1、点拨复习（五）阅读理解问题【专题点拨】阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容，思想方法，把握本质，解答试题中提出的问题，对于这类题求解步骤是“阅读分析理解创新应用”，其关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材，因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力。【典例赏析】【例题1】（2017乐山）对于函数y=xn+xm，我们定义y=nxn1+mxm1（m、n为常数）例如y=x4+x2，则y=4x3+2x已知：y=x3+（m1）x2+m2x（1）若
2、方程y=0有两个相等实数根，则m的值为；（2）若方程y=m有两个正数根，则m的取值范围为且【考点】HA：抛物线与x轴的交点；AA：根的判别式；AB：根与系数的关系【专题】23 ：新定义【分析】根据新定义得到y=x3+（m1）x2+m2=x22（m1）x+m2，（1）由判别式等于0，解方程即可；（2）根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论【解答】解：根据题意得y=x22（m1）x+m2，（1）方程x22（m1）x+m2=0有两个相等实数根，=2（m1）24m2=0，解得：m=，故答案为：；（2）y=m，即x2+2（m1）x+m2=m，化简得：x2+2（m1）x+m2m+=0，方程有两个正数根，
3、解得：且故答案为：且【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，正确的理解题意是解题的关键【例题2】（2017湖北随州）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点下面是两位学生有代表性的证明思路：思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；（2）如图2，在（1）的前提下，当ABE=
4、135时，延长AD、EF交于点N，求的值；（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值【考点】SO：相似形综合题【分析】（1）证法一，利用菱形性质得AB=CD，ABCD，利用平行四边形的性质得AB=EF，ABEF，则CD=EF，CDEF，再根据平行线的性质得CDM=FEM，则可根据“AAS”判断CDMFEM，所以DM=EM；证法二，利用菱形性质得DH=BH，利用平行四边形的性质得AFBE，再根据平行线分线段成比例定理得到=1，所以DM=EM；（2）由CDMFEM得到CM=FM，设AD=a，CM=b，则FM=b，EF=AB=a，再证明四边形ABCD为正方形得到AC
5、=a，接着证明ANF为等腰直角三角形得到NF=a+b，则NE=NF+EF=2a+b，然后计算的值；（4）由于=+=k，则=，然后表示出=+1，再把=代入计算即可【解答】解：（1）如图1，证法一：四边形ABCD为菱形，AB=CD，ABCD，四边形ABEF为平行四边形，AB=EF，ABEF，CD=EF，CDEF，CDM=FEM，在CDM和FEM中，CDMFEM，DM=EM，即点M是DE的中点；证法二：四边形ABCD为菱形，DH=BH，四边形ABEF为平行四边形，AFBE，HMBE，=1，DM=EM，即点M是DE的中点；（2）CDMFEM，CM=FM，设AD=a，CM=b，ABE=135，BAF=4
6、5，四边形ABCD为菱形，NAF=45，四边形ABCD为正方形，AC=AD=a，ABEF，AFN=BAF=45，ANF为等腰直角三角形，NF=AF=（a+b+b）=a+b，NE=NF+EF=a+b+a=2a+b，=；（4）=+=k，=k，=，=+1=+1=【例题3】（2017湖北随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=axa为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”已知抛物线y=x2x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解
7、析式为y=x+，点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（1，0）；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标；（2）过A作ADy轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N点坐标
8、；（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AKx轴于点K，可证EFHACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（1，t），由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标【解答】解：（1）抛物线y=x2x+2，其梦想直线的解析式为y=x+，联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，A（2，2），B（1，0），故答案为：y=x+；（2，2）；（1，0）；（2）如图1，过A作ADy轴于点D，在y=x2x+2中，令y=0可求得x=3或x
9、=1，C（3，0），且A（2，2），AC=，由翻折的性质可知AN=AC=，AMN为梦想三角形，N点在y轴上，且AD=2，在RtAND中，由勾股定理可得DN=3，OD=2，ON=23或ON=2+3，N点坐标为（0，23）或（0，2+3）；（3）当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AKx轴于点K，则有ACEF且AC=EF，ACK=EFH，在ACK和EFH中ACKEFH（AAS），FH=CK=1，HE=AK=2，抛物线对称轴为x=1，F点的横坐标为0或2，点F在直线AB上，当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，E到y轴的距离为EHOF=2=，即E点纵坐
