1、题型5几何探究型问题1.考查类型：动点探究题；平移、旋转、折叠探究题；图形形状变化探究题.2.考查内容：多与特殊四边形的性质、三角形全等、相似的判定和性质有关；涉及平移、旋转或折叠的相关性质；多与二次函数的性质有关.3.备考指导：在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，联系相关的知识解题，对结果猜想题根据前面问题大胆猜想，往往是解题的突破口类型一动点探究题1.如图，在RtABC中，ACB90，AC5 cm，BAC60，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0t5)，连接MN.(
2、1)若BMBN，求t的值；(2)若MBN与ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值2.如图，菱形ABCD中，已知BAD120，EGF60，EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F.(1)如图，当顶点G运动到与点A重合时，求证：ECCFBC；(2)知识探究：如图，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；在顶点G的运动过程中，若t，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系(不需要写出证明过程)；(3)问题解决：如图，已知菱形边长为8，BG7，CF，当t2时，求EC的长度图3.已知：如图，在矩形ABCD中
3、，AB6 cm，BC8 cm.对角线AC，BD交于点O，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QFAC，交BD于点F.设运动时间为t(s)(0t6)，解答下列问题：(1)当t为何值时，AOP是等腰三角形？(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2)，试确定S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQFSACD916？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分
4、COP？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由4.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在ABC中，BAC90，ABAC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.(1)观察猜想如图，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系为：_BC，CD，CF之间的数量关系为：_(将结论直接写在横线上)(2)数学思考如图，当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明(3)拓展延伸如图，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB2
5、，CDBC，请求出GE的长类型二平移、旋转、折叠探究题5.如图，ABC是等腰直角三角形，BAC90，ABAC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BDCF，BDCF成立(1)当ABC绕点A逆时针旋转(090)沿对角线AC剪开，得到ABC和ACD.操作发现(1)将图中的ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使BAC，得到如图所示的ACD，分别延长BC和DC交于点E，则四边形ACEC的形状是_；(2)创新小组将图中的ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使2BAC，得到如图所示的ACD，连接DB、CC，得到四边形BCCD，发现它是矩形请你证明这个结论；实践探究(3)缜
6、密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图中BC13 cm，AC10 cm，然后提出一个问题：将ACD沿着射线DB方向平移a cm，得到ACD，连接BD，CC，使四边形BCCD恰好为正方形，求a的值请你解答此问题；(4)请你参照以上操作，将图中的ACD在同一平面内进行一次平移，得到ACD，在图中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明9.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中ACB90，AC4，BC3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF3SEDF，求
