1、馨雅资源网 圆周角和圆心角的关系-知识讲解（基础） 责编：常春芳 【学习目标】1理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系；2理解圆周角定理及推论；3熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力【要点梳理】要点一、圆周角1.圆周角定义：像图中AEB、ADB、ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径要点诠释：(1)圆周角
2、必须满足两个条件：顶点在圆上；角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部（如下图） 要点二、圆内接四边形1.圆内接四边形定义：四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.2.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是O的内接四边形，则A+C=180，B+D=180.要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补.【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在O中
3、，求A的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的 弦也相等举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD内接于O，点E在劣弧AD上，则BEC等于( ) A45 B60 C30 D55【答案】A. ABBCCDDA， ， BEC45类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.【答案与解析】(a)1顶点在O内，两边与圆相交，所以1不是圆周角； (b)2顶点在圆外，两边与圆相交，所以2不是圆周角；(c)图中3
4、、4、BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以3、4、BAD是圆周角(d)5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以5不是圆周角；(e)6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知6不是圆周角.【总结升华】 紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角3.（2015台州）如图，四边形ABCD内接于O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC（1）若CBD=39，求BAD的度数；（2）求证：1=2【答案与解析】（1）解：BC=DC，CBD=CDB=39，BAC=CDB=39，CAD=CBD=39，BAD=BAC+CAD=39+39=78；（2）证明：EC=BC，CEB=CBE，而CEB=2+B
5、AE，CBE=1+CBD，2+BAE=1+CBD，BAE=CBD，1=2【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键4如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？ 【思路点拨】BD=CD，因为AB=AC，所以这个ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是BAC的平分线即可【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接ADAB是O的直径ADB=90即ADBC又AC=AB，BD=CD. 【总结升华】解题的关键是正确作出辅助线.举一反三：【变式】（2015安顺）如图，O的直
6、径AB垂直于弦CD，垂足为E，A=22.5，OC=4，CD的长为（）A2B4C4D8【答案】C.提示：A=22.5，BOC=2A=45，O的直径AB垂直于弦CD，CE=DE，OCE为等腰直角三角形，CE=OC=2，CD=2CE=4故选：C类型三、圆内接四边形及应用5圆内接四边形ABCD的内角A：B：C=2:3:4，求D的度数.【思路点拨】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为360，从而求得D的度数.【答案与解析】解：圆内接四边形的对角互补， A：B：C：D=2:3:4：3设A=2x，则B=3x，C=4x，D=3x，2x+3x+4x+3x=360，x=30.D=90.【总结升华】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为360的运用.举一反三：【变式】如图，O中，四边形ABCD是圆内接四边形，BOD=110，则BCD的度数是（ ）.A.110 B.70 C.55 D.125【答案】D.学魁网