1、数学分析教案 第五章 导数和微分 教学目的：1.使学生准确掌握导数与微分的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。 教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。 教学时数：16学时 1 导数的概念（4学时） 教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问
2、题。教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。教学重点：导数的概念。教学难点：导数的概念。教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。一、问题提出：导数的背景. 背景：曲线的切线；运动的瞬时速度.二、讲授新课： 1.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式: 例1 求 例2 设函数 在点 可导, 求极限 2.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系
3、. 曲线的尖点.例3 考查 在点的可导情况.3.导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.例4 求曲线 在点处的切线与法线方程.4.可导与连续的关系: 5.导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法. 注意: 等具体函数的导函数不能记为 应记为 6.费马定理及达布定理 2 求导法则（4学时）教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运算。教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。
4、教学重点：导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法；教学难点：复合函数求导法则及复合函数导数的计算。教学方法： 以问题教学法为主，结合课堂练习。一、复习引新：复习导数的概念等知识，并由此引入新课. 二、讲授新课： （一）. 基本初等函数求导 推导基本初等函数的求导公式. （二）.导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式.(只证“ ”和“ ”)例1 求 例2 求 ( 例3 求 例4 证明: ( 用商的求导公式证明 ).例5 证明: 例6 证明: .例7 求曲线 在点 处的切线方程. （三）. 反函数的导数: 推导公式并指出几何意义. 例8 证明反三角函数的求导公式. ( 只证反正弦
5、) （四）. 复合函数求导法 链锁公式： 例9 设 为实数，求幂函数 的导数.解 例10 求 和 例11 求 例12 求 3. 参变量函数的导数（2学时） 教学目的：熟悉含参量函数的求导法则，并熟练进行此类函数的导数运算。教学要求：会求由参数方程所给出的函数的导数，并注意与其它法则的综合应用。教学重点：含参量方程的求导法则。教学难点：含参量函数导数的计算。教学方法：以问题教学为主，结合练习。一. 复习：导数公式及其运算法则. 二. 讲授新课：1.参变量函数的导数公式：设函数 可导且 证 （ 法一 ） 用定义证明. （ 法二 ） 由 恒有 或 严格单调. ( 这些事实的证明将在下一章给出. )
6、因此, 有反函数, 设反函数为 ), 有 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有 例1. 设 求 2. 取对数求导法: 例2. 设 求 例3. 设 求 例4. 设 求 3.抽象函数求导: 例5. 求 和 例6 若可导, 求 . 4 高阶导数（2学时） 教学目的：了解高阶导数的定义，熟悉高阶导数的计算。教学要求：掌握高阶导数与高阶微分的定义，会求高阶导数与高阶微分。能正确理解和运用一阶微分的形式不变性，并与高阶微分清楚地加以区分。教学重点：高阶导数（微分）的计算。教学难点：高阶导数（微分）的计算。教学方法：以问题教学为主，结合练习。 一. 高阶导数: 定义: 注意区分符号和 以函数