7、AE的长；(2)如图，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MFCA.试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；求EF的长；(3)如图，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN1，CE，求的值10.如图，矩形ABCD中，AB2，BC5，BP1，MPN90，将MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB(或AD)于点E，PN交边AD(或CD)于点F，当PN旋转至PC处时，MPN的旋转随即停止(1)特殊情形：如图，发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，ABP_PCD(填“”或“”)；(2)类比探究：如图，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该
8、定值；若不是，请说明理由；(3)拓展延伸：设AEt，EPF的面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S4.2时，求所对应的t值11.如图，在ABC中，ACB90，B30，AC1，D为AB的中点，EF为ACD的中位线，四边形EFGH为ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在ACD的边上)(1)计算矩形EFGH的面积；(2)将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动在平移过程中，当矩形与CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；(3)如图，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为
9、矩形E2F2G1H2，设旋转角为，求cos的值类型三图形形状变化探究题12.如图，分别以ABC的AB和AC为边向ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图中，求证：ABEADC.图(2)由(1)证得ABEADC，由此可推得在图中BOC120，请你探索在图中BOC的度数，并说明理由或写出证明过程 图(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图中BOC_(填写度数)图 图(4)由此推广到一般情形(如图)，分别以ABC的AB和AC为边向ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想BOC的度数为_(用含n的式子表示)13.阅读理解：我们知道，
10、四边形具有不稳定性，容易变形如图，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120，则这个平行四边形的变形度是_；猜想证明：(2)设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：(3)如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2AEAD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4(m0)，平行四边形A1B1C1D1的面积为2(m0)
11、，试求A1E1B1A1D1B1的度数14.已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在ABC内，CAECBE90.(1)如图，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF. 求证：CAECBF；若BE1，AE2，求CE的长；(2)如图，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且k时，若BE1，AE2，CE3，求k的值；(3)如图，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且DABGEF45时，设BEm，AEn，CEp，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)15.已知点O是ABC内任意一点，连接OA并延长到E，使得AEOA，以OB，OC为邻边作OBFC
