1、2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（三组二试）一、填空题（共3小题，每小题0分，满分0分）1静水中，甲船速度是乙船速度的两倍甲、乙两船沿河分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时距A、B两地的距离之是3：1，如果甲、乙两船分别从B、A两地同时出发，相向而行，相遇时距A、B的距离之比是 2一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2人护旗则n最小等于 3自ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S
2、5，S6，若S5S62，S1S21，那么S4S3 二、解答题（共3小题，满分0分）4小华把数字29分成4对，使得每对数的和为质数问一共有多少种不同的分法？5将1，2，3，37，这37个不同的自然数重新排成一行，记作a1，a2，a37，其中a137，a21，并使得a1+a2+ak能被ak+1整除（k1，2，36），求a3？a37？615张卡片，每张卡片上写有3个不同的汉字，任意2张上的汉字不完全相同；任意6张中，一定有2张，它们上面有共同的汉字问：这15张卡片上最多有多少个不同的汉字？2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（三组二试）参考答案与试题解析一、填空题（共3小题，每小
3、题0分，满分0分）1静水中，甲船速度是乙船速度的两倍甲、乙两船沿河分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时距A、B两地的距离之是3：1，如果甲、乙两船分别从B、A两地同时出发，相向而行，相遇时距A、B的距离之比是5：7【分析】由甲船速度是乙船速度的两倍先设在静水中乙船速度为x，则甲船速度为2x，水速为y，根据甲、乙两船相向而行，相遇时距A、B两地的距离之比是3：1，可知从A到B为顺水，从B到A为逆水，就可得出第一次相遇时的速度比：（2x+y）：（xy）3：1，即可求出x4y；那么甲、乙两船分别从B、A两地同时出发，相向而行，第二次相遇时的速度比为：（2xy）：（x+y），再由x4y，即可求出
4、相遇时距A、B的距离之比【解答】解：设在静水中乙船速度为x，则甲船速度为2x，水速为y，第一次相遇时的速度比：（2x+y）：（xy）3：1，即可求出x4y；第二次相遇时的速度比为：（2xy）：（x+y），因为x4y，所以（2xy）：（x+y）（24y）：（4y+y）7：5，即相遇时距A、B的距离之比5：7故答案为：5：72一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2人护旗则n最小等于141【分析】根据题干分析可得，这个方阵的人数是8的倍数，一个小方阵有1515225人，设有k个方阵，那么8n225k+3，则225k+3应该是8的倍数，考虑除以8的余数，k最
5、小为5，n最小为141【解答】解：设有k个方阵，那么8n225k+3，当k1时，225+3228，不是8的倍数；不符合题意；当k2时，2252+3453，不是8的倍数，不符合题意；当k3时，2253+3678，不是8的倍数，不符合题意；当k4时，2254+3903，不是8的倍数，不符合题意；当k5时，2255+31128，是11288141；答：k最小为5时，n最小为141故答案为：1413自ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6，若S5S62
6、，S1S21，那么S4S33【分析】解：如图，连接AP、BP、CP，根据勾股定理，可得AP2BP2AF2BF2，BP2CP2BD2CD2，CP2AP2CE2EA2，所以AF2+BD2+CE2BF2+CD2+EA2；然后根据圆的面积公式，可得S1+S3+S5S2+S4+S6，所以S4S3（S5S6）+（S1S2）2+13，据此解答即可【解答】解：如图，连接AP、BP、CP，根据勾股定理，可得AP2AF2+FP2，BP2BF2+FP2，可得AP2BP2AF2BF2，同理，可得BP2CP2BD2CD2，同理，可得CP2AP2CE2EA2，+，可得AF2+BD2+CE2BF2+CD2+EA2，所以（A
7、F2+BD2+CE2）（BF2+CD2+EA2），因此S1+S3+S5S2+S4+S6，所以S4S3（S5S6）+（S1S2）2+13故答案为：3二、解答题（共3小题，满分0分）4小华把数字29分成4对，使得每对数的和为质数问一共有多少种不同的分法？【分析】因为使得每对数的和为质数，不可能把两个偶数或两个奇数分为一组，只能是一奇一偶，根据20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19来尝试分组即可【解答】解：显然这4对数均为1奇1偶，6只能和5或7一组（1）6与5一组，那么7与4一组，剩下4个数有2种排法：2与3，8与9（或8与3，2与9）（2）6与7一组，4和3一组，剩下4个数2种排
8、法：2与9，5与8（或2与5，8与9）；4和9一组，剩下4个数2种排法：2与5，8与3（或2与3，8与5）一共有6种排法5将1，2，3，37，这37个不同的自然数重新排成一行，记作a1，a2，a37，其中a137，a21，并使得a1+a2+ak能被ak+1整除（k1，2，36），求a3？a37？【分析】显然这37个数的总和是a37的倍数，所以总和3719是a37的倍数，由此求出a37的值，对于a3，有38是a3的倍数，由此求出a3的值，解决问题【解答】解：这37个数的总和是a37的倍数，所以总和3719是a37的倍数，所以a3719；对于a3，a3可以整除a1+a237+138，所以38是a3
9、的倍数，所以a32615张卡片，每张卡片上写有3个不同的汉字，任意2张上的汉字不完全相同；任意6张中，一定有2张，它们上面有共同的汉字问：这15张卡片上最多有多少个不同的汉字？【分析】考察16张卡片，至少有2个汉字重复，不妨设第一张有汉字重复，考察27张卡片，至少有2个汉字重复，不妨设第二张有汉字重复，考察1015张卡片，至少有2个汉字重复，这样的话，至少重复了10次，15张卡片共45个汉字，至多还有35个不同的汉字【解答】解：根据题干分析可得：16张卡片，至少有2个汉字重复，不妨设第一张有汉字重复，27张卡片，至少有2个汉字重复，不妨设第二张有汉字重复，1015张卡片，至少有2个汉字重复，这样的话，至少重复了10次，又因为15张卡片共45个汉字，451035（个），答：至多有35个不同的汉字声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:51:39；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02；学号：20913800第5页（共5页）