7、为例介绍高阶导数计算方法. 高阶导数的记法. 二. 几个特殊函数的高阶导数: 1. 多项式: 多项式的高阶导数. 例1 求 和 . 2. 正弦和余弦函数: 计算 、 、 、 的公式. 3 和 的高阶导数： 4的高阶导数： 5 的高阶导数： 6 分段函数在分段点的高阶导数：以函数 求 为例. 三. 高阶导数的运算性质: 设函数 和 均 阶可导. 则1 2 3 乘积高阶导数的Leibniz公式： 约定 （ 介绍证法.） 例2 求 解 例3 求 解 例4 其中 二阶可导. 求 例5 验证函数 满足微分方程 并依此求 解 两端求导 即 对此式两端求 阶导数, 利用Leibniz公式, 有 可见函数 满
8、足所指方程. 在上式中令 得递推公式 注意到 和 , 就有时, 时, 四. 参数方程所确定函数的高阶导数: 例6 求 解 5 微分（2学时） 教学目的：1. 准确掌握微分的概念，明确其几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分。2. 弄清可导与可微之间的一致及其相互关系，熟悉微分的运动性质和微分法则，牢记基本的初等函数的微分公式，并熟练进行初等函数的微分运算。3. 能利用微分的几何意义等解决一些实际应用的计算问题。教学要求：1. 清楚地理解函数在一点的微分的定义，并给出其几何解释；能从定义出发求某些简单函数的微分、能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分。2. 明确函数在一点可
9、导性与一点可微之间的一致性，并会利用导数为微分、利用微分求导数。会应用微分的实际意义解决某些计算问题。教学重点：微分的定义、计算、可导与可微的关系教学难点：运用微分的意义解决实际问题一.微分概念: 1.微分问题的提出: 从求 的近似值入手, 通过1P133例和可导函数的情况, 引出微分问题. 几个数据: , ( 查表得 ) 2. 微分的定义: 3. 微分的计算和几何意义: Th ( 可微与可导的关系 ).例1 求 和 二. 微分运算法则: 1P112 法则14 . 只证2. 一阶微分形式不变性. 利用微分求导数. 微商.例2 求 和 例3 求 和 三微分的应用: 1.建立近似公式: 原理: 即
10、 特别当 时, 有近似公式 具体的近似公式如: 等. 2. 作近似计算: 原理: 例4 求 和 的近似值.例5 求 的近似值. 3估计误差： 绝对误差估计： 相对误差估计： 例6 （ 1P138 E5 ）设已测得一根圆轴的直径为 ，并知在测量中绝对误差不超过 . 试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差. 4. 求速度: 原理: 例7 球半径 以 的速度匀速增大. 求 时, 球体积增大的 速度. 四高阶微分： 高阶微分的定义： 阶微分定义为 阶微分的微分， 即 注意区分符号 的意义. 例7 求 以例7为例, 说明高阶微分不具有形式不变性:在例7中, 倘若以 求二阶微分, 然后代入 , 就
11、有 倘若先把 代入 , 再求二阶微分, 得到可见上述两种结果并不相等. 这说明二阶微分已经不具有形式不变性. 一般地, 高阶微分不具有形式不变性. 习 题 课（2学时） 一、理论概述： 二、范例讲析： （一）. 可导条件:例1 设在点 的某邻域内有 证明 在点 可导.例2 设函数 在点 可导, 则 在点不可导. 例3 设函数 定义在区间 内, 试证明: 在点 可导的充要条件是存在 内的函数 （仅依赖于 和 . 使 在点 连续且适合条件 并有 证 设 存在, 定义 易验证函数 在点 连续, 且 设 又 在点 连续. 则有 即 存在且 （二）. 求导数或求切线: 例4 求 和 参阅4P92 E11
12、.例5 求 例6 求 解 设 其中 为 的多项式. 注意到对任何正整数 则有 对 有 例7 抛物线方程为 求下列切线: 过点 ( 该点在抛物线上 ) ( ) 过点 . (该点不在抛物线上 ) ( 和 )（三）曲线的吻接: 曲线的吻接及其解析表达. 例8 设 确定 、 和 的值，使函数 在点 可导. ) （四）. 奇、偶函数和周期函数的导函数： 例9 可导奇函数的导函数是偶函数. ( 给出用定义证和用链导公式证两种证法) 例10 设 是偶函数且在点 可导, 则 .证 即 由 存在， 简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变. （五）. 关于可导性的一些结果: 1. 若 是初等函数, 则 也是初等函数. 在初等函数 的定义域内, 导函数 不存在的点是函数 的不可导点. 例如函数 的定义域是 , 但导函数 在点 没有定义, 因此点 是函数 的不可导点.2.存在仅在一点可导的函数. 例如 该函数仅在点 可导. 3.存在处处连续但处处不可导的函数.- 16 -