB313.72016金华如图Z68，直线yx与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y(k0)的图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.来源:Zxxk.C
9、om(1)求点A的坐标；(2)若AEAC，求k的值；试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由 图Z68中考变形7答图解：(1)当y0时，得0x，解得x3.点A的坐标为(3，0)；(2)如答图，过点C作CFx轴于点F.设AEACt，点E的坐标是(3，t)，则反比例函数y可表示为y.直线yx交y轴于点B，B(0，)在RtAOB中，tanOAB，OAB30.在RtACF中，CAF30，CFt，AFACcos30t，点C的坐标是.t3t，解得t10(舍去)，t22.来源:学科网k3t6.点E的坐标为，设点D的坐标是，x6，解得x16(舍去)，x23，点D的坐标是，点E与点D关于原点O成中心
10、对称【中考预测】如图Z69，一次函数ykxb(k，b为常数，k0)的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y(n为常数且n0)的图象在第二象限交于点C，CDx轴，垂足为D，若OB2OA3OD6.(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)求两函数图象的另一个交点的坐标；(3)直接写出不等式kxb的解集图Z69解：(1)OB2OA3OD6，OB6，OA3，OD2，CDDA，DCOB，DC10，C(2，10)，B(0，6)，A(3，0)，代入一次函数ykxb，得解得一次函数的表达式为y2x6.反比例函数y经过点C(2，10)，n20，反比例函数的表达式为y；(2)由解得或另一个交点坐标为(5，4)；(3)由图象可知kxb的解集为2x0或x5.