12、，连接OF，与BC交于点H，再连接EF.(1)如图，若ABC为等边三角形，求证：EFBC；EFBC；(2)如图，若ABC为等腰直角三角形(BC为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；(3)如图，若ABC是等腰三角形，且ABACkBC，请你直接写出EF与BC之间的数量关系类型一动点探究题1. 解：(1)根据题意BM2t，BNBCt，而BC5tan605.当BMBN时，2t5t，解得t1015.(2)分类讨论：当BMNACB90时，如解图，NBMABC，cosBcos30，解得t.当BNMACB90时，如解图，MBNABC，cosBc
13、os30，解得t.因此当运动时间是秒或秒时，MBN与ABC相似第1题解图(3)由于ABC面积是定值，当四边形ACNM面积最小时，MBN面积最大，而MBN的面积是SBMBNsinB2t(5t)t2t，由于a0，当t时，MBN面积最大，最大值是()2，因此四边形ACNM面积最小值是55.2. (1)证明：四边形ABCD是菱形，BAD120，BAC60，BACF60，ABBC，ABAC，BAEEACEACCAF60，BAECAF，在BAE和CAF中，BAECAF(ASA)，BECF，ECCFECBEBC，即ECCFBC；(2)解：线段EC，CF与BC的数量关系为：ECCFBC.理由如下：如解图，过点
14、A作AEEG，AFGF，分别交BC、CD于E、F.第2题解图类比(1)可得：ECCFBC，G为AC中点，AEEG，CECE，同理可得：CFCF，CECFCECF(CECF)BC，即CECFBC；CECFBC；【解法提示】类比(1)可得：ECCFBC，AEEG，t，CECE，同理可得：CFCF，CECFCECF(CECF)BC，即CECFBC.(3)解：如解图，连接BD与AC交于点H.第2题解图在RtABH中，AB8，BAC60，BHABsin6084，AHCHABcos6084，GH1，CG413，t(t2)，由(2)得：CECFBC，CEBC CF8.EC的长度为.3. 解：(1)分三种情况
15、：若APAO，在矩形ABCD中，AB6，BC8，AC10，第3题解图AOCO5，AP5，t5，若APPOt，在矩形ABCD中，ADBC，PAOOCE，APOOEC，又OAOC，APOCEO，POOEt.如解图，作AGPE交BC于点G，则四边形APEG是平行四边形，AGPE2t，GEAPt.又ECAPt，BG82t.在RtABG中，根据勾股定理知62(82t)2(2t)2，解得t.第3题解图若OPAO5，则t0或t8，不合题意，舍去综上可知，当t5或t时，AOP是等腰三角形(2)如解图，作OMBC，垂足是M，作ONCD，垂足是N.则OMAB3，ONBC4，SOECCEOMt3t，SOCDCDON
16、6412.QFAC，DFQDOC，()2，即()2，SDFQt2，S四边形OFQC12t2，S五边形OECQFS四边形OFQCSOEC12t2t，即St2t12(0t6)(3)存在理由如下：要使S五边形OECQF：SACD916，即(t2t12)(68)916，解得t13，t21.5，两个解都符合题意，存在两个t值，使S五边形OECQFSACD916，此时t13，t21.5；(4)存在理由如下：如解图，作DIOP，垂足是I，DJOC，垂足是J，第3题解图作AGPE交BC于点G.SOCDOCDJ5DJ，且由(2)知，SOCD12，DJ.OD平分POC，DIOP，DJOC，DIDJ4.8.AGPE
17、，DPIDAG.ADBC，DAGAGB，DPIAGB，RtABGRtDIP.由(1)知，在RtABG中，BG82t，IP(82t)在RtDPI中，根据勾股定理得()2(82t)2(8t)2，解得t.(t0不合题意，舍去)4. (1)解：BCCF；BCCDCF.【解法提示】BACDAF90，BADCAF，又ABAC，ADAF，ABDACF，ACFABC45，ACB45，BCF90，即BCCF；ABDACF，BDCF，BCCDBD，BCCDCF.(2)解：结论仍然成立，不成立证明：BACDAF90，BADCAF，又ABAC，ADAF，ABDACF，ACFABD18045135，ACB45，BCF9
18、0，即BCCF；结论为：BCCDCF.证明：ABDACF，BDCF，BCCDBD，BCCDCF.(3)解：如解图，过点E作EMCF于M，作ENBD于点N，过点A作AHBD于点H.ABAC2，第4题解图BC4，AHBC2，CDBC，CD1，BACDAF90，BADCAF，又ABAC，ADAF，ABDACF，ACFABC45，ACB45，BCF90，CNME，CMEN，AGCABC45，CGBC4，ADE90，ADHEDNEDNDEN90，ADHDEN，又AHCDNE90，ADDE，AHDDNE，DNAH2，ENDH3，CMEN3，MECN3，则GMCGCM431，EG.类型二平移、旋转、折叠探究
