1、一元二次方程小结与复习学 习目 标1、一元二次方程的相关概念；2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；5、构造一元二次方程解决简单的实际问题；学习重点运用知识、技能解决问题。学习难点解题分析能力的提高教 学 互 动 设 计一、知识梳理1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a0)，其中ax2是二次项，a是二次项
2、系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。3、一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式是= b2-4ac，当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根；当0时，方程有实数根。5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）当=b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式为x=；若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1、x2，则x1x2=，x1x2=。若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：x1x2= -p ， x1x2= q 。6
3、、一元二次方程的应用。二、基本知识训练1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是【 C 】AB CD2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为x(x10)200，化为一般形式为x2+10x-200=0。3、已知1是关于x的一元二次方程（m1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是【 B 】A 1B1C0D无法确定4、咸宁市2009年平均房价为每平方米2000元连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米2420元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为2000（1+x）2=2420，此方程适宜用直接开平方法解。5、用配方法解
4、关于x的一元二次方程x22x3=0，配方后的方程可以是【 A 】A（x1）2=4B（x+1）2=4 C（x1）2=16D（x+1）2=166、若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【 B 】 A B C D 7、下列一元二次方程两实数根和为-4的是【 D 】A x2+2x-4=0 B x2-4x+4=0 C x2+4x+10=0 Dx2+4x-5=08、已知m和n是方程2x25x3=0的两根，则-。三、典型例题分析【例1】用适当的方法解下列方程：x24x+2=0 解：x=；x1=1，x2=-3；x=。【例2】已知x是一元二次方程x2+2x-80的根，求代数式的值解：= =又x2+2x-80，
5、x1-4，x22，但当x2时原式无意义，故当x-4时原式=【例3】关于x的一元二次方程x23xm-10的两个实数根分别为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）若2 (x1+x2)+ x1x2+10=0，求m的值.解：（1）原方程有两个实数根， =9-4( m-1)0， 解之得：. （2）由一元二次方程的根与系数的关系可知：x1+x2=-3，x1x2= m-1， 2 (-3)+ ( m-1)+10=0 解之得：m=-3.【例4】如果方程x2pxq0的两个根是x1，x2，那么x1x2p，x1x2q请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2mxn0 (n0)，求出一个一元二次方程，使它
6、的两根别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a215a50，b215b50，求的值；（3）已知a、b、c均为实数，且abc0，abc16，求正数c的最小值解：（1）设x2mxn0 (n0)的两根为x1，x2x1x2m，x1x2n，所求一元二次方程为x20，即nx2mx10（2）当ab时，由题意知a，b是一元二次方程x215x50的两根，ab15，ab547当ab时，11247或2（3）abc0，abc16，abc，aba，b是方程x2cx0的两根c20c0，c364c4c的最小值为4【例5】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。
7、李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售。（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元。试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。解：（1）设平均每次下调的百分率为，依题意可列方程：解这个方程，得， 因为降价的百分率不可能大于1，所以不符合题意，符合题目要求的是%答：平均每次下调的百分率是20%。（2）小华选择方案一购买更优惠。理由：方案一所需费用为：（元）方案二所需费用为：（元） 14400 0k 且k213、已知x1、x2是
8、方程2x2+14x16=0的两实数根，求的值. 解：由根与系数的关系，得x1+x2=-7，x1x2=-8，=-14、已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根（1）证明：=(m+3)2-4(m-1)=(m+1)2+4 无论m取何值时，(m+1)2+4的值恒大于0, 原方程总有两个不相等的实数根（2）解：x1，x2是原方程的两根， x1+x2=-(m+3)，x1x2=m+1，；， (x1+x2)2-4x1x2=8，-(m+3)2-4(m+1)=8，m2+2m-3
9、=0, 解得：m1=-3，m2=1 当m=-3时，原方程化为：x2-2=0，解得： 当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得：15、阅读下面的材料，回答问题：解方程x45x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y25y+4=0 ，解得y1=1，y2=4当y=1时，x2=1，x=1；当y=4时，x2=4，x=2；原方程有四个根：x1=1，x2=1，x3=2，x4=2（1）在由原方程得到方程的过程中，利用 换元 法达到_降次_的目的，体现了数学的转化思想（2）解方程（x2+x）24（x2+x）12=0解：（2）设x2
10、+x=y，原方程可化为y24y12=0， 解得y1=6，y2=2 由x2+x=6，得x1=3，x2=2 由x2+x=2，得方程x2+x+2=0， b24ac=142=70，此时方程无解 所以原方程的解为x1=3，x2=216、如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2解：设AB=xm，则BC=（502x）m根据题意可得，x（502x）=300，解之得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=501010=3025，故x1=10（不合题意舍去），答：可
11、以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形17、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？解：因为60棵树苗售价为120元60=7200元8800元，所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x1200.5（x60）=8800，解得：x1=220，x2=80当x2=220时，1200.5（22060）=40100，x1=220（不合题意，舍去）；当x2=80时，1200.5（8060）=110100，x=80，答：该校共购买了80棵树苗