10、标为，E（1，）；当F点的横坐标为2时，则F与A重合，不合题意，舍去；当AC为平行四边形的对角线时，C（3，0），且A（2，2），线段AC的中点坐标为（2.5，），设E（1，t），F（x，y），则x1=2（2.5），y+t=2，x=4，y=2t，代入直线AB解析式可得2t=（4）+，解得t=，E（1，），F（4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（1，）、F（0，）或E（1，）、F（4，）【能力检测】1. （2017湖南株洲）如图示，若ABC内一点P满足PAC=PBA=PCB，则点P为ABC的布洛卡点三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（ALCrel
11、le 17801855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 18451922）重新发现，并用他的名字命名问题：已知在等腰直角三角形DEF中，EDF=90，若点Q为DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A5B4CD【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形【分析】由DQFFQE，推出=，由此求出EQ、FQ即可解决问题【解答】解：如图，在等腰直角三角形DEF中，EDF=90，DE=DF，1=2=3，1+QEF=3+DFQ=45，QEF=DFQ，2=3，DQFFQE，=，DQ
12、=1，FQ=，EQ=2，EQ+FQ=2+，故选D2. （2017温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH已知AM为RtABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A12SB10SC9SD8S【考点】KR：勾股定理的证明【分析】设AM=2aBM=b则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2ab）2（ab）=2ab2a+2b=b，由此即可解决问题【解答】解：设AM=2aBM=b则正方形ABCD的面积=4a2+b2由题意可知EF=（2ab）2（ab）=2ab2a+2b=b，AM=2EF，2a=2
13、b，a=b，正方形EFGH的面积为S，b2=S，正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，故选C【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题3. 为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，东营市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动），九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）求
14、该班的人数；（2）请把折线统计图补充完整；（3）求扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角的度数；（4）小明和小丽参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加同一服务活动的概率【分析】（1）根据参加生态环保的人数以及百分比，即可解决问题；（2）社区服务的人数，画出折线图即可；（3）根据圆心角=360百分比，计算即可；（4）用列表法即可解决问题；【解答】解：（1）该班全部人数：1225%=48人（2）4850%=24，折线统计如图所示：（3）360=45（4）分别用“1，2，3，4”代表“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个服务活动，列表如下：则所有可能有16种，其中他们参加同一活动
15、有4种，所以他们参加同一服务活动的概率P=【点评】本题考查折线图、扇形统计图、列表法等知识，解题的关键是记住基本概念，属于中考常考题型4. 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”如图，线段CD是ABC的“和谐分割线”，ACD为等腰三角形，CBD和ABC相似，A=46，则ACB的度数为113或92【考点】S7：相似三角形的性质；KH：等腰三角形的性质【分析】由ACD是等腰三角形，ADCBCD，推出ADCA，即ACCD，分两种情形讨论当AC=AD时，当DA=DC时，分别求
16、解即可【解答】解：BCDBAC，BCD=A=46，ACD是等腰三角形，ADCBCD，ADCA，即ACCD，当AC=AD时，ACD=ADC=67，ACB=67+46=113，当DA=DC时，ACD=A=46，ACB=46+46=92，故答案为113或925. 定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，ABC=90，若AB=CD=1，ABCD，求对角线BD的长若ACBD，求证：AD=CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，
17、使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长【考点】LO：四边形综合题【分析】（1）只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；只要证明ABDCBD，即可解决问题；（2）若EFBC，则AEEF，BFEF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件若EF与BC不垂直，当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）AB=AC=1，ABCD，S四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，四边形ABCD是菱形，ABC=90，四边形ABCD是正方形，BD=AC=（2）如图1中，连接AC、BDAB=BC，ACBD，ABD=CBD，BD=BD，ABDCBD，AD=CD（2）若EFBC，则AEEF，BFEF，四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件若EF与BC不垂直，当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，AE=AB=5当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，BF=AB=5，DEBF，DE：BF=PD：PB=1：2，DE=2.5，AE=92.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5