19、题5. (1)解：BDCF成立理由如下：ACAB，CAFBAD，AFAD，ACFABD，CFBD.(2)证明：由(1)得，ACFABD，HFNADN，在HFN与ADN中，HFNADN，HNFAND，NHFNAD90，第5题解图HDHF，即BDCF.解：如解图，连接DF，延长AB，与DF交于点M，在MAD中，MADMDA45，BMD90.在RtBMD与RtFHD中，MDBHDF，BMDFHD.AB2，AD3，四边形ADEF是正方形，MAMD3，MBMAAB321，BD，又，即，DH.6. (1)证明：ABC绕点A顺时针方向旋转60得到ADE，ABAD，BAD60，ABD是等边三角形；证明：由得A
20、BD是等边三角形，ABBD，ABC绕点A顺时针方向旋转60得到ADE，ACAE，BCDE，又ACBC，EAED，点B，E在AD的中垂线上，BE是AD的中垂线，点F在BE的延长线上，BFAD，AFDF；解：BE的长为34；【解法提示】由知AFADAB3，AEAC5，BFAD，由勾股定理得EF4.在等边ABD中，AB6，BFAD，BFAB3，BE34.(2)解：BECE的值为13；第6题解图【解法提示】如解图，DAGACB，DAB2CAB.DAECAB，BAECAB，BAECBA，AEBC，AEACBC，四边形ACBE是菱形，CE垂直平分AB，BEAC5.设CE交AB于M，则CMAB，CMEM，A
21、MBM，在RtACM中，AC5，AM3，由勾股定理得CM4，CE8，CEBE13.7. 解：(1)由矩形性质与折叠可知，APOBCD90，CPODPADPADAP90，DAPCPO，OCPPDA，()2，即()2，CP4，设CDx，则DPx4，APABCDx，AP2DP2AD2，x2(x4)282，解得x10，故CD10.(2)第7题解图线段EF的长度始终不发生变化，为2.证明：如解图，过点N作NGPB，与PB的延长线相交于点G，ABAP，APBABPGBN，在PME和BNG中，PMEBNG(AAS)，MENG，PEBG，在FME和FNG中，FMEFNG(AAS)，EFGF，EFEG，BPBE
22、EPBEGBEG，EFBP，BP4，EFBP2.8. (1)解：菱形(2)证明：如解图，作AECC于点E，由旋转得ACAC，CAECAEBAC，第8题解图四边形ABCD是菱形，BABC，BCDC，BCABAC，CAEBCA，AEBC，同理AEDC，BCDC，四边形BCCD是平行四边形，又AEBC，CEA90，BCC180CEA90，四边形BCCD是矩形(3)解：如解图，过点B作BFAC于点F，BABC，CFAFAC105.在RtBCF中，BF12.在ACE和CBF中，CAEBCF，CEABFC90，ACECBF，即，解得CE.ACAC，AECC，CC2CE2.当四边形BCCD恰好为正方形时，分
23、两种情况：点C在边CC上，aCC1313，点C在边CC的延长线上，aCC1313.综上所述，a的值为或.第8题解图(4)解：答案不唯一，例：画出正确图形如解图所示平移及构图方法：将ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为AC的长度，得到ACD，连接AB，DC.结论：四边形ABCD是平行四边形9. 解：(1)折叠后点A落在AB边上的点D处，EFAB，AEFDEF，SAEFSDEF.S四边形ECBF3SEDF，S四边形ECBF3SAEF.SACBSAEFS四边形ECBF，SACBSAEF3SAEF4SAEF，.EAFBAC，AFEACB90，AEFABC，()2，()2.在RtACB中，ACB90，
24、AC4，BC3，AB5，()2，AE.(2)第9题解图四边形AEMF是菱形证明：如解图，折叠后点A落在BC边上的点M处，CABEMF，AEME，又MFCA，CEMEMF，CABCEM，EMAF，四边形AEMF是平行四边形又AEME，四边形AEMF是菱形如解图，连接AM，AM与EF交于点O，设AEx，则MEAEx，EC4x.CEMCAB，ECMACB90，ECMACB.，AB5，AC4，解得x，AEME，EC.在RtECM中，ECM90，CM2EM2EC2，即CM.四边形AEMF是菱形，OEOF，OAOM，AMEF，S菱形AEMF4SAOE2OEAO.在RtAOE和RtACM中，tanEAOta
25、nMAC，.CM，AC4，AO3OE，S菱形AEMF6OE2.又S菱形AEMFAECM，6OE2，OE，EF.(3)如解图，第9题解图过点F作FHCB于点H，在RtNCE和RtNHF中，tanENCtanFNH，NC1，EC，设FHx，则NHx，CHNHNCx1.BC3，BHBCCH3(x1)4x.在RtBHF和RtBCA中，tanFBHtanABC，解得x，HF.BB，BHFBCA90，BHFBCA，即HFBACABF，54BF，BF2，AFABBF3，.10. 解：(1)ABPPCD.【解法提示】MPN90，APBDPC90，B90，APBBAP90，DPCBAP，又BC90，ABPPCD
26、.(2)在旋转过程中，的值为定值如解图，过点F作FGBC，垂足为G.第10题解图类比(1)可得：EBPPGF，ABFGB90，四边形ABGF是矩形，FGAB2，BP1，即在旋转过程中，的值为定值.(3)由(2)知EBPPGF，又AEt，BE2t，PG2(2t)42t，AFBGBPPG1(42t)52t，SS矩形ABGFSAEFSBEPSPFG2(52t)t(52t)1(2t)2(42t)t24t5, 即St24t5(0t2)，当S4.2时，4.2t24t5，解得：t12，t22(不合题意，舍去)t的值是2.11. 解：(1)如解图，在ABC中，ACB90，B30，AC1，AB2，又D是AB的中
27、点，第11题解图AD1，CDAB1，又EF是ACD的中位线，EFDF，在ACD中，ADCD，A60，ACD为等边三角形，ADC60，在FGD中，GFDFsin60，矩形EFGH的面积SEFGF.(2)如解图，设矩形移动的距离为x，则0x，当矩形与CBD重叠部分为三角形时，则0x，重叠部分的面积Sxx，第11题解图x(舍去)，当矩形与CBD重叠部分为直角梯形时，则x，重叠部分的面积Sx，x，即矩形移动的距离为时，矩形与CBD重叠部分的面积是.第11题解图(3)如解图，作H2QAB于Q，设DQm，则H2Qm，又DG1，H2G1，在RtH2QG1中，(m)2(m)2()2，解得m1，m20(舍去)，
28、cos.类型三图形形状变化探究题12. (1)证明：ABD、ACE是等边三角形，ABAD，ACAE，CAEDAB60，CAEBACDABBAC，即BAEDAC，在ABE和ADC中，ABEADC(SAS)(2)解：BOC90.理由如下：由(1)得ABEADC，EBACDA.FBAFDA180，FBAEBAFDACDA180，即FBOFDO180.在四边形FBOD中，F90，DOB360F(FBOFDO)90，BOC90.(3)解：72.【解法提示】BOC18010872.(4)解：180.【解法提示】由(3)可知，BOC度数应为180减去正多边形内角度数13. 解：(1).【解法提示】sin12
29、0，故这个平行四边形的变形度是.(2)，理由如下：如解图，设矩形的长和宽分别为a，b，其变形后的平行四边形的高为h，第13题解图则S1ab，S2ah，sin，又，.(3)由AB2AEAD，可得A1BA1E1A1D1，即.又B1A1E1D1A1B1，B1A1E1D1A1B1，A1B1E1A1D1B1，A1D1B1C1，A1E1B1C1B1E1，A1E1B1A1D1B1C1B1E1A1B1E1A1B1C1.由(2)结论，可得2，sinA1B1C1，A1B1C130，A1E1B1A1D1B130.14. (1)证明：如解图，ACEECB45，BCFECB45，第14题解图ACEBCF，又四边形ABC
30、D和EFCG是正方形，CAECBF.解：，AE2，BF，由CAECBF可得CAECBF，又CAECBE90，CBFCBE90，即EBF90，第14题解图由CE22EF22(BE2BF2)6，解得CE.(2)解：连接BF，如解图，同(1)证CAECBF，可得EBF90，由k，可得BCABAC1k，CFEFEC1k，EF，EF2，BF，BF2，CE2EF2(BE2BF2)，32(12)，解得k.(3)解：p2n2(2)m2.【解法提示】如解图，连接BF，同(1)证CAECBF，可得EBF90，过点C作CHAB交AB延长线于点H，类比第(2)问得AB2BC2AC211(2)，第14题解图EF2FC2
31、EC211(2)，p2(2)EF2(2)(BE2BF2)(2)(m2)(2)m2n2，p2n2(2)m2.15. 证明：(1)连接AH，如解图.第15题解图四边形OBFC是平行四边形，BHHCBC，OHHF，ABC是等边三角形，ABBC，AHBC，在RtABH中，AH2AB2BH2，AHBC，OAAE，OHHF，AH是OEF的中位线，AHEF，AHEF，EFBC.由得AHBC，AHEFBCEF，EFBC.(2)EFAB仍然成立，EFBC.第15题解图【解法提示】如解图，连接AH，四边形OBFC是平行四边形，BHHCBC，OHHF，ABC是等腰直角三角形，AHBC，在RtABH中，AH2AB2BH2(BH)2BH2BH2，AHBHBC，OAAE，OHHF，AH是OEF的中位线，AHEF，AHEF，EFBC，EF2AHBC. 第15题解图(3)EF BC.【解法提示】如解图，连接AH，四边形OBFC是平行四边形，BHHCBC，OHHF，ABC是等腰三角形，ABkBC，AHBC，在RtABH中，AH2AB2BH2(kBC)2(BC)2(k2)BC2，AH BC，OAAE，OHHF，AH是OEF的中位线，AHEF，AHEF，EFBC， BCEF，EF BC.